中考数学压轴题 易错题测试综合卷检测试题
一、中考数学压轴题
1.已知:矩形ABCD内接于⊙O,连接 BD,点E在⊙O上,连接 BE交 AD于点F,
∠BDC+45°=∠BFD,连接ED.
(1)如图 1,求证:∠EBD=∠EDB;
(2)如图2,点G是 AB上一点,过点G作 AB的垂线分别交BE和 BD于点H和点K,若HK=BG+AF,求证:AB=KG;
(3)如图 3,在(2)的条件下,⊙O上有一点N,连接 CN分别交BD和 AD于10点 M 和点 P,连接 OP,∠APO=∠CPO,若 MD=8,MC= 3,求线段 GB的长.
2.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=12,E是BC边的中点,点P在线段AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.
(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)当点P在线段AD上运动时,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)探究:当以D为圆心,DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时,请直接写出DP满足的条件:.
3.综合与实践
A纸是我们学习工作最常用的纸张之一,2,我们定义:长宽之比是4
2的矩形纸片称为“标准纸”.
操作判断:
()1如图1所示,矩形纸片2
=是一张“标准纸”,将纸片折叠一次,使点
ABCD AD AB
()
AB=求CF的
B与D重合,再展开,折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F,若1,
长,
()2如图2,在()1的基础上,连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ,连接,BE 判断四边形
BFDE 的形状,并说明理由.
探究发现:
()3如图3所示,在(1)和(2)的基础上,展开纸片后,将纸片再折叠一次,使点A 与点C 重
合,再展开,痕MN 交AD 边于点M ,BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形
ENFM 剪下,探究纸片ENFM 是否为“标准纸”,说明理由.
4.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根,且其中一个根为另一个根的一半,则称这样的方程为“半等分根方程”.
(1)①方程2280x x --= 半等分根方程(填“是”或“不是”);
②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程,则代数式2
25
2
m mn n +
+= ; (2)若点(,)p q 在反比例函数8
x y =的图象上,则关于x 的方程2
60px x q -+=是半等分根方程吗?并说明理由;
(3)如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程,且相异两点(1,)M t s +,(4,)N t s -都在抛物线2
y ax bx c =++上,试说明方程20ax bx c ++=的一个根为
53
. 5.如图,在平面直角坐标中,点O 为坐标原点,ABC ?的三个顶点坐标分别为
()A O m ,,(),B m O -,(),C n O ,5AC =且OBA OAB ∠=∠,其中m ,n 满足7
25m n m n +=??
-=?
.
(1)求点A ,C 的坐标;
(2)点P 从点A 出发,以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动,设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ,用含有t 的式子表示BPC ?的面积为S (直接写出t 的取值范围);
(3)在(2)的条件下,是否存在t 的值,使得ΔΔ3
2
PAB POC S S =
,若存在,请求出t 的值,并直接写出BP 中点Q 的坐标;若不存,请说明理由. 6.如图,直线y =
12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,抛物线y =ax 2﹣3
2
x+c 经过A ,B 两点,与x 轴的另一交点为C . (1)求抛物线的解析式;
(2)M 为抛物线上一点,直线AM 与x 轴交于点N ,当
3
2
MN AN =时,求点M 的坐标; (3)P 为抛物线上的动点,连接AP ,当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.
7.如图,直角三角形ABC ?中,90460ACB AC A ∠?=∠?=,,=,O 为BC 中点,将
ABC ?绕O 点旋转180?得到DCB ?.一动点P 从A 出发,以每秒1的速度沿
A B D →→的路线匀速运动,过点P 作直线PM ,使PM AC ⊥.
(1)当点P 运动2秒时,另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动,且在AB 上以每秒1的速度匀速运动,在BD 上以每秒2的速度匀速运动,过Q 作直线QN 使
//QN PM ,设点Q 的运动时间为t 秒,(0 图形的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并求出S 的最大值. (2)当点P 开始运动的同时,另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动,且在 BC 3 CD 上以每秒2的速度匀度运动,是否存在这样的P R 、,使BPR ?为等腰三角形?若存在,直接写出点P 运动的时间m 的值,若不存在请说明理由. 8.附加题:在平面直角坐标系中,抛物线2 1y ax a =-与y 轴交于点A ,点A 关于x 轴的对称点为点B , (1)求抛物线的对称轴; (2)求点B 坐标(用含a 的式子表示); (3)已知点11, P a ?? ??? ,(3,0)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图像,求a 的取值范围. 9.对于平面内的点M 和点N ,给出如下定义:点P 为平面内的一点,若点P 使得 PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形,则称点P 是点M 关于点N 的锐 角等腰点P .如图,点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点.在平面直角坐标系xOy 中,点 O 是坐标原点. (1)已知点(2,0)A ,在点123(0,2),(1,3),(1,3)P P P -,4(2,2)P -中,是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________. (2)已知点(3,0)A ,点C 在直线2y x b =+上,若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点,求实数b 的取值范围. (3)点D 是x 轴上的动点,(,0),(2,0)D t E t -,点(,)F m n 是以D 为圆心,2为半径的圆上一个动点,且满足0n ≥.直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ,,若线段 HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点,请直接写出t 的取值范围. 10.已知:如图,四边形ABCD ,AB DC ,CB AB ⊥,16AB cm =,6BC cm =, 8CD cm =,动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动,运动速度为1/cm s ,动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动,运动速度为2/cm s .点P 和点Q 同时出发,O 为四边形ABCD 的对角线的交点,连接 PO 并延长交CD 于M ,连接QM .设运动的时间为()t s , 08t <<. (1)当t 为何值时,PQ BD ? (2)设五边形QPBCM 的面积为( )2 S cm ,求S 与t 之间的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使PQM 的面积等于五边形面积的11 15 ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使点Q 在MP 的垂直平分线上?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由. 11.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点 A C 、(点A 在点C 的左侧),与y 轴正半轴交于点 B ,24O C OB ==. (1)如图1,求a m 、的值; (2)如图2,抛物线的顶点坐标是M ,点D 是第一象限抛物线上的一点,连接AD 交抛物线的对称轴于点N ,设点D 的横坐标是t ,线段MN 的长为d ,求d 与t 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,当15 4 d = 时,过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ,点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点,连接PE 交x 轴于点F ,直线2 11 y x b = +经过点D 交EF 于点G ,连接CG ,过点E 作EH CG 交DG 于点H ,若3CFG EGH S S =△△,求点 P 的坐标. 12.如图1,平面直角坐标系xoy 中,A (-4,3),反比例函数(0)k y k x = <的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ,BC 于E ,F (E ,F 不与A 重合),沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ,D 重合. (1)①如图2,当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时,求CE 的长; ②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内(不包括边界),求线段CE 长度的取值范围. (2)若折叠后,△ABD 是等腰三角形,请直接写出此时点D 的坐标. 13.(1)如图1,A 是⊙O 上一动点,P 是⊙O 外一点,在图中作出PA 最小时的点A . (2)如图2,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6,Q 是⊙C 上一动点,在线段AB 上确定点P 的位置,使PQ 的长最小,并求出其最小值. (3)如图3,矩形ABCD 中,AB =6,BC =9,以D 为圆心,3为半径作⊙D ,E 为⊙D 上一动点,连接AE ,以AE 为直角边作Rt △AEF ,∠EAF =90°,tan ∠AEF = 1 3 ,试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值,如果有,请求出最大或最小值,否则,请说明理由. 14.在ABC ?中,若存在一个内角角度,是另外一个内角角度的n 倍(n 为大于1的正整数),则称ABC ?为n 倍角三角形.例如,在ABC ?中,80A ∠=?,75B ∠=?, 25C ∠=?,可知3∠=∠B C ,所以ABC ?为3倍角三角形. (1)在ABC ?中,55A ∠=?,25B ∠=?,则ABC ?为________倍角三角形; (2)若DEF ?是3倍角三角形,且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的1 3 ,求DEF ?的最小内角. (3)若MNP ?是2倍角三角形,且90M N P ∠<∠<∠,请直接写出MNP ?的最小内角的取值范围. 15.将一个直角三角形纸片ABO ,放置在平面直角坐标系中,点0(3)A ,,点 ()0, 3B ,点(0,0)O (I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ,O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ,沿着DE 折叠该纸片,点B 落在射线BO 上的点F 处. ①如图,当D 为OB 中点时,求E 点的坐标; ②连接AF ,当AEF ?为直角三角形时,求E 点坐标: (Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合),将AOP ?沿OP 所在的直线折叠,得到 'A OP ?,连接'BA ,当'BA 取得最小值时,求P 点坐标(直接写出结果即可). 16.如图,平面直角坐标系中,抛物线2 28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点(点B 在 点C 右侧),与y 轴交于点A ,连接AB ,5AB = (1)求抛物线的解析式; (2)点P 在第二象限的抛物线上,连接PB 交y 轴于D ,取PB 的中点E ,过点E 作 EH x ⊥轴于点H ,连接DH ,设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围); (3)在(2)的条件下,作PF y ⊥轴于F ,连接CP 、CD ,CP CD =,点S 为PF 上一点,连接BS 交y 轴于点T ,连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=?,在 射线CS 上取点Q.连接QF ,QF RF =,求直线TQ 的解析式. 17.已知抛物线2 y ax bx c =++过点(6,0)A -,(2,0)B ,(0,3)C -. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点H 是该抛物线第三象限的任意一点,求四边形OCHA 的最大面积; (3)若点Q 在y 轴上,点G 为该抛物线的顶点,且45GQA ∠=?,求点Q 的坐标. 18.定义:将函数l 的图象绕点P (m ,0)旋转180°,得到新的函数l '的图象,我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数. 例如:当m =1时,函数y =(x +1)2+5关于点P (1,0)的相关函数为y =﹣(x ﹣3)2﹣5. (1)当m =0时 ①一次函数y =x ﹣1关于点P 的相关函数为 ; ②点( 1 2,﹣98 )在二次函数y =﹣ax 2﹣ax +1(a ≠0)关于点P 的相关函数的图象上,求a 的值. (2)函数y =(x ﹣1)2+2关于点P 的相关函数y =﹣(x +3)2﹣2,则m = ; (3)当m ﹣1≤x ≤m +2时,函数y =x 2﹣mx ﹣12 m 2 关于点P (m ,0)的相关函数的最大值为6,求m 的值. 19.已知菱形ABCD 中,∠ABC=60°,AB=4,点M 在BC 边上,过点M 作PM ∥AB 交对角线BD 于点P ,连接PC . (1)如图1,当BM=1时,求PC 的长; (2)如图2,设AM 与BD 交于点E ,当∠PCM=45°时,求证:BE DE 33 +; (3)如图3,取PC 的中点Q ,连接MQ ,AQ . ①请探究AQ 和MQ 之间的数量关系,并写出探究过程; ②△AMQ 的面积有最小值吗?如果有,请直接写出这个最小值;如果没有,请说明理由. 20.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ,斜边AB 在 x 轴上,且点A 的坐标为()9,0-,点D 是AC 的中点,点E 是BC 边上的一个动点,抛 物线2 12y ax bx =++过D ,C ,E 三点. (1)当//DE AB 时, ①求抛物线的解析式; ②平行于对称轴的直线x m =与x 轴,DE ,BC 分别交于点F ,H ,G ,若以点D , H ,F 为顶点的三角形与GHE △相似,求点m 的值. (2)以E 为等腰三角形顶角顶点,ED 为腰构造等腰EDG △,且G 点落在x 轴上.若在 x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时,请直接写出.... 点E 的坐标. 21.如图,直角梯形ABCD 中, 1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ??∠∠====的圆心1O 从点A 开始沿折线 ——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动,2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以 3/cm s 的速度向点A 运动,1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ,若12,O O 分别从点 A 、点 B 同时出发,运动的时间为ts (1)请求出2O 与腰CD 相切时t 的值; (2)在03s t s ≤<范围内,当t 为何值时, 1O 与2O 外切? 22.阅读材料:等腰三角形具有性质“等边对等角”.事实上,不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”:如图1.在△ABC 中,如果AB >AC ,那么∠ACB >∠ABC .证明如下:将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折(如图2),因为AB >AC ,所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处.于是,由∠ACB >∠B ',∠ABC =∠B ',可得∠ACB >∠ABC . (1)灵活运用:从上面的证法可以看出,折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法.由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”:如图3.在△ABC 中,如果∠ACB >∠ABC ,那么AB >AC .小明的思路是:沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程. (2)拓展延伸:请运用上述方法或结论解决如下问题: 如图4,已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点(不含端点),连接AM 并延长,交BC 的延长线于点N .求证:AM +AN >2BD . 23.如图1,在ABC 中,BD 平分ABC ∠,CD 平分ACB ∠. (1)若80A ∠=?,则BDC ∠的度数为______; (2)若A α∠=,直线MN 经过点D . ①如图2,若//MN AB ,求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示); ②如图3,若MN 绕点D 旋转,分别交线段,BC AC 于点,M N ,试问在旋转过程中 NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变,求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示),若改变,请说明理由: ③如图4,继续旋转直线MN ,与线段AC 交于点N ,与CB 的延长线交于点M ,请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示). 24.在平面直角坐标系xOy 中,点A 为x 轴上的动点,点B 为x 轴上方的动点,连接 OA ,OB ,AB . (1)如图1,当点B 在y 轴上,且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点 P ,请直接写出P ∠的度数; (2)如图2,当点B 在y 轴上,OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ,点C 在BP 的延长线上,且满足45AOC ∠=?,求 OAB OCB ∠∠; (3)如图3,当点B 在第一象限内,点P 是AOB ?内一点,点M ,N 分别是线段OA , OB 上一点,满足:1902 APB AOB ∠=?+∠,PM PN =,180ONP OMP ∠+∠=?. 以下结论:①OM ON =;②AP 平分OAB ∠;③BP 平分OBA ∠;④AM BN AB +=. 正确的是:________.(请填写正确结论序号,并选择一个正确的结论证明,简写证明过程). 25.在平面直角坐标系中,直线4 (0)3 y x b b =- +>交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,10AB =. (1)如图1,求b 的值; (2)如图2,经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ,与 x 轴交于点R ,//CD OA ,交AB 于点D ,设线段CD 长为d ,求d 与n 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,点F 在第四象限,CF 交OA 于点E ,45AEF ∠=?,点 P 在第一象限,PH OA ⊥,点N 在x 轴上,点M 在PH 上,MN 交PE 于点G , PH EN = ,过点E 作EQ CF ⊥,交PH 于点Q , 3==EQ EF , ∠=∠OBR HNM ,BC CR =,点G 的坐标为1927,55?? ??? ,连接FN ,求EFN 的面 积. 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、中考数学压轴题 1.G 解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)GB =. 【解析】 【分析】 (1)根据矩形的性质可知∠BDC=∠DBA ,∠A=90°,再结合已知条件∠BDC+45°=∠BFD ,通过角的等量代换可得出∠EBD=45°,又因为∠BED=90°,即可得出结论; (2)过点K 作 KS ⊥BE ,垂足为 R ,交 AB 于点 S .证明△SRB ≌△HRK ,得出SB=HK ,再证明△ABF ≌△GKS ,即可得出结论; (3)过点 O 分别作AD 和 CN 的垂线,垂足分别为 Q 和 T ,连接 OC .通过证明△OQD ≌△OTC ,得出AD=CN=BC ,连接ON ,证△NOC ≌△BOC ,得出∠BCO=∠NCO 设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α,由此得出∠MOC=2α,过点 M 作 MW ⊥OC ,垂足为 W 在 OC 上取一点 L ,使 WL=OW ,连接 ML ,设OM=ML=LC=a ,根据勾股定理可求出OM 的值,继而求出MW=3,WC=9,∴OB=OC=OD=13,BD=26,再解直角三角形即可. 【详解】 解:(1)如图1,∵矩形 ABCD ∴AB ∥CD ,∠A=90° ∴∠BDC=∠DBA ,BD 是⊙O 的直径 ∴∠BED=90° ∵∠BFD=∠ABF+∠A ,∠BFD=∠BDC+45° ∴∠ABF+∠A=∠BDC+45° 即∠ABF+90°=∠DBA+45° ∴∠DBA-∠ABF=45° ∴∠EBD=45° ∴∠EBD=∠EDB (2)证明:如下图,在图2中,过点K 作 KS⊥BE,垂足为 R,交 AB 于点 S. ∵KG⊥AB ∴∠BGH=∠KRH=∠SRB=∠KGS=90° ∴∠SBR=∠HKR ∵∠RBK=∠RKB=45° ∴BR=KR ∵∠SRB=∠HRK=90° ∴△SRB≌△HRK ∴SB=HK ∵SB=BG+SG,HK=BG+AF ∴BG+SG=BG+AF ∴SG=AF ∵∠ABF=∠GKS,∠BAF=∠KGS=90° ∴△ABF≌△GKS ∴AB=KG (3)如下图,在图3中,过点 O 分别作AD 和 CN 的垂线,垂足分别为 Q 和 T,连接 OC.∵∠APO=∠CPO ∴OQ=OT ∵OD=OC,∠OQD=∠OTC=90° ∴△OQD≌△OTC ∴DQ=CT ∴AD=CN=BC 连接 ON ∵OC=OC ,ON=OB ∴△NOC ≌△BOC ∴∠BCO=∠NCO 设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α ∴∠MOC=2α 过点 M 作 MW ⊥OC ,垂足为 W 在 OC 上取一点 L ,使 WL=OW ,连接 ML ∴MO=ML ∴∠MOL=∠MLO=2α ∴∠LCM=∠LMC=α ∴ML=CL 设OM=ML=LC=a 则OD=a+8=OC ,∴OL=8,OW=WL=4 ∵OM 2-OW 2=MW 2=MC 2-CW 2 ∴ 24450a a +-= 1a = -(9 舍去),2a = 5 ∴OM=5 ∴MW=3,WC=9,∴OB=OC=OD=13,BD=26 ∵∠GKB=∠CBD=∠ADB=∠BCO=∠MCW ,tan ∠MCW=13 ∴tan ∠GKB=tan ∠CBD=tan ∠ADB=tan ∠BCO=tan ∠MCW=1 3 ∴CD=GK=AB 13 105 = 在 Rt △GKB 中,tan ∠GKB= 1 3 GB GK = ∴GB 13 1015 = 【点睛】 本题是一道关于圆的综合题目,难度很大,综合性很强,考查了圆周角定理、矩形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形等多个知识点,和三角形,四边形相比,圆这部分知识综合性比较强,与各方面联系比较广,所以一道题往往有多种证明方法,添加辅助线的原则是:一,运用基本图形的性质,补全基本图形,以利证明;二,运用图形转化的思想,将图形中的分散的条件相对集中,产生新的图形,运用基本图形的性质证明. 2.D 解析:(1)见解析;(2)存在,满足条件的x的值为6或25 3 ;(3)DP= 48 5 或10< DP≤12 【解析】 【分析】 (1)根据矩形的性质,结合已知条件可以证明两个角对应相等,从而证明三角形相似;(2)由于对应关系不确定,所以应针对不同的对应关系分情况考虑:①当∠PEF=∠EAB 时,则得到四边形ABEP为矩形,从而求得x的值;②当∠PEF=∠AEB时,再结合(1)中的结论,得到等腰△APE.再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点,运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解. (3)首先计算圆D与线段相切时,x的值,在画出圆D过E时,半径r的值,确定x的值,半径比这时大时符合题意,根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围. 【详解】 (1)证明:∵矩形ABCD, ∴∠ABE=90°,AD∥BC, ∴∠PAF=∠AEB, 又∵PF⊥AE, ∴∠PFA=90°=∠ABE, ∴△PFA∽△ABE. (2)解:分二种情况: ①若△EFP∽△ABE,如图1, 则∠PEF=∠EAB, ∴PE∥AB, ∴四边形ABEP为矩形, ∴PA=EB=6,即x=6. ②如图2,若△PFE∽△ABE, 则∠PEF =∠AEB , ∵AD ∥BC ∴∠PAF =∠AEB , ∴∠PEF =∠PAF . ∴PE =PA . ∵PF ⊥AE , ∴点F 为AE 的中点, Rt △ABE 中,AB =8,BE =6, ∴AE =22AB BE +=2286+=10, ∴EF = 1 52 AE =, ∵△PFE ∽△ABE , ∴PE EF AE BE =, ∴ 5106 x =, ∴PE = 253 , ∴满足条件的x 的值为6或 253 . (3)如图3,当⊙D 与AE 相切时,设切点为G ,连接DG , ∵AP =x , ∴PD ═DG =12﹣x , ∵∠DAG =∠AEB ,∠AGD =∠B =90°, ∴△AGD ∽△EBA , ∴AD DG AE AB =, ∴ 1212108 x -=, ∴x = 12 5 , ∴12481255 DP =- =, 当⊙D 过点E 时,如图4,⊙D 与线段有两个公共点,连接DE , 此时PD =DE =10, 故答案为:DP =48 5 或10<DP ≤12. 【点睛】 本题考查动点问题,动点在不同地方时,得到的图形是不同的,解题关键是确定动点运动过程中,有几种对应的图形,然后再根据图形性质分析求解. 3.(1) CF 长为2 4 ;(2) 四边形BFDE 是菱形,理由见解析;(3) 纸片ENFM 是“标准纸",理由见解析 【解析】 【分析】 (1)1AB =,则2AD = ABCD 是矩形,得到 1,2CD AB BC AD ==-=FB FD =,设CF x =,则 2FB FD x ==,在Rt DCF △中,2 2 2 +=CD CF DF ,可得) 22 2 12x x += 即 可求解. (2)当顶点B 与点D 重合时,折痕EF 垂直平分BD ,可得OB OD =, 90BOF DOE ∠=∠=,在矩形ABCD 中,//AD BC ,得到OBF ODE ∠=∠,在 BOF 和DOE △中,,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,,可得 BOF DOE ?,OE OF =,再根据OB OD =,可得四边形BFDE 是平行四边形,最后根据EF BD ⊥,即可求证平行四边形BFDE 是菱形. (3)由()2可知,OE OF =,同理可知,OM ON =,可得四边形ENFM 是平行四边形,根据90DOE DAB ∠=∠=?,得到DOE DAB ,再根据2AD AB =,可得 222 OE AB OD AD ===,进而得到2 2OE OD =,22EF BD = ,同理可得,2 2 MN AC = ,根据四边形ABCD 是矩形,可得AC BD =,EF MN =,四边形ENFM 是矩形,90EMF ∠=,2MF OD tan FEM ME OE ∠= ==,2MF ME =,即可求证纸片ENFM 是“标准纸". 【详解】 解:() 11,AB =则2,2AD AB == 四边形ABCD 是矩形 1,2CD AB BC AD ∴==-= 由折叠得FB FD = 设CF x =,则2FB FD x ==- 在Rt DCF △中,222+=CD CF DF ( ) 2 2 2 12x x +=- 24 x = 答:CF 长为 2 ()2四边形BFDE 是菱形. 理由:当顶点B 与点D 重合时,折痕EF 垂直平分,BD OB OD ∴=,90BOF DOE ∠=∠= 在矩形ABCD 中,//,AD BC OBF ODE ∴∠=∠ 在BOF 和DOE △中,,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠, BOF DOE ∴? OE OF ∴= OB OD = ∴四边形BFDE 是平行四边形 EF BD ⊥ 平行四边形BFDE 是菱形. ()3纸片ENFM 是“标准纸” 理由如下:由()2可知,,OE OF = 同理可知,,OM ON = ∴四边形ENFM 是平行四边形 90DOE DAB ∠=∠=? DOE DAB ∴ 2AD = 2 22 OE AB OD AD ∴ === 2 2 OE OD ∴= 2 EF BD ∴= 同理可得,2 MN AC = 四边形ABCD 是矩形, AC BD ∴=, EF MN ∴= ∴四边形ENFM 是矩形. 90EMF ∴∠=. 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根 例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一 一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲 (A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 六年级数学总复习易错题 一、填空题 1. A=2 x 3X a, B=3X a x 7,已知A与B的最大公约数是15,那么 a=(),A与B的最小公倍数是()。 2. 有一个放大镜,在这个放大镜下,一条线段其长度是原来的3倍,在这个放大镜下,正方形面积是原来的()倍,正方体的体积是原来的()倍。 3. 小红1/5小时行3/8千米,她每小时行()千米,行1千米用()小时。 4. 一台榨油机6小时榨油300千克。照这样计算,1小时榨油 ()千克,榨1千克油需()小时。 5. 把3米长的绳子平均分成4段,每段长()米,每段占3米的()。 6. 一个长方体的长、宽、高的比是3:2: 1,已知长方体的棱长 总和是144厘米,它的体积是()立方厘米。 7. 甲数是乙数的60%甲数比乙数少()%乙数比甲数多() 8. 甲班人数比乙班多1/4,则乙班人数比甲班少()。9.水结成冰后,体积比原来增加1/11,冰化成水后,体积减少()。 10. 一项工程投资20万元,比计划节约5万元。节约() %。 11. 男生人数的3/4与女生人数的4/5 一样多,男女生人数的比是 。 12. 一个长方形的周长36分米,宽是长的4/5,长方形的面积是 平方分米。 13. 在一个减法算式里,被减数、减数与差的和是180,减数与差的比是4: 5,被减数是(),差是()。 14. 一本书若定价每本10元,获得的纯利润是25%如果想使获得的纯利润是40%则每本书应定价()元。 15. 一个两位数,十位上的数字是m个位上的数字是n,用含有 字母的式子表示是()。 16. —个两位小数,它的近似值是4.0,这个数最大是(), 最小是()。 二、判断题 1. 大于90°的角都是钝角。() 2. 只要能被2除尽的数就是偶数。() 3.12/15不能化成有限小数。( 4. 能被3整除的数一定能被9整除。 5. 两个锐角之和一定是钝角。( 6. 在比例中,如果两个内项互为倒数, () 7. x+y=ky (k 一定)则x、y不成比例。( 8. 正方形、长方形、平行四边形、圆都是轴对称图形。( ) 9. 比例尺就是前项是1的比。() 10.1千克的金属比1千克的棉花重。( 11.1/100和1%TE是分母为100的分数,它们表示的意义相同。 () 12. 圆锥的体积比圆柱体积小2/3。( ) () ) 那么两个外项也互为倒数18. 比例尺大的,实际距离也大。( 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 小学六年级数学易错题(选择题)_题型归纳 二、选择题: 1、自然数a除以自然数b,商是10,那么a和b的最大公约数是( )。 A、a B、b C、10 2、一个三角形,经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形,其中一个三角形的内角和是( )。 A、180 B、90 C、不确定 3、从甲地开往乙地,客车要10小时,货车要15小时,客车与货车的速度比是( )。 A、2:3 B、3:2 C、2:5 4、用3根都是12分米长的铁丝围成长方形、正方形和圆形,则围成的( )面积最大。 A、长方形 B、正方形 C、圆形 5、在除法算式mn=ab中,(n0),下面式子正确的是( )。 A、a>n B、n>a C、n>b 6、过平行四边形的一个顶点向对边可以作( )条高。 A、1 B、2 C、无数 7、用三根同样长的铅丝分别围成圆、正方形和长方形,( )的面积最小。 A、圆 B、正方形 C、长方形 8、甲数与乙数的比值为0.4,乙数与甲数的比值为( ) A.0.4 B.2.5 C. 2/5 9、加工一批零件,经检验有100个合格,不合格的有25个,这批零件的合格率是( ) A、75% B、80% C、100% 10、小数点右边第三位的计数单位是( ) A、百分位 B、千分位 C、0.01 D、0.001 11、等底等高的圆柱体比圆锥体体积( ) A、大 B、大2倍 C、小 12、如果4X=3Y,那么X与Y( ) A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 13、0.70.3如果商是2那么余数是( ) A、1 B、0.1 C、0.01 D、10 14、做一批零件,如果每人的工效一定,那么工人的人数和用的时间( ) A。成正比例B。成反比例C。不成比例 15、两根同样长的绳子,一根剪去3/7,另一根剪去3/7米,第( )根剪去的长一些。 A、第一根长 B、第二根长 C、一样长 D、无法判断 16、一根绳子,剪成两段,第一段长3/7米,第二段占全长的3/7,第( )段长一些。 A、第一段长 B、第二段长 C、一样长 D、无法判断中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
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