黄昆版固体物理学课后问题详解解析汇报问题详解

《固体物理学》习题解答

黄昆 原著 汝琦改编 （志远解答，仅供参考）

第一章 晶体结构

1.1、

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc

nV

x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

a=2r ， V=

3

r 3

4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r

34a r 34x 3

333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3

3

4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3

∴68.083)r 3

34(r 342a r 342x 3

3

33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3

74.062)

r 22(r 344a r 344x 3

3

33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62

60sin a a 6S ABO ??=??=2

a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3

8

a 233C S ==?=

? n=1232

1

26112+?+?

=6个 74.062r

224r 346x 3

3

≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3

r 8a r 24a 3=

??= n=8, Vc=a 3

34.063r 3

38r 348a r 348x 3

33

33≈π=π?=π?=

1.2、试证：六方密排堆积结构中

633.1)3

8(a c 2

/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.

即图中NABO 构成一个正四面体。…

1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+??

?

=+??

?=+??

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π

=

?Ω

3

1230,

,22

(),

0,224

,,0

2

2a a

a

a a a a a a a Ω=??==，2

23,,,

0,()224,,0

2

2

i j k

a a a a a i j k a a ?==-++ 213422()()4a

b i j k i j k a a

π

π∴=??-++=-++

同理可得：232()2()

b i j k a

b i j k a

π

π=

-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ?=-++??

?

=-+??

?=+-??

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π

=

?Ω

3

123,,

222

(),,2222

,,222

a a a a a a a a a a a a a

-Ω=??=-=

-

，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ?=-=+- 213222()()2a b j k j k a a

π

π∴=??+=+

同理可得：232()2()

b i k a

b i j a

π

π=

+=+即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

1.5、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证明：

因为33121323

,a a

a a CA CB h h h h =

-=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明

12312300

h h h h h h G CA G CB ?=?=

所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：2

2

2

2

2

()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π?=??，312123

2a a b a a a π?=??，12

31232a a b a a a π?=??

倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a

πππ

=

==

倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a

πππ=++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G

π

=

2221

()()()h k l a a a

=++

2

2

2

22()

a d h k l =++ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解：(111)

1、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。

(111)

2、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：B R ai aj =-+，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj =-+，晶向指数[110]。

第二章 固体结合

2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数2ln 2=α，设离子的总数为2N 。 ＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有 (1)11112[ (234)

ij r r r r r α±'=

=-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为

2

34

(1) (234)

n x x x x x +=-

+-+ 当X=1时，有111

1 (2234)

n

-

+-+=

2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()m

n

u r r r α

β

=-

+

试求：（1）平衡间距0r ；

（2）结合能W （单个原子的）；

（3）体弹性模量；

（4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。 解：（1）求平衡间距r 0 晶体能()()2m n N U r r r

αβ

=

-+ 平衡条件

0r r dU

dr

==，11000m n m n r r αβ

++-+=，1

0(

)n m n r m βα

-= （2）单个原子的结合能

01()2W u r =-，0

0()()m n r r u r r r αβ

==-+，1

0()n m n r m βα-= 1(1)()2m

n m m n W n m βαα

--=-

（3）体弹性模量0

202()V U

K V V

?=?? 晶体的体积3

V NAr =，A 为常数，N 为原胞数目 晶体能()()2m n N U r r r

αβ=

-+ 1112[1...]234α=-+-+22

n α∴=

U U r V r V ???=???112

1

()

23m n N m n r r NAr αβ++=- 22112

1

[()]23m n U N r m n V V r r r NAr αβ++???=-??? 0

2222

2

00000

1[]29m n m n V V U N m n m n V V r r r r αβαβ=?=-+-+? 由平衡条件

112

0001

()0

23m n V V U N m n V

r r NAr αβ++=?=

-=?，得00m n m n r r αβ= 0

222220001[]29m n V V U

N m n V V r r αβ=?=-+? 0

2220001[]29m n

V V U N m n m n V V r r αβ

=?=

-+?200

0[]29m n N nm V r r αβ=--+ 000

()2m n N U r r αβ

=

-+ 0

202

2

()9V V U mn

U V V =?=

-? 体弹性模量0

9mn

K U V = （4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====

1

0()n m

n r m βα-=，1(1)()2m

n m m n W n m βαα

--=-

10

02

W r β=

，20100[2]r W r βα=+

-95101.210eV m β=??，1929.010eV m α-=??

2.6、bcc 和fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard —Jones)势计算Ne 在bcc 和fcc 结构中的结合能之比值．

＜解＞12

612

61()4()(),()(4)()()2n l u r u r N A A r r r r σ

σσ

σεε??

?

?

=-=-???????

?

2

6

661200612()1022r

A A du r r u N r A A σε??=?=?=- ???

22066201212()12.25/9.11

()/()0.957()14.45/12.13

bcc bcc fcc fcc u r A A u r A A ωω'===='