一类充分非线性方程的精确解
江苏大学
硕士学位论文
一类充分非线性方程的精确解
姓名：吴双军
申请学位级别：硕士
专业：应用数学
指导教师：田立新
20060401
江苏大学硕士学位论文
一ＰＲ：声（声一１）十６（一６＋１１置矽一６够２＋够３）女皿Ｐ‘Ｒ４＝ｏ
（３．４）
解上述方程，得
Ｐ
∥＝—鲁埘一ｌ
方程（３．１）的ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为
如力＝姻＝
。。．ｍ加－ｉ
味ｍ－ｌＪ罕２＂－ａｍ２”ｍ，ｋ
Ｒ＝型２ｍ√塑ｂ
Ｖ
０一∞】
取加：２伊１
ｂ＝２＝ｌ卢：２
Ｒ＝鱼４
Ｐ＝西４
吣力＝ｐ≯，，吲≤詈
图（３－１）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解
２．ｍ＝七≠力１０
ｍ；｜９＝ｋ；Ｂｍ母一２＝ｋｐ一２一牙ＪＰ“Ｒ２卢２＋ｂｋ２∥４Ｐ２Ｒ４＝Ｏ
（３．５）
箬＼
图（３?２）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图
ｎｐ＝ｐ＝ｋｐ一４ｎｐ一２＝；Ｂ一２
降
莓
岳
尸”Ｒ２刀口（∥一１）＋６（４—８ｋｆｌ＋６ｋｆｌ２—２ｋｐ３）ｋｐＰ。Ｒ４＝ＯＰＲ２卢２＋ａｎ２∥２Ｐ”Ｒ２＋６（一６＋１１岛口一６置卢２＋岛日３）ｋｐＰ‘Ｒ４＝Ｏ（３．６）
一ａｎｆｌ（ｎ１３—１）Ｐ”Ｒ２一ＰＲ２ｆｌ（ｆｌ－１）＝ｏ解上述方程，得
删∥＝当ｍ
１
Ｒ＝掣４ｍ以Ｐ＝
一
ＶＤ
方程（３．１）的ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为
如。：哟＿｜七意警丽品芦字肛柳
如ｏ＝哟＝｛’１瓦石鬲丽＝而鬲ＬＯＦ‘‘—了１ｉ旷卅１ｌ
０
，厚（ｘ－Ａｔ）｜≤三ｙ
ｂ
２
其他
取ｍ＝ｋ＝２
＂＝ｂ＝五＝１
ａ＝－２
∥＝４
图象如下
ｍ力：ｔ詈ｃｏ，４唔ｃｘ叫，
０
Ｒ＝三
８
（３．７）
Ｐ：旦
３
／卜
图（３—３）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解
ｍｑ（３—４）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图
２。ｍｐ＝ｋｐｍｐ一２＝ｋｐ一２
ｎｐ＝ｐｎ８—２＝母一２＝ｋ８—４
一牙Ｐ…Ｒ２∥２＋ｂｋ２∥４Ｐ‘Ｒ４＝Ｏ
ｐｍＲ２名∥（∥一１）＋６（４—８ｋｆｌ＋６ｋｆｌ２—２够３）ｋｐＰ‘Ｒ４＝０
（３ｒ８）
、Ｊ一
坚锄
兄一
万一２
ｖｌ
卜其
１—８
ＰＲ２ｐ２＋ａｎ２卢２尸”Ｒ２＝Ｏ
—ａｎｔｉ（ｎｉｌ一１）Ｐ”Ｒ２＋６ｆ一６＋ｌｌｋ／，一６ｋ１３２＋ｋｐ３）局卯２Ｒ４一ＰＲ２∥（∥一１）２０
解上述方程，得
∥：砉Ｒ＝掣店
户＝
蚧哟＝博掣脚
取ｍ＝ｋ＝２
图象如下
胛＝盯＝６＝矗＝，
五＝４
∥＝２
Ｐ＝：
吣力：姥耐（川。ｋ一射ｌ≤三
０
其他
（３．９）
０?１ｆ
＼
。．１出
ｏｆｌ
』
Ｏ‘ｄ１５
ｏｆ０５
。Ｌ：；
图（３—５）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解
图（３—６）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图
３．ｍ＝ｎ≠ｋ１０
ｍｆｌ一２＝ｎｐ一２＝ｋｐ一４ｍｆｌ＝ｎｐｋｐ＝｜８
ｋ８—２＝ｊ８—２
Ｐ“Ｒ２斧卢（∥一１）一ａｎｔｉ（ｎｉｌ一１）ｅ”Ｒ２＋６（一６＋１１够一６ｋｐ２＋＾芦３）ｋＣ７：Ｐ‘Ｒ４＝０
一者Ｐ”Ｒ２∥２＋册２∥２Ｐ”Ｒ２＝Ｏ
（３．１０）
丌一２
甜
艮靴
江苏大学硕士学位论文ＰＲ２声２＋ｂｋ２∥４Ｐ‘Ｒ４＝Ｏ
—ＰＲ２ｆｌ（ｆｌ一１）＋６（４—８ｋｐ＋６七ｂ＇２—２—够３）岛卯２Ｒ４＝０
解上述方程，得
ｋ＝１口＝—二
。
１一ｍ
方程（３．１）的周期解为
Ｒ＝字Ｊ≠Ｐ＝
如力：确：』ｍｊ茄等翥兰铲南卑居例
如，）＝确＝｛勺丽而再瓦菇计叩…ｒ丁１ｉ旷卅。
ｌ０
Ｐ层”ｍ，陲
其他
取ｍ＝ｎ＝３ｋ＝ａ＝丑＝Ｒ＝１图象如下唧一ｔＰ＝√等
ｍ一＿ｆ乒０如叫ｋ巍三具他
（３．１１）
８
６
ｅ“ｌ
图（３．７）方程（３．１）的周期解图（３－８）方程（３．１）的周期解平面图
２０ｍａ一２＝ｎ；Ｂ一２ｍｆｌ＝ｎｆｌ＝ｋｐ一４ｋ；８＝ｐｋｐ一２＝ｐ一２尸”Ｒ２；ｔ％ａ（ｆｌ一１）一ａｎｔｉ（ｎｉｌ一１），”Ｒ２＝ｏ
一．，ｔｉｐ…Ｒ２卢２＋６（一６＋１ｌｋｆｌ一６ｋｆｌ２＋—够３）ｋｆｌＰ‘Ｒ４＋册２∥２Ｐ“Ｒ２＝Ｏ（３．１２）ＰＲ２∥２＋ｂｋ２∥４Ｐ‘Ｒ４＝０
一ＰＲ２９（ｇ—１）＋６（４—８置卢＋６ｋ９２—２置卢３）ｋｇＰ‘Ｒ４＝０
解上述方程，得
川卢：而４Ｒ：字层阳１ｊ３ｍ３。＋：１。。３耍ｍ２＋乒１３ｍ＋３方程（３．１）的周期解为
取ｍ＝ｎ＝３
图象如下
图（３?９）方程（３．１）的周期解
吁ｍ－１仃［－ｊ。卅］
：－２
Ｒ：！
Ｉｌ（ｘ－ｔ）愕
其他
（３．１３）
Ｐ：坐
４
ｓＯ
４０
。Ｏ
２０
１０
Ｌｊ‘
图（３－１０）方程（３．１）的周期解平面图
３．２（１＋１）维方程的ｍｕｔｉ—Ｃｏｍｐａｔｏｎ解
用同样的方法我们可以求出方程（３．１）的ｍｕｔｉ—Ｃｏｍｐａｔｏｎ解１．ｍ＝”＝ｋ
方程（３．１）的ｍｕｔｉ—ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为
蚺。：确＿ｊ七两罴：‰两ｃｏ声岽Ｊ墨罟。侧
蚺ｏ＝确＝｛勺面哂孬雨甭而瓦丽Ｌ０∥４‘ｉ１］厂Ｐ卅Ｊ
ｌ０
Ｔ（４Ｔ－１）口≤等√华ｃｘ－Ａｔ）＜竿Ｂ柳
其他
取卅：２ｄ：一１６：五：１口：２Ｒ：４５Ｐ：一４
ａ）当Ｔ＝Ｏ时，是单峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解
ｂ）当Ｔ＝Ｏ，１时，是双峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解
Ｃ）当Ｔ＝Ｏ，１，２时，是三峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解
图（３－１１）方程（３．１）的ｍｕｆｆ－Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解
－
≠＼。矗＼覃．』
图（３－ｉ２）方程（３．１）的ｍｕｆｆ．Ｃｏｍｐｅａｔｏｎ解平面图２．，”＝｜ｊ｝≠ｎ
方程（３．１）的ｍｕｔｉ—ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为
Ｉ。如力：嫦：蚓砸ｉ君差面品芦字肛捌
。如，）＝嫦＝｛勺鬲丽雨丽＝；；鬲Ｌ舻１卜石吨协一捌
ｌ０
Ｔ（４Ｔ－１）ｎ≤警肛卅≤丁（４Ｔ＋１）ｘ（３１５）
其他
取ｍ＝ｋ＝２
ｎ＝ｂ＝五＝１
ａ＝一２
口＝４
ａ）当Ｔ＝Ｏ时，是单峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｂ）当Ｔ＝Ｏ，１时，是双峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｃ）当Ｔ＝Ｏ，１，２时，是三峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解
图（３－１３）方程（３．１）的ｍｕｆｆ－Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解
／＼
“ｌ！
＼
Ｌ
ｆ
Ｒ＝三
８
Ｐ＝旦
３
一
图（３—１４）方程（３．１）的ｍｕｔｉ－Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图
ｚ㈨玲ｒＩ．＿ｌ２ｍ（３ｚ－～ｍ）（ａ＋１）琵Ｃｏ砉等胁
—（４Ｔ—－Ｉ）兰—Ａ（ｍ—－１），／！（ｚ—Ａｔ）≤—（４Ｔ＋—１）Ｔｒ２
—
２搠、『ｂ。。
’一
２其他
取肌＝ｋ＝２
＂＝口＝ｂ＝Ｒ＝１
＾＝４
口＝２
ａ）当Ｔ＝Ｏ时，是单峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｂ）当Ｔ＝Ｏ，Ｉ时，是双峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｃ）当Ｔ＝Ｏ，１，２时，是三峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解
Ｐ＝三
６
（３．１６）
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用 摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。 本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。我将从二分法、Steffensen 加速收敛法、Newton 迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。 关键字：非线性方程;二分法；Steffensen 加速收敛法；代数Newton 法；弦截法 一、前言 随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此经常需要求非线性方程 f(x) = O 的根。方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b) Broyden方法求解非线性方程组的Matlab实现 注：matlab代码来自网络，仅供学习参考。 1.把以下代码复制在一个.m文件上 function [sol, it_hist, ierr] = brsola(x,f,tol, parms) % Broyden's Method solver, globally convergent % solver for f(x) = 0, Armijo rule, one vector storage % % This code es with no guarantee or warranty of any kind. % % function [sol, it_hist, ierr] = brsola(x,f,tol,parms) % % inputs: % initial iterate = x % function = f % tol = [atol, rtol] relative/absolute % error tolerances for the nonlinear iteration % parms = [maxit, maxdim] % maxit = maxmium number of nonlinear iterations % default = 40 % maxdim = maximum number of Broyden iterations % before restart, so maxdim-1 vectors are % stored % default = 40 % % output: % sol = solution % it_hist(maxit,3) = scaled l2 norms of nonlinear residuals % for the iteration, number function evaluations, % and number of steplength reductions % ierr = 0 upon successful termination % ierr = 1 if after maxit iterations % the termination criterion is not satsified. % ierr = 2 failure in the line search. The iteration % is terminated if too many steplength reductions % are taken. % % % internal parameter: % debug = turns on/off iteration statistics display as % the iteration progresses C++实现牛顿迭代解非线性方程组（二元二次为例） 求解{0=x*x-2*x-y+0.5; 0=x*x+4*y*y-4; }的方程 #include 用割线法解非线性方程组 自动化学院1011203050 陈晓祺拟牛顿法解下列方程组 sin 1.0 cos 5.00 ) cos( 1.0 sin 5.0 2 2 11 2 1 1 = - -= -+ x x x x x x x 先将拟牛顿法的程序代码如下 Function[r,m]=mulVlineF,x0,A, eps) Format long; If nargin=3 Eps=1e-4; End X0=transpose(x0); X1=tanspose(x1); N=length(x0); Fx=subs(F,findsym(F),x0); Fx1=subs(F,findsym(F),x1); H=x0-x1; J=zeros(n,n); Xt=x1; Xt(1)=x0(1); J(:,1)=(subs(F,findsym(F),xt)-sbus(F,findsym(F),x1))/h(1); For i=2:n Xt=x1; Xt(1:i)=x0(1:i); Xt_m=xl; Xt_m(1:i-1)=x0(1:i-1); J(:,i)=(subs(F,findsym(F),xt)-sbus(F,findsym(F),xt_m))/h(1); End R=x1-inv(J)*fx1; M=1; Tol=1; While tol>eps X0=x1; X1=r; Fx=subs(F,findsym(F),x0); Fx1=subs(F,findsym(F),x1); H=x0-x1; J=zeros(n,n); Xt=x1; Xt(1)=x0(1); J(:,1)=(subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),x1))/h(1); For i=2:n Xt=x1; Xt(1:i)=x0(1:i); Xt_m=x1; Xt_m(1:i-1)x0(1:i-1); J(:,1)=(subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),xt_m))/h(1); End R=x1-inv(J)*fx1; Tol=norm(r-x1); M=m+1; If(m>100000) Disp('fail'); Return; End End 然后直接调用该方法 Syms x y Z=[x^2+y^2-5;2*x-y-3]; [r,m]=mulline(z,[0 1],[4,3]) [r,m]=mulline(z,[-3 1],[4,3]) 得到解为（2,1）（0.4，-2.2） 20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。这种方法优点是，不要求f(□)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大 编辑摘要 目录 ? 1 正文 ? 2 牛顿法及其变形 ? 3 割线法 ? 4 布朗方法 ? 5 拟牛顿法 ? n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为 (1) 式中?i(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非 线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记?＝ 则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D，使?(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2) 式中 是?(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及 ;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求 。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P为迭 代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W 内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义， 牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即 M a a b求解线性方程组非 线性方程组 The latest revision on November 22, 2020 求解线性方程组solve，linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。 例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式 非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 其中fun为待解方程或方程组的文件名； x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数 建立文件： function y=fun(x) y=[x(1)*sin(x(1))*cos(x(2)), ... x(2) - *cos(x(1))+*sin(x(2))]; >>clear;x0=[,];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))注：...为续行符m文件必须以function 为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。 Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B 的解。对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A 的列数，方程X＝B/A同理。 如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：m＝n 恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m 求解线性方程组 solve，linsolve 例： A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1]; %矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格 B=[3;1;1;0] X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B) diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。 例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式 diff(F); %matlab区分大小写 pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式 非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 为待解方程或方程组的文件名；fun其中 x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数 建立文件fun.m： function y=fun(x) y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ... x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))]; >>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve')) 注： ...为续行符 m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。Matlab求解线性方程组 AX=B或XA=B 在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如： X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解； 的解。XA=B表示矩阵方程B/A＝X． 对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。 如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有： m＝n 恰定方程，求解精确解； m>n 超定方程，寻求最小二乘解； m 非线性方程组的求解 摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。 关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法 1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。 n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下: ???????===0),...,(... 0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1） 式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ?, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。若用向量记号，令： ????????????=n x x x ...X 21,????????????=??????????????====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F n n n n n 基于Matlab 实现牛顿迭代法解非线性方程组 已知非线性方程组如下 2211221212 10801080x x x x x x x ?-++=??+-+=?? 给定初值0(0,0)T x =，要求求解精度达到0.00001 首先建立函数F(x)，方程组编程如下，将F.m 保存到工作路径中： function f=F(x) f(1)=x(1)^2-10*x(1)+x(2)^2+8; f(2)=x(1)*x(2)^2+x(1)-10*x(2)+8; f=[f(1) f(2)]; 建立函数DF(x),用于求方程组的Jacobi 矩阵，将DF.m 保存到工作路径中： function df=DF(x) df=[2*x(1)-10,2*x(2);x(2)^2+1,2*x(1)*x(2)-10]; 编程牛顿迭代法解非线性方程组，将newton.m 保存到工作路径中： clear; clc x=[0,0]'; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',0,x(1),x(2)); N=4; for i=1:N y=df\f'; x=x-y; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',i,x(1),x(2)); if norm(y)<0.0000001 break ; else end end 运行结果如下： 0 0.0000000 0.0000000 1 0.8000000 0.8800000 2 0.9917872 0.9917117 3 0.9999752 0.9999685 4 1.0000000 1.0000000 用Broyden 方法求解非线性方程 沈欢 北京大学工学院，北京100871 2011年10月26日 摘要 用Broyden 方法求解给定的非线性方程组。 1问题描述 用Broyden 方法计算非线性方程组(x 1+3)(x 32?7)+18=0 (1)sin (x 2e x 1?1)=0(2) 的解，取初始猜测为?→x 0 =(?0.5,1.4)T 。2问题分析 通过观察不难看出(0,1)点是方程的一个精确解。取初始猜测?→x 0=(?0.5,1.4)T 在精确解附近，可以用Broyden 方法求解。设：??????→F (x 1,x 2)=F 1(x 1,x 2)?→i +F 2(x 1,x 2)?→j 其中F 1(x 1,x 2)= (x 1+3)(x 32?7)+18;F 2(x 1,x 2)=sin (x 2e x 1?1)。3Broyden 算法 Broyden 算法类似于牛顿方法，它通过在已知的雅可比矩阵上加上一个修正项得到新的雅可比矩阵，从而避免了牛顿方法计算雅可比矩阵的复杂度。Broyden 算法如图一所示。Broyden 算法说明：a )初始迭代点取?→x 0 =(?0.5,1.4)T ;初始的雅可比矩阵的近似矩阵取为真实的雅可比矩阵，即：A =?F (?→x )= x 32?73(x 1+3)x 22cos (x 2e x 1?1)?x 2?e x 1cos (x 2e x 1?1)?e x 1 (3)1 图1:Broyden方法的算法简图 A0=?F(?→x)= ?4.256014.7000 0.83950.5996 (4) 取精度为10?8。并计算得到?→x1=[?0.0553,1.0281]T。 b)在每步迭代中用?→ x k和??→ x k?1来估计新的雅可比近似矩阵。 A k=A k?1+g k?A k?1.y k y k .y k ?y T k(5) 其中：g k=F(??→ x k?1)?F(?→ x k),y k=??→ x k?1??→ x k。 c)解线性方程 A k??→s=?F(?→ x k)(6)得到位移向量?→ x k,从而计算出新的迭代点； ??→ x k+1=?→ x k+?→s(7) 4计算结果 调用所编写的函数[roots,flag]=Broyden,得到结果roots=[0.0000,1.0000]T,flag=6。说明，当初值取?→x0=(?0.5,1.4)T时，经过6次迭代得到该非线性方程组满足精度要求的解x1=0.0000,x2=1.0000。与理论解比较，Broyden方法给出的结果非常准确，且迭代次数较少，收敛速度很高。 2 https://www.360docs.net/doc/101542478.html, The exp(??(ξ))-expansion Method applied to Nonlinear Evolution Equations Mei-mei Zhao??,Chao-Li School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University Lanzhou,Gansu730000,P.R.of China Abstract By using exp(??(ξ))-expansion method,we have obtained more travelling wave solu-tions to the mKdV equation,the Drinefel’d-Sokolov-Wilson equations,the Variant Boussinesq equations and the Coupled Schr¨o dinger-KdV system.The proposed method also can be used for many other nonlinear evolution equations. Keywords exp(??(ξ))-expansion method,Homogeneous balance,Travelling wave solu-tions,Solitary wave solutions,MKdV equation,Drinefel’d-Sokolov-Wilson equations,Variant Boussinesq equations,Coupled Schr¨o dinger-KdV system. 1Introduction It is well known that nonlinear evolution equations are involved in many?elds from physics to biology,chemistry,mechanics,etc.As mathematical models of the phenomena,the inves-tigation of exact solutions to nonlinear evolution equations reveals to be very important for the understanding of these physical problems.Understanding this importance,during the past four decades or so,many mathematicians and physicists have being paid special attention to the development of sophisticated methods for constructing exact solutions to nonlinear evo-lution equations.Thus,a number of powerful methods has been presented such as the inverse scattering transform[1],the B¨a cklund and the Darboux transform[2-5],the Hirota[6],the trun-cated painleve expansion[7],the tanh-founction expansion and its various extension[8-10],the Jacobi elliptic function expansion[11,12],the F-expansion[13-16],the sub-ODE method[17-20],the homogeneous balance method[21-23],the sine-cosine method[24,25],the rank anal-ysis method[26],the ansatz method[27-29],the exp-function expansion method[30],Algebro-geometric constructions method[31]and so on. In the present paper,we shall proposed a new method which is called exp(??(ξ))-expansion method to seek travelling wave solutions of nonliear evolution equations.the ?Corresponding Author. ?E-mail address:yunyun1886358@https://www.360docs.net/doc/101542478.html,(M.Zhao). 1 非线性发展方程及其应用 成果简介 本项目是非线性科学中的一个重要的研究方向，共研究的对象是来源于化学反应、微电子学、生物学等领域中用非线性偏微方程描述的动力学模型。因此，它具有交叉学科的特征。所获得的成果不仅为有关学科提供了定量分析的理论依据，而且也能为研究非线性偏微分方程带来新的研究思路和新的研究课题。 1．首次借助于构造适当的上、下控制函数、利用有界边值问题逼近方法，解决了Belensov-Zhabotinskii化学反应模型波前解的存在性，并给出子最小波速的值；同时还给出了一种求解显示行波解的方法。 2．利用摄动初值问题逼近、相空间的打靶法与变分思想，解决了退化的反应扩散方程行波解的存在性，并给出了最小波速的变分刻划和估计； 3．对带有非线性非局部项和非线性边界条件的抛物型方程和方程组的研究，主要利用上、下解方法。但是，上、下解的构造却有很大的灵活性和很高的技巧。我们首次借助于研究非负矩阵的性质，得到了方程组整体解存在的充分必要条件；首次通过构造在有限时刻爆破的精细上解和解的逐次延拓方法研究了解的整体存在性。同时，我们发表在美国数学会会刊上的一篇论文，还否定了Wolainskii于93年发表在SIAM J. Math. Anal.上的一个工作。发表在JMAA上的两篇论文，成功地解决了在边界上带有非线性强迫外力的非线性对流扩散问题。 4．反应扩散方程研究领域的一个基本问题是：扩散是否会引起爆破？多数人认为扩散不会引起爆破且是一个显而易见的问题，不须证明。但是数学结果 总是要证明的，有一部分人就致力于证明，给出了该结论成立的各式各样的充分条件。我们于96年发表在JMAA上的一篇论文给出了一个反例，说明扩散会引起爆破，彻底澄清了这个问题。 5．当反应扩散方程中反应项较扩散项占优时，利用经典有限元、有限差分或有限箱法离散时，解会出现数值振荡，常用的抑制振荡的方法有：S-G方法，SUPG方法等，但都存在局限性。我们从变分原理出发要求振荡最小，建立了新的离散数值理论； 6．半导体器件的漂移扩散模型是一个特殊形式，由非线性抛物型与椭圆型方程耦合起来的，反应扩散方程组，带有混合形式边界条件，特别是载流子又有不同的产生一复合过程，再加上热效应和磁场影响，难度大。我们建立了基于紧致性原理的正则化的统一框架。 该成果获江苏省科技进步二等奖。 非线性统计模型与非线性诊断方法 成果简介 本系统地研究了近代非线性回归模型的几何理论和渐近推断理论，把微分几何方法应用于非线性回归分析；系统地研究了具有广泛应用价值的指数族非线性模型，建立了该模型的几何结构，在此基础上，研究了这些模型基于统计曲率的渐近推断理论以及统计诊断的非线性方法；这些研究填补了国内空白，在国内外都有一定影响。近10年来共获得 3 项国家自然科学基金，1项 95 重点基金，2 项江苏省自然科学基金；出版专著2本，发表论文50多篇,其中国外14 篇， 第六章 非线性微分方程和稳定性 [教学目标] 1. 理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。 2. 掌握平面初等奇点的分类方法。 3. 了解拟线性近似决定微分方程组的稳定性及用李雅谱若夫第二方法判别稳定性的方法。 4. 了解周期解和极限环的概念。 [教学重难点] 奇点的分类与相应零解的稳定性。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学内容] 解的稳定性定义，相平面、相轨线与相图；平面自治系统的性质，奇点的分类及相应零解的稳定性；拟线性近似，李雅谱若夫第二方法判别稳定性，周期解和极限环的概念。 [考核目标] 1.奇点的分类及相应零解的稳定性。 2.李雅谱若夫第二方法判别稳定性。 3.会求周期解和极限环。 §6.1 相平面、相轨线与相图 把xoy 平面称为平面自治系统 ? ??==),(),(y x Q y y x P x （6.1） 的相平面. 把(6.1)式的解(),()x x t y y t ==在xoy 平面上的轨迹称为(6.1)式的轨线或相轨线. 轨线族在相平面上的图象称为(6.1)式的相图. 注意：在上述概念中，总是假设(6.1)式中的函数(,),(,)P x y Q x y 在区域)(||,|:|+∞≤< 下面讨论二阶线性系统???????+=+=y a x a dt dx y a x a dt dx 22211211 (6.2) 奇点(0,0)附近轨线的分布:上述系统写成向量形式为方程组)0(det d d ≠=A AX X t 它存在线性变换TX X =~，可化成标准型X J X ~d ~d =t 由A 的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型. 1．结点型 如果在某奇点附近的轨线具有如图5-1的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点.因此，当μ＜λ＜0时，原点O 是 ?????==y t y x t μλd d d dx (6.3) (5.4)式的稳定结点. 图 6-1 图 6-2 如果在某奇点附近的轨线具有如图5-2的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点.因此，当μ＞λ＞0时，原点O 是(5.4)的不稳定结点. 如果在奇点附近的轨线具有如图5-3和图5-4的分布，就称这奇点为临界结点. 牛顿迭代法c++程序设计 求解{0=x*x-2*x-y+0.5; 0=x*x+4*y*y-4; }的方程 #include 第一章非线性动力学分析方法（6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念； 2、掌握线性稳定性的分析方法； 3、掌握奇点的分类及判别条件； 4、理解结构稳定性及分支现象； 5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。 二、教学重点 1、线性稳定性的分析方法； 2、奇点的判别。 三、教学难点 线性稳定性的分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。 六、教学过程 本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。 相空间和稳定性 一、动力系统 在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。 假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时 间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。 ),,,(2111 n X X X f dt dX ???=λ ),,,(2122 n X X X f dt dX ???=λ (1.1.1) … ),,,(21n n n X X X f dt dX ???=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。 非线性方程的数值解法 《计算方法》 期末论文 论文题目非线性方程的数值解法 学院 专业 班级 姓名 学号 指导教师 日期 目录 摘要 第1 章绪论 1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法 第2 章非线性方程的数值解法 2.1 二分法 2.2 迭代法 2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值 摘要 数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。 在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如 在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。本文讨论了非线 性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。 第1 章绪论 可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。拉格朗日插值多项式的算法 step1.输入 插值节点控制数n 插值点序列 i i x , y i=0,1,…,n 要计算的函数点x。step2. FOR i =0,1,…,n i 制拉格朗日基函数序列问题的提出和研究目的和意义非线性方程的问题在工程实践中有很多用途 研究其数值解法是当前一个研究方向。目前已有相当一部分算法在广泛使用于工程实践中。非线性方程组和无约束最优化的数值解法 一直是数值优化领域中热门的研究课题。本文对传统的方法进行改进和提出新的算法 该算法不仅有重要的论价值，而且有很高的实用价值。例如在天体力学中，有如下Kepler 开普勒方程 x-t- sin x=0,0< <1,其中t 表示时间 x 表示弧度，行星运动的轨道x 是t 的函数。也就是说，对每个时刻i t 上述方程有唯一解i x ，运动轨道位置。 国内外相关研究综述随着科学技术的高速发展和计算机的广泛应用 求解形如F(x)=0 的非线性方程组问题越来越多的被提出来了 其中F 是的连续可微函数。例如非线性有限元问题、非线性断裂问题、弹塑性问题、电路问题、电子系统计算以及经济与非线性规划问题等都可转化为非线性方程组的求解问题。只要包含有未知函数及其导函数的非线性项的微分方程，无论是用差分方法或有限元方法，离散化 第六章 非线性微分方程和稳定性 研究对象 二阶驻定方程组（自治系统） ?????? ?==),(),(y x Y dt dy y x X dt dx 1 基本概念 1）稳定性 考虑方程组 ),(x f x t dt d = （6.1） 其中 ???? ? ?? ??=n x x x 21x ，??? ??????? ? ??=dt dx dt dx dt dx dt d n 21x ，? ?????? ??=),,,;(),,,;(),,,;()(21212211n n n n x x x t f x x x t f x x x t f x f 。 总假设),(x f t 在D I ?上连续，且关于x 满足局部李普希兹条件，R I ?，区域 n R D ?,00=),(t f ，∑== n i i x 1 2x 。 如果对任意给定的0>ε，存在0)(>εδ（一般ε与0t 有关），使得当任一0x 满足 δ≤0x 时，方程组（6.1）满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x ，均有εx <)(t 对一切0 t t ≥成立，则称方程组（6.1）的零解0=x 为稳定的。 如果方程组（6.1）的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当00δ 遗传算法解非线性方程组的Matlab程序 程序用MATLAB语言编写。之所以选择MATLB，是因为它简单，但又功能强大。写1行MATLAB程序，相当于写10行C++程序。在编写算法阶段，最好用MATLAB语言，算法验证以后，要进入工程阶段，再把它翻译成C++语言。 本程序的算法很简单，只具有示意性，不能用于实战。 非线性方程组的实例在函数(2)nonLinearSumError1(x)中，你可以用这个实例做样子构造你自己待解的非线性方程组。 %注意：标准遗传算法的一个重要概念是，染色体是可能解的2进制顺序号，由这个序号在可能解的集合(解空间)中找到可能解 %程序的流程如下： %程序初始化，随机生成一组可能解(第一批染色体) %1: 由可能解的序号寻找解本身(关键步骤) %2：把解代入非线性方程计算误差，如果误差符合要求，停止计算 %3：选择最好解对应的最优染色体 %4：保留每次迭代产生的最好的染色体，以防最好染色体丢失 %5: 把保留的最好的染色体holdBestChromosome加入到染色体群中 %6: 为每一条染色体(即可能解的序号)定义一个概率(关键步骤) %7：按照概率筛选染色体(关键步骤) %8：染色体杂交(关键步骤) %9：变异 %10:到1 %这是遗传算法的主程序，它需要调用的函数如下。 %由染色体(可能解的2进制)顺序号找到可能解： %(1)x=chromosome_x(fatherChromosomeGroup,oneDimensionSet,solutionS um); %把解代入非线性方程组计算误差函数：(2)functionError=nonLinearSumError1(x); %判定程是否得解函数：(3)[solution,isTrue]=isSolution(x,funtionError,solutionSumError); %选择最优染色体函数： %(4)[bestChromosome,leastFunctionError]=best_worstChromosome(fatherC hromosomeGroup,functionError); %误差比较函数：从两个染色体中，选出误差较小的染色体 %(5)[holdBestChromosome,holdLeastFunctionError]... % =compareBestChromosome(holdBestChromosome,holdLeastFunctionError,... % bestChromosome,leastFuntionError) %为染色体定义概率函数，好的染色体概率高，坏染色体概率低 %(6)p=chromosomeProbability(functionError); %按概率选择染色体函数： %(7)slecteChromosomeGroup=selecteChromome(fatherChromosomeGroup,p );推荐-Broyden方法求解非线性方程组的Matlab实现 精品
C++实现 牛顿迭代 解非线性方程组
用割线法解非线性方程组
非线性方程的解法
Maab求解线性方程组非线性方程组
Matlab求解线性方程组非线性方程组
非线性方程组的求解
基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组
Broyden方法解非线性方程组
应用新展式法求非线性发展方程的精确解
非线性发展方程及其应用
第六章 非线性微分方程和稳定性
c++求解非线性方程组的牛顿顿迭代法
第一章非线性动力学分析方法
非线性方程的数值解法
第六章 非线性微分方程和稳定性
遗传算法解非线性方程