备战中考数学培优(含解析)之一元二次方程含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．

己知函数2

22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x

x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）见解析,

（3）AM 的解析式为112

y x =-

-． 【解析】

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式

【详解】

（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）令y=0，得△=

∴无论m 取何值，方程

总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有

，

由解得．

∴函数的解析式为

． 令y=0，解得

∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．

易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．

连结CB’，则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（106-，）

设直线AB’的解析式为y kx b =+，则

20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =-

-， 即AM 的解析式为112

y x =--．

2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．

①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；

②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣

32

，154） 【解析】

试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方

程求得x 的值即可求得点P 的坐标；

②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于

点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0

{312a b c c b a ++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=

，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；

②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =

12OB?OC+12AD?PD+12

(PD+OC)?OD=11131+(3)(3)()222x y y x ???+++-=333222

x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228

x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32

-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

3．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()22

3220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？

【答案】存在，n=0.

【解析】

【分析】

在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.

【详解】

若存在n 满足题意.

设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324

n +-

，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-

12

，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14

(舍)， 综上所述，n=0.

4．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；?它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．

()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．

【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .

【解析】

【分析】

（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.

【详解】

解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·

(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.

(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.

【点睛】

本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.

5．已知关于x 的一元二次方程有两个实数x 2+2x+a ﹣2=0，有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数a 的取值范围；

（2）若x 12x 22+4x 1+4x 2=1，求a 的值．

【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a 的取值范围；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a 的值.

试题解析：（1）∵方程有两个实数根，

∴△≥0，即22﹣4×1×（a ﹣2）≥0，解得a≤3；

（2）由题意可得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=a ﹣2，

∵x 12x 22+4x 1+4x 2=1，

∴（a ﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，

∵a≤3，

∴a=﹣1．

6．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．

(1)求n 的取值范围；

(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．

【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．

【解析】

【分析】

(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ?=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.

【详解】

(1)根据题意知，[]

224(2)41(1)0b ac n ?=-=--??-->

解之得：0n >；

(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，

∴1n =，

则方程为220x x -=，

即(2)0x x -=，

解得120,2x x ==．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ?=-的关系（①当>0? 时，方程有两个不相等的实数根；②当0?= 时方程有两个相等的实数根；③当?<0 时，方程无实数根）是解题关键.

7．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

【答案】（1）见详解；（2）410或4＋2.

【解析】

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.

【详解】

解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.

∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.

（2）∵此方程的一个根是1，

∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，

则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.

①当该直角三角形的两直角边是1、3

形的周长为1＋3=4

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直

角边为1＋3＋=4＋

8．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．

(1)若该方程的一个根为1，求k的值；

(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．

【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；

（2）求出根的判别式是非负数即可.

【详解】

(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，

1﹣k﹣3+3k＝0

解得k＝1；

(2)证明：

==-+=

a b k c k

1,(3),3

24

?=-

b ac

∴△＝(k+3)2﹣4?3k ＝(k﹣3)2≥0，

所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.

9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．

考点：一元二次方程的应用．

10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．

()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元；()2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？

【答案】（1）2280；（2）15

【解析】

【分析】

对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；

对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.

【详解】

（1）2280

()2因为1020020002625?=<．

因此参加人比10人多，

设在10人基础上再增加x 人，

由题意得：()()1020052625x x +-=．

解得 15x = 225x =，

∵2005150x -≥，

∴010x <≤，

经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．

1010515x +=+=

答：该单位共有15名员工参加旅游．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.