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电磁感应中“单、双棒”问题归类例析

一、单棒问题：

1.单棒与电阻连接构成回路：

例 1、如图所示， MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为B、

方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一

根与导轨接触良好、阻值为R／ 2 的金属导线ab 垂直导轨放置

（ 1）若在外力作用下以速度v 向右匀速滑动，试求ab 两点间的电势差。

（ 2）若无外力作用，以初速度v 向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab 发生的位移x。

2、杆与电容器连接组成回路

例 2、如图所示 , 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距 l , 导轨一端接有一个电容器, 电容

量为 C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为 m 的金属棒 ab 可紧贴导轨自由滑动.

现让 ab 由静止下滑 , 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什

么运动？棒落地时的速度为多大？

3、杆与电源连接组成回路

例 3、如图所示，长平行导轨PQ、 MN 光滑，相距l0.5 m，处在同一水平面中，

磁感应强度B=0.8T 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的

质量 m =0.1kg 、电阻 R =0.8 Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势 E =1.5V 、

内电阻 r =0.2 Ω的电池接在M、 P 两端，试计算分析：

（ 1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大？随后ab 的加速度、速度如何变化？

（2）在闭合开关 S 后，怎样才能使 ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动？试描述这时电路中

的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．

二、双杆问题：

b B

d

1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度L

v

例 4、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，

两导轨间的距

a c

离为 L 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和 cd，构成矩形回路，如图所示．两根

导体棒的质量皆为 m，电阻皆为 R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀

强磁场，磁感应强度为 B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd 静止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（ 1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（ 2）当 ab 棒的速度变为初速度的3/4 时， cd 棒的加速度是多少？

例 5、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T 的匀强磁场与导

轨所在平面垂直， 导轨的电阻很小， 可忽略不计。 导轨间的距离 l= 0.20m 。两根质量均为 m=0.10kg 的平行

金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为

R=0.50Ω。在

t=0 时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为 0.20N 的恒力 F 作用于金属杆甲上，使金属

杆在导轨上滑动。经过

t=5.0s ，金属杆甲的加速度为

a=1.37m/s 2，问此时两金属杆的速度各为多少？

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

例 6、如图所示， abcd 和 a /b /c /d /为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。

ab 、 a /b / 间的宽度是 cd 、 c /d /间宽度的 2 倍。设导轨足够长，导体棒 ef 的质量是棒 gh 的质量的 2 倍。现给

导体棒 ef 一个初速度

v 0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的

a

e

b

速度分别是多少？

g d

c

/

h

d /

c

b / /

a

f

3、磁场方向与导轨平面不垂直

例 7、如图所示， ab 和 cd 是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，

a

b

ae 和 cf 是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在 B

1

F

水平导轨上有与导轨垂直的导体棒

1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导

2 c d

体棒 2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度

e θ

为 B ，导轨间距为 L ，倾斜导轨与水平面夹角为 θ，导体棒 1 和 2 质量均为 m ， θ

电阻均为 R 。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力 F 作用在棒 1 f

上，

从静止开始拉动棒 1，同时由静止开始释放棒

2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间

的作用，试求：

（ 1）水平拉力 F 的大小；

（ 2）棒 1 最终匀速运动的速度

v 1 的大小。

三、轨道滑模型

例 8、如图所示， abcd 为质量 m 的 U 形导轨， ab 与 cd 平行，放在

光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为

m 的金属棒 PQ 平行 bc 放在水

平导轨上， PQ 棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱

、

、

1 2

为界，右侧磁

e f,U 形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过 e

f 的 O O 场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为

B ，导

轨的 bc 段长度为 L,金属棒 PQ 的电阻 R ，其余电阻均可不计，金属棒

PQ 与导轨间的动摩擦因数为μ， 在导轨上作用一个方向向右， 大小 F==mg 的水平拉力， 让 U 形导轨从静

止开始运动．设导轨足够长．求：

(1) 导轨在运动过程中的最大速度

υ

m

(2) 若导轨从开始运动到达到最大速度υ

m 的过程中，流过 PQ 棒的总电量为

q ，则系统增加的内能为

多少 ?

练习：

1、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽 L=0.4 m ，上、下两端各有一

个电阻 R0＝ 1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长 .垂直于框平面的方向存在向上

的匀强磁场，磁感应强度 B＝ 2T.ab 为金属杆，其长度为 L ＝ 0.4 m，质量 m

＝0.8 kg，电阻 r＝ 0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到

速度达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量 Q0＝0.375J(已知 sin37°＝ 0.6，

cos37° =0.8 ； g 取 10m／ s2)求：

(1)杆 ab 的最大速度；

(2) 从开始到速度最大的过程中ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab 的电荷量 .

2、光滑 U 型金属框架宽为 L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒 ab，左端a

连接有一电容为 C 的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架

运动，如图所示。求导体棒的最终速度。C0

v

b

3、如图所示 ,两根间距为l 的光滑金属导轨(不计电阻 ),由一段圆弧部分与一段无

限长的水平段部分组成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒 cd,质量为 2m,电阻为 2r.另一质量为 m, 电阻为 r 的金属棒 ab, 从圆弧段 M 处由静止释放下滑至 N 处进入水平段 ,圆弧段 MN 半径为 R, 所对圆心角为 60° ,求：

（1） ab 棒在 N 处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？

（2） cd 棒能达到的最大速度是多大？

（3） ab 棒由静止到达最大速度过程中 ,

系统所能释放的热量是多少？

4、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离 l= 0.20m。两根质量均为m= 0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电乙甲

阻为 R=0.50Ω。在 t=0 时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为

F 0.20N 的恒力 F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属

杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？

电磁感应中“单棒、双棒”问题归类例析答案

一、单棒问题：

1.单棒与电阻连接构成回路：

例 1.解析：（ 1）ab 运动切割磁感线产生感应电动势 E ，所以 ab 相当于电源，与外电阻 R 构成回路。

∴ U ab =

R BLV 2

BLV

R R

2 3

（ 2）若无外力作用则

ab 在安培力作用下做减速运动，最终静止。动能全部转化为电热。

Q

1

mv 2 。由动量定理得： Ft

mv 即 BILt

mv ， q

It ∴ q

mv 。 q

It

BLx

mv ，

2

BL

3

3

BL

R

R

3mvR 2

2

∴ x

。

2B 2 L 2

2、杆与电容器连接组成回路

例 2 .解析： ab 在 mg 作用下加速运动，经时间

t ，速度增为 v ， a =v / t

产生感应电动势 E=Bl v

电容器带电量

Q=CE=CBl v ，感应电流 I=Q/t=CBL v/ t=CBl a

产生安培力 F=BIl =CB2 l 2a ，由牛顿运动定律 mg-F=ma

ma= mg - CB 2 l 2 a ， a= mg / (m+C B 2 l 2)

∴ ab 做初速为零的匀加直线运动

, 加速度 a= mg / (m+C B 2 l 2)

落地速度为 v 2ah

2mgh

m CB 2

l

2

3、杆与电源连接组成回路

例 3． 解析 （ 1）在 S 刚闭合的瞬间，导线 ab 速度为零，没有电磁感应现象，由

a 到

b 的电流

I 0

E 1.5A ， ab

受 安 培 力 水 平 向 右 ， 此 时 瞬 时 加 速 度

R r

a 0

F 0

BI 0 L 6m / s 2

m

m

ab 运动起来且将发生电磁感应现象． ab 向右运动的速度为 υ时，感应电动势

E '

Blv ，根据右手定则， ab 上的感应电动势（ a 端电势比 b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电

路中的电流（顺时针方向，

E

E

'

I 0=1.5A ）， ab 所受的向右的安培力随之减小，加

I

R r ）将减小（小于

速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势 E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步

减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势

E ' 与电池电动势 E 相等时，电路中电流为零，

ab 所受安培力、加速度也为零，这时

ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．

设最终达到的最大速度为

υ

，根据上述分析可知：

E Bl m 0

m

所以

m

E

1.5 m/s=3.75m/s ．

Bl

0.8 0.5

（ 2）如果 ab 以恒定速度

7.5 m/s 向右沿导轨运动，则 ab 中感应电动势

E '

Blv 0.8 0.5

7.5 V=3V

由于 E ' ＞ E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：

I '

E ' E 3 1.5 A=1.5A

R r

0.8 0.2

直导线 ab 中的电流由 b 到 a ，根据左手定则，磁场对

ab 有水平向左的安培力作用，大小为

F '

BlI '

0.8 0.5 1.5 N=0.6N

所以要使 ab 以恒定速度 v 7.5 m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力 F

0.6 N 作用于 ab ．

上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：

①作用于 ab 的恒力（ F ）的功率： P Fv 0.6 7.5 W =4.5W

②电阻（ R +r ）产生焦耳热的功率： P ' I 2 ( R

r ) 1.52 ( 0.8 0.2) W=2.25W

③逆时针方向的电流

I ' ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于

“充电 ”状态，吸收能量，以化学能

的形式储存起来．电池吸收能量的功率：

P '

I ' E 1.5 1.5 W=2.25W

由上看出， P P '

P '' ，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）

．

二、双杆问题：

1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度

例 4．解析： ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通

b

B

d

量发生变化，于是产生感应电流．

ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减

L

速运动， cd 棒则在安培力作用下作加速运动．在

ab 棒的速度大于

cd 棒的速度

v

时，回路总有感应电流， ab 棒继续减速， cd 棒继续加速． 两棒速度达到相同后， a

c

回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度 v 作

匀速运动．

（ 1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有

mv 0 2mv

根据能量守恒，整

个过程中产生的总热量 Q

1

mv 0

2

1

(2m)v

2

1

mv 02

2

2

4

（ 2）设 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时， cd 棒的速度为 v 1，则由动量守恒可知：

mv 0

m 3

v 0 mv 1 。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：

E ( 3

v 0 v 1 ) BL ， I E 。此时

4

4 2R

cd 棒所受的安培力： F

IBL ，所以 cd 棒的加速度为 a

F 由以上各式，可得

a

B 2 L 2v 0

m

4mR 。

例 5．解析： 设任一时刻 t 两金属杆甲、乙之间的距离为

x ，速度分别为 v 1

和 v 2，经过很短的时间△ t ，

杆甲移动距离 v 1△ t ，杆乙移动距离

v 2△ t ，回路面积改变

S [( x v 2 t) v 1 t] t lx (v 1 v 2 )l t

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势

E

B S

t

回路中的电流

i

E

，杆甲的运动方程

F Bli ma

2R

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，

方向相反， 所以两杆的动量 (t 0 时为 0）等于外力 F

Ft mv 1 mv 2 。 联 立

得 v 1

1 F 1

2R 的

冲

量

以

上 各 式

解

2 [

( F ma)]

m

B 2 F

v 2

1 F 1

2R

( F

ma)] ，代入数据得 v 1 8.15m / s v 2

1.85m / s

2 [

2

2

m B I

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

例 6．解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒

gh 的速度增大到 v ，则有 2BLv 1

-BLv =0 ，即 v =2v 。对导体棒 ef 由动量定

2

2

2

1

理 得 ：

2BL I t 2mv 1 2mv 0 对 导 体 棒 gh 由 动 量 定 理 得 ：

BL I t

mv 2

0 。由以上各式可得： v 1

1

v 0 , v 2

2

v 0 。

3

3

ef 的速度减小到 v 1， 导体棒

a

e

b g d

c

/

h

d /

c

b /

/

a

f

3、磁场方向与导轨平面不垂直

例 7．解析（ 1） 1 棒匀速： F BIL 2 棒匀速： BIL mg tan

B

a

b 解得： F mg tan

（ 2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为

t ，过程中平均感应电流为 I ，据动

2 c

1

F

e

θ

d

量定理，

对 1 棒： Ft

BI Lt mv 1

0 ；对 2 棒： mg sin

t

BI L cos t mv 2

f

θ

联立解得： v 2 v 1 cos

匀速运动后，有：

E BLv 1

BLv 2 cos ， I

E 2mgR tan

2R

解得： v 1

cos 2 )

B 2 L 2 (1

三、轨道滑模型

例 8.解析： (1) 当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υ m 。导轨在水

平方向上受到外力

F 、水平向左的安培力 F 1 和滑动摩擦力

F 2，则

F F 1 F 2

0 ， F 1 BIL , I

E BLv m ，即

F 1

B 2 L 2 v m

, E

R

R

以 PQ 棒为研究对象， PQ 静止，在竖直方向上受重力 mg 、竖直向上的

支持力 N 和安培力 F 3

mg, F 3

F 1 , F 2

N ，得 F 2

( mg B 2 L 2 v m 1 2

代入

，则 N F 3

R

) ，将 F 和 F

解得

0 (1

)( g

B 2 L 2 v m mgR

mR

) ，得 v m

2

L 2

B

(2) 设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中， 移动的距离为 S ，在这段过程中， 经过的时间为

t,PQ 棒中

的平均电流强度为

I 1， QPbC 回路中的平均感应电动势为

E 1，则

E 1

,

SLB, I 1

E 1 ,q I 1 t ， 得 S

qR 。 设 系 统 增 加 的 内 能 为

E ， 由 功 能 关 系 得 ：

R

BL

t

FS

1

mv m

2

E ，则 E

mgqR m 3 g 2 R 2

2

BL

2B 4 L 4

练习：

1.解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。 （ 1） 杆 ab 达到平衡时的速度即为最大速度

v ，这时

mgsin θ— F —

N =0 ， N=mgcos θ

∴ F=mg （ sin θ—μ cos θ）

总电阻 R

R 0

r

1 ， E

Blv ， I

E 2 ，

F BIL

R

B 2 L 2v

mg(sin cos ) R

F

，得 v B 2 L 2

2.5 m

R

s

克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即

W Q 2Q 0

2Q 0 1.5J ，由动能定理： smg sinWmg cos

1 mv

2 0

2

1 mv

2 W s

2

mg(sin cos )

通过 ab 的电荷量

q I t

BLs

，代入数据得 q ＝ 2 C

R

2.解析：当金属棒 ab 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器 C 将被充电， ab 棒中有充

电电流存在， ab 棒受到安培力的作用而减速，当 ab 棒以稳定速度 v 匀速运动时，有：

BLv=UC=q/C

而对导体棒 ab 利用动量定理可得： -BLq=mv-mv 0 由上述二式可求得：

v

mv 0

B 2 L 2 C

m

3、解析： (1)ab 棒由静止从 M 滑下到 N 的过程中 ,只有重力做功

,机械能守恒 ,所以到 N 处速度可求 ,进而可

求 ab 棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流 .ab 棒由 M 下滑到 N 过程中 ,机械能守恒 ,故

有

mgR(1 cos 60 )

1

mv 2 ，解得 v

gR 。 进入磁场区瞬间 ,回路中电流强度 I 为 I

E Bl gR

3r

2

2r r

(2) 设 ab 棒与 cd 棒所受安培力的大小为 F,安培力作用时间为 t,ab 棒在安培力作用下做减速运动 ,cd 棒在

安培力作用下做加速运动 ,当两棒速度达到相同速度 v ’时 ,电路中电流为零 ,安培力为零 ,cd 达到最大速度 .

运用动量守恒定律得： mv ( 2m m)v

解得 v

1

gR

3

Q

1 mv

2 1

3mv 2

(3) 系统释放热量应等于系统机械能减少量

,故有：

2

2

解得 Q

1

mgR

3

4、解析： 设任一时刻 t 两金属杆甲、乙之间的距离为 x ，速度分别为

v 和 v ，经过很短的时间△ t ，杆甲移动距离 v △ t ，杆乙移动距离 v △t ，回路面积改变

1

2

1

2

乙 甲

S [( x v 2 t) v 1 t] t lx (v 1 v 2 )l t

F

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势

E

S

B

t

回路中的电流

i

E

F Bli

ma

，杆甲的运动方程

2R

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，

方向相反， 所以两杆的动量 (t 0 时为 0）等于外力 F

Ft

mv 1 mv 2 。 联 立

得 v 1

1 F 1

2R 的

冲

量 以

上 各 式

解

2 [

( F ma)]

m

B 2 F

v 2

1 F 1

2R

( F

ma)] ，代入数据得 v 1 8.15m / s v 2

1.85m / s

2 [

2

I 2

m B