离散数学期末测验试题(有几套带答案1)

离散数学期末测验试题（有几套带答案1)

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离散数学试题(A卷及答案）

一、证明题（10分）

１)(?P∧(?Q∧Ｒ)）∨(Q∧R）∨(P∧R）?Ｒ

证明：左端?(?P∧?Q∧R)∨（(Q∨Ｐ)∧R)?（(?P∧?Q)∧R))∨((Ｑ∨Ｐ)∧R）

?(?(P∨Q）∧R)∨((Q∨P)∧Ｒ)?(?(P∨Q)∨(Ｑ∨Ｐ))∧R

?(?(P∨Q)∨(Ｐ∨Ｑ))∧R?T∧R(置换）?R

2）?x(Ａ（ｘ)→B(x)）??xＡ(x）→?xB(x)

证明:?x(A(x)→Ｂ(x））??x（?A（x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA（x)∨?xB(x)??xA(x)→?xＢ(ｘ）

二、求命题公式(P∨(Q∧Ｒ))→(Ｐ∧Q∧R）的主析取范式和主合取范式(１０分)

证明:(P∨（Ｑ∧Ｒ））→(P∧Q∧R)??(P∨(Ｑ∧Ｒ）)∨（P∧Q∧R))

?（?P∧（?Q∨?R)）∨(Ｐ∧Q∧Ｒ）

?(?P∧?Ｑ)∨(?P∧?R)）∨(Ｐ∧Q∧R)

?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Ｑ∧?R）∨(?Ｐ∧Q∧?R)）∨(?P∧?Q∧?R)）∨(Ｐ∧Ｑ∧R)

?m0∨ｍ1∨m2∨ｍ７

?Ｍ3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题(10分)

1）Ｃ∨D， (C∨D)→?E, ?Ｅ→(A∧?B), (A∧?B)→(R ∨S)?R∨S

证明:(1) (C∨D）→?E

(２) ?E→（A∧?Ｂ) ??

(3）（C∨D）→（A∧?Ｂ)

（４) （Ａ∧?B)→(R∨Ｓ) ??

(5) （C∨D）→（R∨Ｓ) ?

(6) C∨Ｄ??

(7) R∨S

2) ?x(P(ｘ)→Q(ｙ）∧R(x)），?xP(x)?Q(y）∧?x（P(x)∧R(x)) 证明（1)?xP(ｘ)

(2）P(a)

（3)?ｘ(P(x)→Q(y）∧R(x)) (4）P（a)→Q(y)∧R(a)

(５)Q(y)∧Ｒ(a)

(6)Q(y)

（７)R(a）

(8)P(a)

(9)P(ａ)∧R(a)

（10)?x(Ｐ(x)∧R(ｘ))

(11)Q（ｙ)∧?x(P（x）∧R(x)）

五、已知Ａ、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （１5分)

证明∵x∈A-（Ｂ∪C)?x∈A∧x?（Ｂ∪C)?x∈A∧(x?Ｂ∧ｘ?C）?(x∈A∧x?B)∧（x∈A∧x?C）?x∈（Ａ-B)∧ｘ∈(A－C）?x∈(A－B）∩（A-Ｃ)∴A-(B∪Ｃ）=（A-B)∩(A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：Ｒ=｛＜x，ｙ>| x，y∈N∧y=x2｝，Ｓ={

解:R－1={＜ｙ,ｘ>| x,y∈Ｎ∧ｙ=x2｝，R*S=｛｜ｘ,ｙ∈N∧y=x2+1},S＊R={| x,y∈Ｎ∧ｙ=(x+１)2}, 七、若ｆ:A→B和ｇ:B→C是双射，则(gf)－１＝f－1g-1(1０分）。

证明：因为ｆ、ｇ是双射,所以ｇf:A→C是双射，所以ｇf有逆函数(gf）-１：C→Ａ。同理可推f-1g－1：Ｃ→Ａ是双射。

因为∈ｆ-1g-1?存在ｚ(∈g-1∧∈f∧<ｚ,ｘ>∈g)?∈ｇf?＜x,y＞∈（gf）-1,所以(gf)-1＝f-１g-1。

R{１，２}＝{<1,1＞，<２,4>},S[{1，２}]＝｛１,４}。