2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试 数学 word版

2019-2020学年度第一学期汕头市金山中学期中考试数学科试卷

命题：

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,,则=( )

A. B. C. D.

2. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( )

A. B. C. D.

3. 命题“,”的否定是( )

A. ,

B. ,

C. ,

D. ,

4.已知直线,直线,且,则m的值为（）

A. B. C. 或 D. 或

5. 已知,l m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）

A.若//

mα，则lα

⊥

⊥，//

lα，//

mα，则//

l m B.若l m

C.若l m

⊥，则l m

⊥

lα，mα

⊥，mα

⊥，则//

lα D.若//

6. 在中,若点D满足,则( )

A. B. C. D.

7. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象

A. 向左平移个单位

B. 向右平移个单位

C. 向右平移个单位

D. 向左平移个单位

8. 若x,,且,则的最小值是

A. 5

B.

C.

D.

9. 设D为椭圆上任意一点,,,延长AD至点P,使得,则点P 的轨迹方程为( )

A. B.

C. D.

10. 已知圆 ,直线l ： ,若圆 上恰有4个点到直线l 的距离都等于1,则b 的取值范围为( )

A.

B.[]11

-， C. ]2,2[- D.

11. 已知 , 分别是椭圆

的左、右焦点,P 为椭圆上一点,

且 为坐标原点 ,若 ,则椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

12. 设函数()f x 的定义域为D ,若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ?，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]22

a b

，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的范围是

（ ）

A.1(0,)4

B.(0,1)

C.1(0,)2

D.1(,)

4-∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________．

14. 过圆 上一点 作圆的切线, 则该切线的方程为_________． 15. 已知A ,B ,C ,D 是同一球面上的四个点,其中 是正三角形, 平面ABC , ,则该球的体积为_________．

16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F M 分别是1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段1111,A B A D 上，且11

(01)A P AQ x x ==<<.设平面MEF 平面MPQ l =，现有下列结论：

①//l 平面ABCD ；②l AC ⊥；③l 与平面11BCC B 不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线. 其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）设等差数列的前n项和为,若,．

求数列的通项公式；

设,若的前n项和为,证明：．

18.（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,若上学路上所需时间的范围为,样本数据分组为

,．

求直方图中a的值；

如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；

求该校学生上学路上所需的平均时间．

19.（本小题满分12分）如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点．

求证：平面；

求直线AB与平面所成角的余弦值．

20.（本小题满分12分）已知以点C为圆心的圆经过点和,且圆心在直线

上． Ⅰ 求圆C 的方程；

Ⅱ 设点P 在圆C 上,求 的面积的最大值．

21. （本小题满分12分）已知椭圆

,四点

, ,

,

中恰有三点在椭圆C 上

求C 的方程；

设直线l 不经过 点，且与C 相交于 两点.若直线 与直线 的斜率的和为 , 证明：l 过定点．

22.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()(2)||f x x x a a =---，x R ∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；

（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；

（3）若函数()f x 在区间[2,2]-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.

2018级高二上学期期中考试数学卷参考答案

一、选择题

二、填空题

13.14. 15. 16. ④

三、填空题

17.解：等差数列的公差为d,

由,得,

又由,得,

由上可得等差数列的公差,

；

证明：由题意得

．

所以

．

18.解：由,

解得．

上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人, 估计所招学生中有可以申请住宿人数为：

．

该校学生上学路上所需的平均时间为：

．

19.证明：因为且M为BC的中点,所以,

又在正三棱柱中,因为平面平面ABC,平面ABC, 且平面平面,

所以平面,

因为平面,所以,

因为M,N分别为BC,的中点,所以,

又因为,,

所以≌ ,

所以,,

所以,

所以,

又因为平面,平面,,

所以平面．

解：设,由可知平面,

所以AO为斜线AB在平面内的射影,

所以为AB与平面所成的角,

由题可知,所以为等腰三角形,

作于E,则E为AB的中点,所以,

由等面积法可知,

在中,,所以,

所以直线AB与平面所成的角的余弦值为．

20.解：Ⅰ依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线的交点,

中点为斜率为1,

垂直平分线方程为即分

联立,解得,即圆心,

半径分

所求圆方程为分

Ⅱ,分

圆心到AB的距离为分

到AB距离的最大值为分

面积的最大值为分

21.解：根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上,

又的横坐标为1,

椭圆必不过,

,,三点在椭圆C上．

把,代入椭圆C,得：

,

解得,,

椭圆C的方程为；

证明：当斜率不存在时,设l：,,,

直线与直线的斜率的和为,

,

解得,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．

当斜率存在时,设l：,,,,

联立,整理,得,

, ,

则

,

,

又 , ,此时 ,存在k ,使得 成立, 直线l 的方程为 , 当 时, , 过定点 ．

22．解：（1）假设()f x 是R 上的奇函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （*） 取0x =，得(0)0f =，即2||0a a -=，解得0a =，

此时()(2)||f x x x =-，所以(1)3f -=，(1)1f -=-，从而(1)(1)f f -≠-， 这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数；

（2）22(2),()(2)3,x a x a x a

f x x a x a x a

?-++≤?=?-++->??

①当2a >时，对称轴22a x a +=

<，所以()f x 在2(,]2a +-∞上单减，在2

(,]2

a a +上单增，在(,)a +∞上单减，不符； ②当2a <时，对称轴22a x a +=

>，所以()f x 在(,]a -∞上单减，在2

(,]2

a a +上单增，在2

(

,)2

a ++∞上单减，不符； ③当2a =时，对称轴2

2

a x a +==，

所以()f x 在(,2]-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数． 综上， 2a =． （3）①当2a =时，由（2）知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知， 2

22

a x a +<=

<，所以()f x 在[2,2]-上单调递减， 所以()f x 在[2,2]-上至多1个零点，不符； ③当2a <时，由（2）知， 222a x a +>=>，所以()f x 在(,]a -∞上单调递减，在2

(,]2

a a +上单调递增，在2

(

,2]2

a +上单调递减．

因为()f x 在区间[2,2]-上恰有3个零点，

所以(2)380f a -=+>，()0f a a =-<，2

212(2)()024

a a a f +-+=>-，(2)0f a =-<

解得04a <<-4a >+

又2a <，故04a <<-

综上，实数a 的取值范围是(0,4-