《向量的分解和向量的坐标运算》习题
《向量的正交分解和向量的坐标运算》习题
一、选择题
1．(08·广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
＝( )
A.14a ＋12b
B.23a ＋13b
C.12a ＋1
4
b D.13a ＋23
b 2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 是( )
A ．梯形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
3．(08·湖南)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →
，AF →
＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →
( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
4．在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AM →＝4MC →，P 为AD 的中点，则MP →
＝( )
A.45a ＋3
10
b B.45a ＋1310
b 5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2
＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D.6或－ 6
6．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →
，则r ＋s 的值是( ) A.2
3 B.43 C ．－3
D ．0
7．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
8．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．－2
D ．－1
9．(2010·全国卷Ⅱ文，10)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若C B →＝a ，C A →
＝b ，
|a|＝1，|b|＝2，则C D →
＝( )
A.13 a ＋2
3 b
B.23 a ＋1
3
b C.35 a ＋4
5
b D.45 a ＋35
b 10．(2010·合肥市)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →
＝b ，AF →
＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )
A.? ????12，12
B.? ????23，23
C.? ??
??13，13 D.? ??
??23，12 二、填空题
11．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2
e 1＋(1－52k )e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，
则实数k ＝________.
12．如图所示，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →
的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为______．
13．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且AE →＝14
AD →，F 为BE 与AC 的交点．设AB →
＝
a ，BC →＝
b ，若BF →＝kBE →，AF →＝hAC →
，则k ＝________，h ＝________.
三、解答题
14．如图，已知△ABC 中，M 、N 、P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →
＝e 2，试用e 1，e 2表示CM →、CN →、CP →.
15．在?ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、
K ，设AB →＝a ，BC →＝b ，试用a 、b 表示GK →、AH →
.
16．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝1
3OB ，DC 与OA
交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →
.
17．已知OA →＝a ，OB →
＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°.
(1)求|a ＋b |，|a －b |.
(2)求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．
18．在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →
＝b ，以a 、b 为基底
表示OM →
.
参考答案:
一、选择题 1．[答案] B
[解析] 由E 是线段OD 的中点，∴BE →＝3ED →
，
由平行四边形ABCD ， ∴
|AB ||DF |＝|EB ||ED |，∴|DF |＝1
3
|AB | ∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →
＝a ＋23(OD →－OC →)
＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋1
3b .
故选B. 2．[答案] A
[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →， ∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →|， 故四边形是梯形． 3．[答案] A
[解析] AD →＋BE →＋CF →＝AB →＋BD →＋BC →＋CE →＋BF →－BC →＝AB →＋13BC →＋BC →－23AC →－13AB →－BC →＝23(AB
→
－AC →)＋13BC →＝23CB →＋13BC →
＝－13
BC →，故选A.
4．[答案] C
[解析] 如图，MP →＝AP →－AM →＝12AD →－45
AC →
＝12AD →－45(AB →＋BC →)＝12b －4
5(a ＋b ) ＝－45a －310b .
5．[答案] C
[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →
|得，平行四边形
OACB 为矩形，OA →⊥OB →
.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.
6．[答案] D
[解析] ∵CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →
.
∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.
∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23
AC →.
又CD →＝rAB →＋sAC →
，∴r ＝23，s ＝－23，
∴r ＋s ＝0. 7．[答案] B
[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c
∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．
∴〈a ，b 〉＝120°.
8．[答案] D
[解析] BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →
＝2a ＋p b ，由A 、B 、D 三点共线知，存在实数λ，使2a ＋p b ＝2λa －λb ，
∵a 、b 不共线，∴?
??
??
2λ＝2
p ＝－λ，∴p ＝－1.
9．[答案] B
[解析] 如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，
∴
|BD ||DA |＝|CB ||CA |＝1
2
， ∴BD →＝13BA →＝13(CA →－CB →)＝13b －13a ，
∴CD →＝CB →＋BD →＝a ＋? ????13b －13a ＝23a ＋13b .
10．[答案] C
[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →
＝－a ＋12b ，
BF →
＝BC →＋CF →
＝(b －a )＋λ(12
a －
b )
＝? ??
??12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →
共线，∴1
2λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23
，
∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23? ????12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝1
3. 二、填空题
11． [答案] －2或13
[解析] 由题设知k 2
2＝1－52k 3
，∴3k 2
＋5k －2＝0.
解得k ＝－2或1
3.
12．[答案] 6
[解析] 以OC 为对角线，OA 、OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，
∠COE ＝∠OCD ＝90°.
在Rt△OCD 中，∵|OC →
|＝2 3
∴|OD →
|＝|OC →|cos30°＝4，在Rt△OCE 中，
|OE →|＝|OC →
|·tan30°＝2， ∴OD →＝4OA →，OE →＝2OB →， 又OC →＝OD →＋OE →＝4OA →＋2OB →， 故λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 13．[答案] 45 1
5
[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，∴AF →＝hAC →＝h a ＋h b ，BF →＝BA →＋AF →
＝－a ＋h a ＋h b ＝(h －1)a ＋h b ，
又BF →＝kBE →＝k (BA →＋AE →
)＝k (－a ＋14b )
＝－k a ＋k
4b ，
显然a 与b 不共线，
∴?
?
?
??
h －1＝－k
h ＝k 4
，解得?????
k ＝4
5
h ＝1
5
.
三、解答题
14．[解析] CM →＝1
4e 1＋34e 2；
CN →＝12e 1＋12
e 2； CP →
＝3
4
e 1＋14
e 2.
15． [解析] 如图所示，GF →＝CF →－CG →＝－12b ＋12a ，因为K 为DF 的中点，所以GK →＝12
(GD
→
＋GF →)
＝12? ????－12a －12b ＋12a ＝－14b . DF →
＝CF →－CD →
＝－1
2
b ＋a .
因为A 、H 、G 三点共线，
所以存在实数m ，使AH →＝mAG →＝m ? ??
??b ＋12a ；
又D 、H 、F 三点共线，所以存在实数n ，使DH →＝nDF →＝n ? ??
??a －12b
因为AD →＋DH →＝AH →，所以? ??
??1－n 2b ＋n a ＝m b ＋m 2a 因为a 、b 不共线，所以?????
1－n
2
＝m n ＝m
2
，解得m ＝4
5
，
即AH →＝45? ????b ＋12a ＝2
5
(a ＋2b )．
16．[分析] 将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化去过渡的中间向量．
如待求OC →，已知OA →、OB →，即知BA →，因为BC →可用BA →线性表示，故可用OB →和BC →来表示OC →. [解析] 因为A 是BC 的中点，
所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b .
DC →
＝OC →－OD →＝OC →
－23
OB →
＝2a －b －23b ＝2a －5
3
b .
17[解析] 如图，以OA →、OB →
为邻边作平行四边形OACB ，
∵|OA →|＝|OB →
|＝4，∠AOB ＝60°， ∴四边形OACB 为菱形．
(1)a ＋b ＝OA →＋OB →＝OC →，a －b ＝OA →－OB →＝BA →
， ∴|a ＋b |＝|OC →|＝2|OD →
|＝2×32
×4＝43，
|a －b |＝|BA →
|＝4.
(2)在△OAC 中，∠OAC ＝120°， ∴∠COA ＝∠OCA ＝30°，
a ＋
b 与a 所成的角，即∠COA ＝30°，a －b 与a 所成的角，即BA →与OA →
所成的角，等于∠CBA
＝60°.
18．[分析] 显然a 、b 不共线，故可设OM →
＝m a ＋n b ，由A 、M 、D 三点共线及B 、M 、C 三点共线利用向量共线条件求解．
[解析] 设OM →
＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →
＝(m －1)a ＋n b ， AD →
＝OD →－OA →
＝12
b －a
因为A 、M 、D 三点共线，所以
m －1－1
＝n
12
，即m ＋2n ＝1 又CM →＝OM →－OC →＝? ????
m －14a ＋n b ，
CB →
＝OB →－OC →
＝－14
a ＋
b ，
因为C 、M 、B 三点共线，所以m －
14－14
＝n
1，
即4m ＋n ＝1，
由?????
m ＋2n ＝14m ＋n ＝1
，解得?????
m ＝1
7
n ＝3
7
，
所以OM →＝17a ＋3
7b .