2013中考数学压轴题(含答案)

1、如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；

（2）若双曲线(0)k

y k x =>上一点C 的纵坐标为8，求A O C △的面积；

（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x =>于P Q ，两

点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面

积为24，求点P 的坐标．

解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .

∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）.

∵ 点A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 .

(2) 解法一：如图12-1，

∵ 点C 在双曲线上，y = 8时，x = 1

∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) .

过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON .

S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 .

S △AOC = S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .

解法二：如图12-2，

过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ，

∵ 点C 在双曲线8

y x =上，当y = 8时，x = 1 .

∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ).

图12

O x A y B x y 21x y 8=

∵ 点C 、A 都在双曲线8

y x =上 ,

∴ S △COE = S △AOF = 4 。

∴ S △COE + S 梯形CEFA = S △COA + S △AOF .

∴ S △COA = S 梯形CEFA .

∵ S 梯形CEFA = 1

2

×（2+8）×3 = 15 ,

∴ S △COA = 15 .

（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形 ,

∴ OP=OQ ，OA=OB .

∴ 四边形APBQ 是平行四边形 .

∴ S △POA = S 平行四边形APBQ = ×24 = 6 .

设点P 的横坐标为m （m > 0且4m ≠）,

得P ( m , ) .

过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ，

∵ 点P 、A 在双曲线上，∴S △POE = S △AOF = 4 .

若0＜m ＜4，如图12-3，

∵ S △POE + S 梯形PEFA = S △POA + S △AOF ,

∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 .

∴ 1

8

(2)(4)62m m +⋅-=.

41

41

m

8

解得m = 2，m = - 8(舍去) .

∴ P （2，4）.

若 m ＞ 4，如图12-4，

∵ S △AOF + S 梯形AFEP = S △AOP + S △POE ,

∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 .

∴1

8

(2)(4)62m m +⋅-=，

解得m = 8，m = - 2 (舍去) .

∴ P （8，1）.

∴ 点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）.

2、如图，抛物线21

2y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A

的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．

(1)求m 、n 的值；

(2）求直线PC 的解析式；

(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线 PC 的位置关系，并说明理由．(参考数：2 1.41≈，3 1.73≈，5 2.24≈) 解： (1)由已知条件可知： 抛物线21

2y x mx n =++经过A (-3，0)、B (1，0)两点． ∴ 903,210.2m n m n ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ……………………………………2分

解得 3

1,2

m n ==-． ………………………3分 (2) ∵213

22y

x x =+-， ∴ P (-1，-2)，C 3(0,)2-． …………………4分

设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,3.2

k b b -=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得13,22k b ==-． ∴ 直线PC 的解析式是1

3

22y

x =-． …………………………6分 说明：只要求对1

3

22k b ==-，，不写最后一步，不扣分．

(3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．

设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt△O CD 中，∵ O C =32

，3O D =， ∴ 2233()3522C D =+=． …………8分

∵ O A =3，3O D =，∴AD =6． (9)

分 ∵ ∠C O D =∠AED =90o ，∠CD O 公用，

∴ △C O D ∽△AED ． ……………10分 ∴ OC

C D AE

AD =， 即33

5226AE =． ∴ 655AE =． …………………11分 ∵ 6

5 2.688 2.55> ，

∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离． …………12分