上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期开学摸底考数学试题

上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期开学摸底考数学

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．直线210x y -+=的一个法向量为______.

2．直线350x --=的倾斜角大小为___________.

3．直线20x ++=与直线10x +=的夹角为______.

4．一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂直，则这条直线方程为___________.

5．若点()4,A a 到直线4310x y --=的距离等于3，则a =__________．

6．过点()21A -，

与()12B ，半径最小的圆的方程为___________. 7．对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______.

8．已知直线l ：2y ax =+和()1,4A 、()3,1B 两点，若直线l 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围为______.

9．已知()2,3A 、()4,8B -两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直线的方程为______.

10．已知定点()0,5A -，P 是圆()()22

232x y -++=上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为______.

11．若直线l 与直线1y =和70x y --=分别交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,1P -，则直线l 的斜率等于__________．

12．已知正三角形的三个顶点()()(0020,A B C ，

，，，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 近上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P .若1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ的取值范围为____________.

二、单选题

13．如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，那么下列命题中正确的是

（ ）

A ．曲线C 的方程为(),0F x y =

B ．(),0F x y =的曲线是C

C ．以方程(),0F x y =的解为坐标的点都在曲线C 上

D ．曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上

14．若圆C ：()()22

2x a y a a -++=被直线l ：20x y ++=分成的两段弧长之比是1:3，则满足条件的圆C （ ）

A ．有一个

B ．有两个

C ．有三个

D ．有四个

15．两直线12,l l 的方程分别为0x b +=和

sin 0x a θ+=（,a b 为实常数）

，θ为第三象限角，则两直线12,l l 的位置关系是（ ）

A ．相交且垂直

B ．相交但不垂直

C ．平行

D ．不确定

16．若()2,3P 既是()11,A a b 、()22,B a b 的中点，又是直线1l ：11130a x b y +-=与直线2l ：22130a x b y +-=的交点，则线段AB 的中垂线方程是（ ）

A ．23130x y +-=

B ．32120x y +-=

C ．320x y -=

D ．2350x y -+=

三、解答题

17．讨论两直线1l ：1mx y +=-和2l ：323mx my m -=+之间的位置关系.

18．已知ABC ?的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.

（1）求BC 边所在直线的方程；

（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ?=，求点A 的坐标. 19．已知定点()2,0A -、()2,0B ，动点C 在线段AB 上，且PAC ?、QBC ?均为等边三角形（P 、Q 均在x 轴上方）.

（1）R 是线段PQ 的中点，求点R 的轨迹；

（2）求ARB ∠的取值范围.

20．过点()2,1P -的直线l 分别交()102

y x x =≥与()20y x x =-≥于A 、B 两点. （1）设A 点的坐标为()2,a a ，用实数a 表示B 点的坐标，并求实数a 的取值范围；

（2）设AOB ?的面积为245

，求直线l 的方程； （3）当PA PB ?最小时，求直线l 的方程.

参考答案

1．()2,1-

【分析】

先求得直线210x y -+=的斜率，由此与其垂直的直线的斜率，进而求得直线210x y -+=的一个法向量.

【详解】

直线210x y -+=的斜率为2，故与其垂直的直线的斜率为12-

，故直线210x y -+=的一个法向量为()2,1-.

故填：()2,1-.

【点睛】

本小题主要考查直线的法向量的求法，属于基础题.

2．3

π 【解析】

【分析】

根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由tan k α=得直线的倾斜角，得解.

【详解】

由350x -=得3

y =-，所以直线的斜率k =α且0απ≤<，由tan k α=得直线的倾斜角为3π

. 故填：3

π. 【点睛】

本题考查直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再得直线的倾斜角的问题，属于基础题. 3．60?

【分析】

分别求得题目所给两条直线的倾斜角，由此求得两条直线的夹角.

【详解】

直线20x +=

的斜率为-150.直线10x +=的倾斜角为90，所以两条直线的夹角为1509060-=.

故填：60.

【点睛】

本小题主要考查两条直线夹角的计算，考查直线的倾斜角，属于基础题.

4．2114170x y -+=

【分析】

设出过两直线的交点的直线系方程(23)(31)0x y x y λ+-+-+=，由直线垂直的判定条件得到关于λ的方程，解之再代入即得所求的直线方程.

【详解】

设过230x y +-=与310x y -+=的交点的直线方程为：(23)(31)0x y x y λ+-+-+=， 因为此直线与直线2350x y +-=垂直，所以()()132230λλ+?+-?=，解得8

3

λ=-， 所以这条直线方程为：8(23)(31)03

x y x y +---+=，即2114170x y -+=. 故填：2114170x y -+=.

【点睛】

本题考查过两直线的交点的直线系方程和两直线垂直的判定条件，属于基础题.

5．0或10

【解析】

【分析】

根据题意以及点到直线的距离公式得到

15335a -=

=，化简，解出方程即可. 【详解】

因为点()4,A a 到直线4310x y --=的距离等于3

，所以15335a -=

=，

解得0a =或10a =.

故答案为：0或10.

本题考查了点到直线的距离公式的应用，较为基础.

6．22

315222x y ????-+-= ? ??

??? 【分析】

由圆心到直线的距离d 、半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0, 此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，可得圆的方程.

【详解】

设所求的圆的圆心为C ，圆的半径为R ，圆心到直线AB 的距离为d , 则2222AB R d ??=+ ???，由已知得

AB ==

要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0，此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB

， 圆的方程是222

31222x y ?????-+-= ? ? ??????，即22315222x y ????-+-= ? ?????， 故填：22

315222x y ????-+-= ? ??

???． 【点睛】

本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题. 7．()1,1、17,55?? ???

【分析】

将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.

【详解】

由2224620x y mx my m +--+-=由得()22

22320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=??+-=?，解得11x y =??=?或1575x y ?=????=??. 故填：()1,1、17,55?? ???

.

本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.

8．1,23

??-???? 【分析】

求得直线所过定点C ，结合,AC BC 的斜率和图像，求得实数a 的取值范围.

【详解】

依题意可知，直线l 过定点()0,2C ，画出图像如下图所示，由图可知[],BC AC a k k ∈，其中21124,203301BC AC k k --==-==--，所以a 的取值范围是1,23??-????

. 故填：1

,23

??-????.

【点睛】

本小题主要考查直线斜率公式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

9．1120x y +=或560x y +=

【分析】

分成两种情况：一个是直线l 过原点和线段AB 的中点，一个是直线l 过原点且与直线AB 平行，分别求得直线l 的方程.

【详解】

当直线l 过原点和线段AB 的中点时，线段AB 的中点为111,2??- ??

?，故直线l 的方程为112

y x =-，即1120x y +=. 当是直线l 过原点且与直线AB 平行时，直线AB 的斜率为

835426-=---，故直线l 的方程为56

y x =-，即560x y +=. 故填：1120x y +=或560x y +=.

【点睛】

本小题主要考查直线方程的求法，考查两条直线平行的条件，考查中点坐标公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

10．()3,2-

【分析】

连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像.求得直线AC 的方程，联立直线AC 的方程和圆的方程，求得交点P 的坐标.

【详解】

连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像如下图所示.此时PA 取得最大值.圆心坐标为

()2,3-，故直线AC 的方程为()()503520y x ---=----，即5y x =-.由()()225232y x x y =-???-++=??

解得()3,2P -，（点()1,4-舍去）.

故填：()3,2-.

【点睛】

本小题主要考查点和圆的位置关系，考查直线和圆的交点坐标的求法，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

11．23

- 【分析】

设M （,1a ），N （,7b b -），根据中点公式，求得a ，b 的值，进而根据斜率公式求得直线斜率.

【详解】

设M （,1a ），N （,7b b -） ，已知MN 的中点为()1,1P -， 则121712

a b b +?=???+-?=-?? ，解得2,4a b =-= ，即M （-2,1），N （4，-3）， 则直线l 的斜率等于

1(3)2243--=--- 故填:23

-

.

【点睛】

本题考查了求直线的交点，考查了直线斜率的求法，灵活运用中点坐标公式求值，可简化运算.

12

．2? ?

【分析】

设1BP x =

，则求得

x =，再根据反射的条件：入射角等于反射角可得：12102,3

CPP BPP πθ∠=∠=-2123,CP P AP P θ∠=∠=在12CPP ?和32AP P ?中运用正弦定理表示3AP ，由302,AP <≤可求得tan θ的取值范围.

【详解】

根据题意做出示意如下图所示：

设1BP x =，

则2tan 12

x x θ=?=-，根据反射的条件：入射角等于反射角可以得：121021232,,3

CPP BPP CP P AP P πθθ∠=∠=-∠=∠= 在12CPP ?中由正弦定理得222sin 23(2),2sin sin sin 3CP x CP x πθπθθθ??- ?-??=?=?-??- ???

而sin 2sin 3θπθ==??- ???，

所以2CP =

222AP CP -== 在32AP P ?中由正弦定理得3223sin 22sin sin sin 33AP AP AP AP θππθθθ?=?=????-- ? ?????

，

所以

322tan AP θ=

322tan 02,2,0AP θ<≤≤

<

解得tan ,2θ?∈ ?

，

故填：2? ?

【点睛】

本题考查解三角形中的正弦定理的应用，关键在于由反射的条件得出边、角之间的关系，再由302,AP <≤建立不等式，求得范围，属于难度题.

13．D

【分析】

根据曲线和方程的关系选出正确选项.

【详解】

依题意可知，曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，也即曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上.但是方程(),0F x y =的解，不一定是曲线C 上的点，所以A,B,C 选项错误，D 选项正确.

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查曲线和方程的关系，属于基础题.

14．B

【分析】

设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，根据圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3可知AOB 90∠=，由此得到圆心到直线的距离，进而以此列方程，

解方程求得a 的值，从而得出得出正确选项.

【详解】

设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，由于圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3，所以

AOB 90∠=.由于圆的圆心为(),a a -，半径为a ，所以圆心到直线l ，也

,2,2a a ===±，所以满足条件的圆有两个. 故选B.

【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题.

15．A

【解析】

因为θ为第三象限角，

所以1sin 10sin sin sin sin θθθθθ?+=+=-=，

所以两直线垂直.故选A.

点睛：.两直线位置关系的判断：1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和

垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：

垂直：12120A A B B +=；

平行：1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！

16．C

【分析】

将P 点坐标代入12,l l 的方程，由此求得直线AB 的斜率，进而求得线段AB 中垂线的斜率，根据点斜式求得线段AB 的中垂线方程.

【详解】

将P 点坐标代入12,l l 的方程得1123130a b +-=，2223130a b +-=，所以,A B 两点在直线2313x y +-上，故23AB k =-，所以线段AB 的中垂线的斜率为32

，依题意AB 中点为()2,3P ，所以线段AB 的中垂线方程是()3322

y x -=-，即320x y -=. 故选C.

【点睛】

本小题主要考查点和直线的位置关系，考查线段垂直平分线方程的求法，属于基础题. 17．3m =-时，两直线重合；当0m ≠且3m ≠-时两直线相交.

【分析】

根据两条直线重合、平行、相交、垂直的条件，判断两直线的位置关系.

【详解】

两条直线化为一般式得12:10,:3230l mx y l mx my m ++=---=.

显然0m ≠. 由13m m m =-，得3m =-时，此时， 11323

m m m m ==---所以两直线重合. 两直线不平行.

当0m ≠且3m ≠-时两直线相交.

【点睛】

本小题主要考查两条直线的位置关系，属于基础题.两条直线的位置关系有：重合、平行、相交、垂直等.

18．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-

【分析】

（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；

（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ?=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.

【详解】

（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122

y x --=---，即240x y +-=.

（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为

d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ??=??=???-+=?，即2472360m n m n ?+-=?-+=?

，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】

本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.

19．（1）y =()1,1x ∈-；（2）1,cos 27arc ππ??-????

. 【分析】

（1）设出C 点坐标，根据等边三角形的性质求得,P Q 两点的坐标，根据中点坐标公式求得R 点的轨迹方程.

（2）利用余弦定理求得cos ARB ∠的表达式，由此求得cos ARB ∠的取值范围，进而求得ARB ∠的取值范围.

【详解】

（1）设()00,C x y ，则022x -≤≤，如图，则002,2CA x BC x =+=-，因为PAC ?、

QBC ?均为等边三角形，所以))00002222,,,2222x x x x P Q ????+--+ ? ? ? ?????

，因为R 是

线段PQ 的中点，设R 为(),x y ，则000222222

x x x x -+=+=

，

)

)0022222

x x y +-=+=R

的轨迹为[]1,1y x =∈-. （2

）设([],1,1R x x ∈-，则()()222223,23AR x BR x =++=-+，由余弦定理得cos ARB ∠2222AR BR AB AR BR +-=?

212

=2=①. 当1x =±时，①式为πcos 0,2ARB ARB ∠=∠=

. 当11x -<<时，()222110,011x x -≤-<

<-≤，①式为cos ARB ∠=，

注意到由于()22011x <-≤，所以()22481491x

+≥-，所以cos ARB

∠1,07??=-????.

综上所述，1cos ,07ARB ??∠∈-????，故ARB ∠的取值范围是1,cos 2

7arc ππ??-

????.

【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查利用余弦定理解三角形，考查反三角函数，属于中档题.

20．（1）48,5353a a a a -??

?--??，35a >；（2）11122y x =-；（3）37y x =- 【分析】 （1）设出B 点坐标，利用B 在射线()20y x x =-≥上以及BP PA λ=列方程组，解方程求得B 点坐标.

（2）结合（1）的结论，利用三角形面积公式列方程，解方程求得a 的值，进而求得直线l 的方程.

（3）结合（1）的结论，求得PA PB ?的表达式，进而求得PA PB ?最小时a 的值，进而求得直线l 的方程.

【详解】

（1）设(),B m n ，由于B 在射线()20y x x =-≥上，则2n m =-①.

()()2,1,22,1BP m n PA a a =---=-+，由于,,A P B 三点共线，BP PA λ=，则()()()()21122m a n a -?+=--?-②，解由①②组成的方程组得48,5353a a m n a a -=

=--，所以B 点坐标为48,5353a a a a -?? ?--??

.由于,A B 两点不重合，故0a >，且A 在第一象限，B 在第四象限.故40

538053

0a a a a a ?>?-?-????，解得35a >. （2）由于()1212?-=-，所以OA OB ⊥，结合（1）得()482,,,5353a a A a a B a a -?? ?--??，所以12OAB S OA OB ?=?

?12425==，化简得()26560,5a a -==，所以126,55A ?? ???

，由直线方程两点式得直线l 的方程为

612556121255y x -

-=---，化简得11122y x =-. （3）由（1）得()482,,,5353a a A a a B a a -?? ?--??，35a >，而()2,1P -，所以 PA PB ?

=2565353a a a -+=?-()1615353553a a ????=-+??-???

?2435≥?=，当且仅当()161553553a a -=-，即75a =时等号成立.此时147,55A ?? ???，由直线方程两点式得直线l 的方程为714557141255y x -

-=---

，化简得37y x =-.

【点睛】

本小题主要考查直线和直线相交交点坐标的求法，考查三角形面积公式，考查最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.