全国高中数学联赛试题及答案教程文件

2009年全国高中数学联赛试题及答案

全国高中数学联赛

全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题.

一 试

一、填空（每小题7分，共56分）

1． 若函数(

)f x =

()()()n n

f x f f f f x ??=??????，则()

()991f = ．

2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L

上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横

坐标范围为 ．

3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ??

??-?

≥≤≤，N 是随t 变化的区

域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．

4． 使不等式

1111

200712

213

a n n n +++

<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．

5． 椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积

OP OQ ?的最小值为 ．

6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩

上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）

8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时

一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题

1． （14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆22

11612

x y +=交于

不同两点A ，B ，与双曲线22

1412

x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，

使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明

理由．

2． （15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，

，

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14

q =，求{}n a 的前n 项和．

3． （15分）求函数y

加试

一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）

9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ?（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ?的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．

⑴求证：MP MT NP NT ?=?；

⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ?，QCB △的内心分别为1I ，2I ，

B

求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．

10．

求证不等式：

2111ln 12n k k n k =??

-<- ?+??

∑≤，1n =，2，…

11．

设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，

使得C k m 与l 互素．