度量空间与连续映射

线性空间与欧几里得空间

线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且

概率论

1.1.1 确定性现象 在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象． 确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象． 例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；?? 确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识． 如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力??这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果． 对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点： (1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一； (2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的． 换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变． 1.1.2 随机现象 随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象． 例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；?? 随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上． 1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验 因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验： 从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法． 1.1.4 统计规律性(2)--其他实验 我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子． 1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1． 2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线． 1.1.5 统计规律性(3)--规律描述 从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科． 既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点： (1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的； (2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的． 一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小． 通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的．

泛函分析题1.2完备化答案

泛函分析题1_2完备化p13 1.2.1 (空间S) 令S为一切实(或复)数列 x = ( ξ1, ξ2, ..., ξn, ... ) 组成的集合，在S中定义距离为 ρ(x, y) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk -ηk |/(1 + | ξk -ηk | )， 其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )．求证S为一个完备的距离空间．证明：(1) 首先证明ρ是S上的距离． ρ的非负性和对称性是显然的； 因为实函数f (t) = t /(1 + t ) = 1 - 1/(1 + t )在[0, +∞)严格单调增， 故对任意a, b∈ ，有 | a |/(1 + | a |) + | b |/(1 + | b |) ≥ | a | /(1 + | a | + | b |) + | b |/(1 + | a | + | b |) = ( | a | + | b | )/(1 + | a | + | b |) ≥ ( | a + b | )/(1 + | a + b |)， 由此可立即得知ρ在S上满足三角不等式． 所以，ρ是S上的距离，从而(S, ρ)为距离空间． (2) 设{x n}是S中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )． 则?k∈ +，(1/2k) · | ξk(n)-ξk(m)|/(1 + | ξk(n)-ξk(m)| ) ≤ρ(x n, x m) → 0 (m, n→∞)．， 因此| ξk(n)-ξk(m)| → 0 (m, n→∞)． 故{ξk(n)}n ≥ 1是 (或 )中的Cauchy列，因此也是收敛列． 设ξk(n)→ξk ( n→∞)，并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，则x∈S． 下面证明ρ(x n, x)→ 0 ( n→∞)． ?ε > 0，存在K∈ +，使得∑k > K (1/2k) < ε /2． 又存在N∈ +，使得?n∈ +，当n > N时，?k≤K都有| ξk(n)-ξk | < ε /2． 此时，ρ(x n, x) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) = ∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) + ∑k > K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) ≤∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk | + ∑k > K (1/2k) < (ε /2) ·∑k ≤K (1/2k) + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε． 所以，x n→x ( n→∞)． 因此S中的Cauchy列都是收敛列，故S为完备距离空间． 1.2.2 在一个度量空间(X, ρ)上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列． 证明：必要性是显然的，只证明充分性． 设{x n}是X中的一个Cauchy列，且{x n}有一个收敛子列{x n(k)}，记x n(k) →x． ?ε > 0，存在N∈ +，使得?m, n≥N都有ρ(x n, x m) < ε /2．

5.1角的概念的推广及其度量

勤能补拙重在坚持难在慎独 班级：姓名：Array高一数学学案 时间：编辑人：温梅 【学习目标】 1.理解弧度制的概念以及弧长公式。 2.理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系。 3.掌握角度制与弧度制的换算。 【课前预习案】 1.角度制 定义：把一个圆周等分，则其中一份所对的圆心角是。 2.复习初中时所学的“弧长与扇形的面积公式” L= , S= = . 【课堂学习案】 1.弧度制 (1)定义：弧长等于的弧所对的叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做. (2)任意角的弧度数与实数都是对应关系：正角的弧度数是一个,负角的弧度数是,零角的弧度数是. 2.角度与弧度的换算 1°＝rad≈rad， 1 rad＝( )?≈°＝? ? ．

平角＝°＝rad，周角= °＝rad， [题后反思] (4)有关扇形公式 1.若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为()．A．40π cm2B．80π cm2C．40cm2D．80cm2 2. 已知圆心角所对的弧长为2，这处圆心角所夹的扇形面积为（）． A. B. C. D.

3. 若一圆的半径为5厘米，则60°圆心角所对的弧长为； 4.若半径为10厘米的圆中，30°圆心角所对应的扇形面积为； 例7 将下列各角度与弧度互化 （1）（2）（3） （4）（5）（6） 三、【课堂总结】 知识体系建构 1. 想一想角的概念我们学习了什么 2.想一想角的度量我们学习了什么公式 [达标检测] 1. 完成《高考总复习》第56～59页能力训练题及高考回顾题； 2.选择性的完成课本及练习册相应类型题；

线性空间和欧式空间

第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。

13 度量空间的可分性与完备性

1.3度量空间的可分性与完备性 在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1设X是度量空间，,A B X ?，如果B中任意点x B ∈的任何邻域(,) O xδ内都含有A的点，则称A在B中稠密．若A B ?，通常称A是B的稠密子集． 注1：A在B中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1设(,) X d是度量空间，下列命题等价： (1) A在B中稠密； (2) x B ?∈，{} n x A ??，使得lim(,)0 n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A ' =，A为A的闭包，A'为A的导集(聚点集)）； (4) 任取0 δ>，有(,) x A B O xδ ∈ ?．即由以A中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B． 证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，,, A B C X ?，若A在B中稠密，B在C 中稠密，则A在C中稠密． 证明由定理1.1知B A ?，C B ?，而B是包含B的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A在C中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间[,] a b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,] P a b在连续函数空间[,] C a b中稠密． 参考其它资料可知：

角的概念和度量练习题及答案

角的概念和度量 【知能点分类训练】 知能点1 角的概念与角的表示方法 1．下图中表示∠ABC 的图是（ ）． 2．下列关于角的说法正确的是（ ）． A ．两条射线组成的图形叫做角； B ．延长一个角的两边； C ．角的两边是射线，所以角不可以度量； D ．角的大小与这个角的两边长短无关 3．下列语句正确的是（ ）． A ．由两条射线组成的图形叫做角 B ．如图，∠A 就是∠BAC C ．在∠BAC 的边AB 延长线上取一点 D ； D ．对一个角的表示没有要求，可任意书定 4．如图所示，能用∠AOB ，∠O ，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）． 5．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是______；以A? 为顶点的角有_______个，它们分别是________________． 6．从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，?则 该图中共有角的个数是（ ）． A ．28 B ．21 C ．15 D ．6 知能点2 平角与周角的概念 7．下列各角中，是钝角的是（ ）． A ．14周角 B ．23周角 C ．23平角 D ．14 平角 8．下列关于平角、周角的说法正确的是（ ）． A ．平角是一条直线 B ．周角是一条射线 C ．反向延长射线OA ，就形成一个平角 D ．两个锐角的和不一定小于平角 9．一天24小时中，时钟的分针和时针共组合成_____次平角，______次周角． 知能点3 角的度量 10．已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列结论正确的是（ ）． A ．∠α=∠β B ．∠α<∠β C ．∠α=∠γ D ．∠β>∠γ 11．（1）把周角平均分成360份，每份就是_____的角，1°=_____，1′=_______． （2）25．72°=______°______′_______″． （3）15°48′36″=_______°． （4）3600″=______′=______°． 12．如图所示，将一个长方形沿图中的虚线折叠，请用量角器测量一下

第二章 赋范线性空间-黎永锦

第2章 赋范线性空间 虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设 足以解释许多现象. Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家) Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||: ){(1 2∞<∑∞ =i i i z z 时引入记号 ||||z 来表示2 11 )(∑∞ =i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918 年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念 线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数, 第三组给出了空间的完备性. 定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||?是X 到R 的映射,且满足下列条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件

4.3.1 角的概念和度量练习题及答案人教版七年数学上册

4.3.1 角的概念和度量 【知能点分类训练】 知能点1 角的概念与角的表示方法 1．下图中表示∠ABC 的图是（ ）． 2．下列关于角的说法正确的是（ ）． A ．两条射线组成的图形叫做角； B ．延长一个角的两边； C ．角的两边是射线，所以角不可以度量； D ．角的大小与这个角的两边长短无关 3．下列语句正确的是（ ）． A ．由两条射线组成的图形叫做角 B ．如图，∠A 就是∠BAC C ．在∠BAC 的边AB 延长线上取一点 D ； D ．对一个角的表示没有要求，可任意书定 4．如图所示，能用∠AOB ，∠O ，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）． 5．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是______；以A? 为顶点的角有_______个，它们分别是________________． 6．从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，?则 该图中共有角的个数是（ ）． A ．28 B ．21 C ．15 D ．6 知能点2 平角与周角的概念 7．下列各角中，是钝角的是（ ）． A ． 14 周角 B ． 23 周角 C ． 23 平角 D ． 14 平角 8．下列关于平角、周角的说法正确的是（ ）． A ．平角是一条直线 B ．周角是一条射线 C ．反向延长射线OA ，就形成一个平角 D ．两个锐角的和不一定小于平角 9．一天24小时中，时钟的分针和时针共组合成_____次平角，______次周角． 知能点3 角的度量 10．已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列结论正确的是（ ）． A ．∠α=∠β B ．∠α<∠β C ．∠α=∠γ D ．∠β>∠γ 11．（1）把周角平均分成360份，每份就是_____的角，1°=_____，1′=_______． （2）25．72°=______°______′_______″． （3）15°48′36″=_______°． （4）3600″=______′=______°． 12．如图所示，将一个矩形沿图中的虚线折叠，请用量角器测量一下其

概率论综述

概率论综述

第一章 事件与概率 §1. 随机现象与统计规律性 一.随机现象 概率论（probability theory ）是研究随机现象的数量规律的数学分支。本节概述他的研究对象及殊地位。 在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。反之，那种在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件，这些统称为决定性现象。 另一类现象，在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，即就个别实验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现结果，呈现出一种偶然性。这种现象称之为随机现象（random phenomenon ）,对于随机现象通常关心的是试验或观察中某个结果是否出现，这些结果称之为随机事件，简称事件(event)。 二.频率稳定性 对于随机事件A,若在N 次实验中出现了n 次，则称 N n A F N =)( 为随机事件A 在N 次实验中出现的频率. 有种种事实表明，随机现象有其偶然的一面，也有其必然的一面。这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这种规律性我们称之为统计规律性。 对于一个随机事件A ，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称之为随机事件A 的概率（probability ）.因此概率度量了随机事件发生的可能性大小。 三.频率与概率 首先，概率具有非负性 0)(≥A F N 其次，对于必然发生的事件，在N 此试验中应出现N 次。若以Ω记必然事件，则应有 1)(=ΩN F 还有，若A 及B 是两个两个不会同时发生的随机事件，以A+B 表示A 或B 至少出现其一这一事件，则应有

度量空间的可分性与完备性

1.3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理1.1知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知： (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密． (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得： (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???． 定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ?，如果存在点列{}n x A ?，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．

四年级数学下册 直线射线和线段以及角的概念和度量教案 人教版

四年级数学下册直线射线和线段以及角的概念 和度量教案人教版 1、使学生认识射线，掌握直线、射线和线段三个概念之间的联系和区别。 2、使学生理解和掌握角的概念，会用量角器量角的大小。教学过程： 一、导言：过去我们已经学过直线，那么直线是一条什么样 的线？它有什么特点？还有什么样的线？我们今天开始学习几何 知识中最基础的内容：线和角 二、新授： 1、认识直线、线段和射线，以及它们之间的联系与区别。(1)教师演示：教师拿出一条长线，用手把一部分拉直，让学生把另 一部分扯直。①这是一条什么线？(直线)说说直线有什么特点？ 根据学生的回答，教师说明直线的特点：首选是直，直线是无限 长的，可以延伸很长很长。不管延伸多长，都是直的。但实际画 直线时，不可能画出无限长的直线，只能用不画出端点来表示， 没有端点就表示无限延长。板书：直线无限长没有端点②判定 哪些是直线，哪些不是直线？ (2)教学线段。①教师在直线上点两个点，截取其中的一段。板书：

问：直线上两点间的一段叫做什么？(线段)线段有什么特 点？(线段也是直的，有两个端点。)想一想：线段和直线有什么 关系？引导学生明确，线段的长度是有限的，它是直线的一部 分，它有两个端点。板书(写在直线的下面)：线段有限长两个 端点是直线的一部分②找出下面哪些是线段，哪些不是线段？ (3)教学射线。①教师先画一条线段，把线段一端无限延长。提问：这个图形叫直线吗？它还是线段吗？为什么？引导学生明确：它不同于直线，因为它有一个端点；它也不同于线段，因为 它只有一个端点。我们叫它射线。②射线有什么特点？和直线有 什么关系？在小组讨论的基础上明确：射线是是无限长的，只有 一个端点，不能度量长短，它也是直线的一部分。板书(写射线的下面)：射线无限长一个端点是直线的一部分。(4)引导学生比较直线、射线和线段有什么共同点和不同点。填表。名称长度端 点个数与直线的关系图示直线射线线段练习。练习二八第1题。 从一点可以画出几条射线？(让学生动手画) 长方形或正方形的每条边叫做什么？ 2、建立角的概念。(1)启发学生观察哪些图形是角？(2)教师在黑板上画角。步骤：①画出一点，从这一点引出一条射线；② 从这一点再引出另一条射线；③写出各部分名称。用∠1表示。(3)总结角的概念。从一点到引出两条射线所组成的图形叫做角。这 个点叫做和角的顶点，这两条射线叫做角的边。角的符号用 “∠”表示。(4)通过学生准备好的硬纸条和图钉做成活动角，按

泛函分析中的度量空间

泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1、度量空间 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y?x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔

伯特空间。 例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y?x|| 也是度量空间。 (如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 3、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 4、巴拿赫空间 巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

完备空间

完备空间 完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 例子 ?有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。 ?实数空间是完备的 ?开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。 ?令S为任一集合，S N为S中的所有序列，定义S N上序列(x n)和(y n)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。 [编辑]直观理解 直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。 [编辑]相关定理 ?任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。 ?完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。 ?若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：

?若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合C b(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。 ?贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。 [编辑]完备化 [编辑]定义 对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M'（或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M'具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M'到N的一致连续函数f'使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M'在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。 以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。 对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。 [编辑]构造 类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。 对M中的任意两个柯西序列x=(x n) 和y=(y n)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = lim n d(x n,y n)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从L p到），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价 关系）。这样，令ξx= {y是M上的柯西序列：}，M'={ξx：x ∈ M}，原空间M就以xξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M'中。易于验证，M 等距同构于M'的稠密子空间。 康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

《角与角的度量》教案

《角与角的度量》教案 教学目标 1、通过丰富的实例，进一步理解角的有关概念，认识角的表示，认识度、分、秒，并会进行简单的换算. 2、通过实际操作，体会角在实际生活中的应用，培养学生的抽象思维. 3、通过在图片、实例中找角，培养学生的观察力，能把实际问题转化为教学问题，培养学生对数学的好奇心与求知欲. 重点与难点 重点：角的概念及表达方法；难点：角的准确度量与换算. 课前准备 多媒体图片、三角板、量角器、计算器、木圆规. 教学过程 1、角的定义： (1)教师在黑板上演示角的画法，边画边让学生观察，学生观察后给出角的定义.在学生归纳的基础上，师板书角的定义：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形. 播放多媒体课件：观赏有钟、剪刀、足球运动员射门的角度，教学顶端、体操运动员做动作等画面，使学生对角有进一步的理解. 提出问题：观赏画面，提出画面中的角，举出生活中的实例.(学生四人一组，先独立思考，然后小组互相交流，最后小组选派代表回答问题.) (2)教师演示木圆规得出角的运动定义：角也可以由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.(并叫生举例子) 2、角的表示方法： 角用符号：“∠”表示，读作“角”，通常的表示方法有： (1)用三个大写字母表示，如图6-26的角表示为∠ABC (或∠CBA )，中间字母B 表示端点，其他两个字母A 、C 分别表示角的两边上的点. (2)用一个数字或希腊字母(如α、β、γ)表示，如图6-27中的角分别可表示为∠1、∠α、 B A C B A C D α β 图6-26 图6-27

∠β等.(注意读法) (3)在不引起混淆的情况下，也可以用角的顶点字母表示，如图7-21中的∠ABC 可用∠B 表示，图7-22中的∠AOC 能用∠O 表示吗？为什么？ 3、做一做：(巩固练习)P 155填表： 补充：试用适当的方法表示下列图中的每个角： (1) (2) 4、从角的运动定义出发，得到平角、周角的定义. 平角 周角 图6-28 5、合作学习： 观察图书本图6-29中的量角器，并讨论下列问题： (1)量角器上的平角被分成多少个1°的角？ (2)先估计下图∠A 和∠B 的度数，再用量角器量一量，在测量中，你遇到哪些问题？ 在测量角时，有时以度为单位还不够，我们需要用比1°更小的单位，称之为分和秒，把1°的角等分成60份，每一份是1分，记做1'，把1分的角再等分成60份，每份就是1秒，记 做1"，即1°=60' 1'=(601)° 1周角=360° 1'=60" 1"=(601 )' 1平角=180° 6、例1：用度、分、秒表示：48.32° B A ∠1 ∠B ∠BCE ∠ACB ∠BAC ∠ABC C B E A D β α B C A O B O A (B ) B C O A

度量空间的可分性与完备性

度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：

11 度量空间的定义与极限

第一章 度量空间 若在实数集 R 中点列n x 的极限是x 时，我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这两 点间的距离，那么实数集R 中点列n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0，即lim (,)0n n d x x →∞ =． 于是人们就想， 在一般的点集 X 中如果也有“距离” ，那么在点集X 中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ 诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？ 远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近 这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？ 1.1 度量空间的定义与极限 1.1.1 度量空间的定义与举例 定义 1.1.1 设X 为一非空集合．若存在二元映射:d X X ?→R ，使得,,x y z X ?∈，均满足以下三个条件： （1）(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity )； （2）(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry )； （3）(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality )， 则称d 为 X 上的一个距离函数，称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，(,)d x y 称为x 和y 两点间的距离．□ 注1：在不产生误解时，(,)X d 可简记为X ． 下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间n R ． 设 n R 12{(,,,)|,1,2, ,}n i x x x x R i n =∈=，定义 (,)d x y 其中 12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个度量空间． 在证明之前，引入两个重要的不等式． 引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给 2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有 1 12222 1 1 1 ()() n n n i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数 λ，则由

度量空间的列紧性与紧性

1.4度量空间的列紧性与紧性 1.4.1度量空间的紧性Compactness 在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成 令{ 集)0x ∈(2)列紧集的子集是列紧集； (3)列紧集必是有界集，反之不真． 证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)． 假设A X ?是列紧集，但A 无界．取1x A ∈固定，则存在2x A ∈，使得12(,)1d x x ≥．对于12,x x ，必存在3x A ∈，使得13(,)1d x x ≥、23(,)1d x x ≥．由于A 是无界集，可依此类推得到X 的点列{}n X 满足：只要i j ≠，就有(,)1i j d x x ≥．显然点列{}n X 无收敛子列，从而A 不是列紧集导致矛盾，故A 是有界集． 反过来， A 是有界集，A 未必列紧．反例：空间2[,]X L ππ=-上的闭球 B O =有界，而不是列紧集(见例1.1)．□

注2：R 中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集．(由于R 中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧．) 注3：自然数{1,2,,,}n N =不是列紧集．(N 无界) 推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间． 证明(1)若X 为紧空间，那么X 本身为列紧集，而列紧集有界，故X 为有界空间． (2)若X 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X 中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X A 具0()f x E =∈即{点列{}n x (()n n y f x =)存在收敛的子列{}k n x ，0k n x x A →∈．从而 00lim lim lim ()()k k n n n n k k y y y f x f x E →∞ →∞ →∞ ====∈， 即E 是闭集．□ 定理1.4.3最值定理 设A 是度量空间X 中的紧集，f 是定义在X 上的实值连续函数(泛函)，即:f X →R ，那么f 在A 上取得最大值与最小值． 证明设()E f A =，由上述引理知E 是R 中的紧集．所以E 是R 中的有界集，于是上、下确界存在，设