中考数学数学中考数学压轴题试题附解析(1)

一、中考数学压轴题

1．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC

（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；

（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．

①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；

②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由； （3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．

2．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．

(1)（课本习题）如图①，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE=CD ． 求证：DB=DE

(2)（尝试变式）如图②，△ABC 是等边三角形，D 是AC 边上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD ． 求证：DB=DE ．

(3)（拓展延伸）如图③，△ABC 是等边三角形，D 是AC 延长线上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD 请问DB 与DE 是否相等? 并证明你的结论．

3．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1

y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数2

1y ax ，后3分钟满足反比例函数

关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟． （1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式；

（2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y（米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x（分钟）之间的函数关系式；

（3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差

______；

（4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻．

4．综合与实践

4

A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是2:1的矩形纸片称为“标准纸”．

操作判断：

()1如图1所示，矩形纸片2

=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点

()

ABCD AD AB

AB=求CF的

B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,

长，

()2如图2，在()1的基础上，连接,

BD折痕EF交BD于点O，连接,

BE判断四边形BFDE的形状，并说明理由．

探究发现：

()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕MN交AD边于点M，BC交边于点,N交BD也是点O.然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由．

5．如图，直线y＝1

2

x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣

3

2

x+c经过

A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；

（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当

3

2

MN

AN

=时，求点M的坐标；

（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．

①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长；

②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．

7．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；

（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若

161A E EC

=-，求n

m 的值．

（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持

BE n

BG m

=，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

8．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1

22y x =-

+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2

y ax bx c =++的对称轴是直线3,2

x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C

、两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；

（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．问题背景：如图（1），ABC 内接于

O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个

不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．

问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得

cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，

tan 2C =，9DEP

S

=，求sin APB ∠的最大值．

10．如图，在ABC 中，90ABC ∠=?，AB BC <，O 为AC 中点，点D 在BO 延长线上，CD BC =，AE BC ∥，CE CA =，AE 交BD 于点G ． （1）若28DCE ∠=?，求AOB ∠的度数； （2）求证：AG GE =； （3）设DC 交GE 于点M ．

①若3AB =，4BC =，求::AG GM ME 的值；

②连结DE ，分别记ABG ，DGM ，DME 的面积为1S ，2S ，3S ，当AC DE 时，123::S S S = ．（直接写出答案）

11．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得

PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐

角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点

O 是坐标原点．

（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(13),(13)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．

（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．

（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段

HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．

12．如图1，已知抛物线218

33

y x x c =-

-+与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的左侧），与y 轴相交于C 点，且10AB =．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图2，D 点在x 轴上，且在A 点的右侧，E 点为抛物线上第二象限内的点，连接

ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ，点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1，已知4

tan 3

BDE ∠=，求点E 的坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G 由B 出发，沿x 轴负方向运动，连接EG ，点H 在

线段EG 上，连接DH ，EDH

EGB ∠=∠，过点E 作EK DH ⊥，与抛物线相交于点

K ，若EK EG =，求点K 的坐标．

13．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣12

x 2

+bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；

（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；

（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与

△CBD 重叠部分的面积为

3

16

时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形

1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩

形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．

15．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ，∠AFO=45°． （1）求∠FAB 的度数；

（2）点 P 是线段OB 上一点，过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ，连接 BQ ，取 BQ 的中点C ，连接AP 、AC 、CP ，过点C 作 CR ⊥AP 于点R ，设 BQ 的长为d ，CR 的长为h ，求d 与 h 的函数关系式（不要求写出自变量h 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ，CE 交 AB 于点D ，连接 AE ，

∠AEC=2∠DAP ，EP=2，作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ，求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标．

16．如图①，△ABC 是等腰直角三角形，在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交于点P ．

（1）求证：CM＝BN；

（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；

（3）在（2）的条件下，求PF

BN

的值．

17．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．

（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；

（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：BE

DE

=

33

；

（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．

①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；

②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

18．在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，点D为BC边上任意一点，连接AD，将线段AD绕A 顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．

（1）如图1，点E落在BA的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空．

（2）如图2，点D在运动过程中，DE⊥AC时，AB=4 ，求DE的值．

（3）如图3，点F为线段DE中点，AB=2a，求出动点D从B运动到C，点F经过的路径长度．

19．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OACB的顶点A、B分别在x轴和y轴上，已知OA=5，OB=3，点D的坐标是（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA的方向运动，当点P与点A重合时，运动停止，设运动的时间为t秒．

（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；

（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；

（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP是不以DP为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．

（1）如图2，小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转，连接BE、DG，当点G恰好落在线段BE上时，小亮发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG的长．

（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG，点E在DA的延长线上，连接BF、DF．当FG平分∠BFD时，请你帮他求a：b及∠FBG的度数．

（3）如图4，BE的延长线与直线DG相交于点P，a=2b．当正方形AEFG绕点A从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P运动的路线长（用含b的代数式表示）．21．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC、AD于点E、F．

（1）当α=_____°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形，

①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；

②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．

22．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．

(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：；所有与∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．

①求∠B的度数；

②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．

23．已知，抛物线2

12

y x bx c =++与y 轴交于点()0,4C -与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为()2,0．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）如图1，若点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作//PE AC ，交BC 于E ，连接

CP ，求PCE ?面积的最大值．

（3）如图2，若直线y x m =+与线段AC 交于点M ，与线段BC 交于点N ，是否存在

M ，N ，使得OMN ?为直角三角形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．

24．综合与探究：

如图1，抛物线24832

999

y x x =-

++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作

//PF AD ，交x 轴于点F ．

（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；

（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．

①当3DM MF =时，求m 的值；

②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图，抛物线2

14

y x bx c =

++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5

2

-

）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．

(1) 求抛物线2

14

y x bx c =

++与直线32y kx =+的解析式；

(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;

②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．A

解析：（1）菱形；（2）①AF =ADAF ⊥AD ；②2AD OG =，理由见解析；（3）4 【解析】 【分析】

（1）由折叠的性质可得AB=AD=BC=CD ，可得四边形ABCD 是菱形；

（2）①由菱形的性质可得AD ∥BC ，且AF ⊥BC ，可得AD ⊥AF ，由等腰三角形的性质和外角的性质可求∠OBE=∠OEB=45°，∠ABE=∠AFB ，可得AF=AB ；

②取AB 中点M ，由三角形中位线定理可得MO ∥AD ，AD=2MO ，AF ∥MG ，AF=2MG ，且AF=AD ，AD ⊥AF ，可得MO=MG ，MG ⊥MO ，可得2OM ，即可得OG 与AD 的数量关系；

（3）连接AG ，由等腰三角形的性质可得AG ⊥BF ，且∠BEO=45°，可得AG=GE ，由勾股定理可求解． 【详解】

解：（1）∵将△ABC沿y轴翻折

∴AB=AD，BC=CD

又∵AB=CB

∴AB=AD=BC=CD

∴四边形ABCD是菱形

故答案为：菱形；

（2）①∵四边形ABCD是菱形

∴AD∥BC，且AF⊥BC

∴AD⊥AF，

∴∠FAC+∠CAD=90°，且∠CAD+∠ADO=90°，

∴∠FAC=∠ADO，

∵AB=AD

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠ABD=∠FAC

∵OE=OB

∴∠OBE=∠OEB=45°

∴∠ABD+∠OBE=∠FAC+∠OEB

∴∠ABE=∠AFB

∴AF=AB

∴AF=AD，

故答案为：AF=AD，AD⊥AF；

②AD=2OG；

如图，取AB中点M，

∵点M是AB的中点，点G是BF的中点，点O是AC的中点，∴MO∥AD，AD=2MO，AF∥MG，AF=2MG，且AF=AD，AD⊥AF ∴MO=MG，MG⊥MO

∴2OM

∵2GO；

（3）∵四边形ABCD的周长为8，

∴AB=BC=CD=AD=2=AF

如图，连接AG，

∵AB=AF，点G是BF的中点，

∴AG⊥BF，且∠BEO=45°

∴∠GAE=∠BEO=45°

∴AG=GE，

∵AG2+GF2=AF2=4，

∴GE2+GF2=4，

故答案为：4；

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．

2．D

解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE成立，证明见详解

【解析】

【分析】

（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE，则

∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE；

（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB=DE．

【详解】

证明：（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=60°，

∵点D为线段AC的中点，

∴BD平分∠ABC，AD=CD，

∴∠CBD=30°，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠CED，

又∵∠CDE+∠CED=∠BCD，

∴2∠CED=60°，

∴∠CED=30°=∠CBD，

∴DB=DE；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，如图，

∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°， ∴△DGC 为等边三角形， ∴DG=GC=CD ，

∴BC-GC=AC-CD ，即AD=BG ， ∵AD=CE ， ∴BG=CE ， ∴BC=GE ，

在△BDC 和△EDG 中，

60DC DG BCD EGD BC EG =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△BDC ≌△EDG （SAS ） ∴BD=DE ； （3）DB=DE 成立，

理由如下：过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，

∴∠CDF=∠A ，∠CFD=∠ABC ， ∵△ABC 是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB ， ∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF ， ∴△CDF 为等边三角形 ∴CD=DF=CF ， 又AD=CE ， ∴AD-CD=CE-CF ， ∴BC=AC=EF ，

∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°， ∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，

∴∠BCD=∠DFE ，且BC=EF ，CD=DF ， ∴△BCD ≌△EFD （SAS ） ∴DB=DE ． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

3．（1）212(02)

16(25)x x y x x ?≤≤?=?≤≤??；（2）2

20(01)2(1)(13)16(36)

1

x y x x x x ?

?≤≤?=-<≤???<≤-?；（3）第2分钟末两颗

弹珠速度相差最大，最大相差6米/分钟；（4）存在，理由详见解析 【解析】 【分析】

（1）将（1，2）代入2

1y ax =，得2a =，从而得到212y x =，再代入2x =求出

18y =，即可得到反比例函数解析式，即可得解；

（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，故第二颗弹珠的解析式为20y =；再分别根据（1）中的结论，即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式；

（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度，再相减即可的解；

（4）第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到5

1

3

米/分钟，第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同．可以根据速度相等时列方程求得时刻． 【详解】

（1）当02x ≤≤时，将（1，2）代入2

1y ax =，得2a =，

212y x ∴=，

∵当2x =时，18y =， ∴当25x ≤≤时，116y x

=

， 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x

?≤≤?

=?≤≤??；

（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出， ∴第二颗弹珠的解析式为20y =；

当13x <≤时，第二颗弹珠的解析式为2

22(1)y x =-；

当36x <≤时，第二颗弹珠的解析式为216

1

y x =

-； ∴2y 与x 的函数关系式为2

20(01)2(1)(13)16(36)1

x y x x x x ?

?≤≤?=-<≤???<≤-?；

（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大， ∴第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，

∵第一颗弹珠的速度为2

218222y x =?==米/分钟， 第二颗弹珠的速度为212

2(1)212y x =?==-米/分钟，

∴两颗弹珠的速度最大相差8-2=6米/分钟； （4）存在，理由如下：

第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到51

3

米/分钟， 第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分， 故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同． 这个时刻可以通过解方程216

2(1)x x

=-求得． 【点睛】

本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息，明确自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标． 4．(1) CF

长为4

；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）1AB =

，则AD =

ABCD

是矩形，得到

1,CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =

，则

FB FD x ==，在Rt DCF △中，2

2

2

+=CD CF DF

，可得)

22

2

1x x +=

即

可求解．

（2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，

90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在

BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得

BOF DOE ?，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．

（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边

形，根据90DOE DAB ∠=∠=?，得到DOE

DAB ，再根据2AD AB =，可得

222

OE AB OD AD ===，进而得到2

2OE OD =，22EF BD =

，同理可得，2

2

MN AC =

，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形ENFM 是矩形，90EMF ∠=，2MF OD

tan FEM ME OE

∠=

==，2MF ME =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"． 【详解】 解：()

11,AB =则2,2AD AB ==

四边形ABCD 是矩形

1,2CD AB BC AD ∴==-=

由折叠得FB FD = 设CF

x =，则2FB FD x ==- 在Rt DCF △中，222+=CD CF DF

(

)

222

12x x +=-

24

x =

答：CF 长为

24

()2四边形BFDE 是菱形.

理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BD

OB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=

在矩形ABCD 中，//,AD BC

OBF ODE ∴∠=∠

在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,

BOF DOE ∴? OE OF ∴= OB OD =