中考数学专题复习：圆

教学准备

一. 教学目标

（1）掌握圆的有关概念和计算

①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．

②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．

③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．

④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．

⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．

⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．

⑦掌握圆内接四边形的性质

（2）点与圆的位置关系

①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系．

②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图．

（3）直线与圆的位置关系

①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系．

②了解切线的概念．

③能运用切线的性质进行简单计算和说理．

④掌握切线的识别方法．

⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念．

⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算．

（4）圆与圆的位置关系

①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系．

②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．

③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算

（5）圆中的计算问题

①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量．

②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用．

③了解圆锥的高、母线等概念．

④结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图．

⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用．

⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积．

二. 教学难点与重点：

与圆的性质有关的计算、开放题以及与圆和多边形结合的探索题是本单元的重点也是难点．三. 知识要点：

知识点1：知识点之间的关系

知识点2：圆的有关性质和计算 ①弧、弦、圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半． ④圆内接四边形的性质：

圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．知识点3：点与圆的位置关系

①设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，

则点在圆外d r ?>；点在圆上d r ?=；点在圆内d r ?<．

②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．一个三角形有且只有一个外接圆． ③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．知识点4：直线与圆的位置关系

①设圆心到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，

则直线与圆相离d r ?>；直线与圆相切d r ?=；直线与圆相交d r ?<． ②切线的性质：与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径．

③切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等．

⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． ⑥切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．知识点5：圆与圆的位置关系

①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．设两圆心的距离为d ，两圆的半径为12r r 、，则两圆外离12d r r ?>+ 两圆外切12d r r ?=+ 两圆相交1212r r d r r ?-<<+ 两圆内切12d r r ?=- 两圆内含12d r r ?<-

②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．

由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦． ③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线． ④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．

知识点6：与圆有关的计算

①弧长公式：180

n r

l π= 扇形面积公式：213602n r S lr π=

=扇形（其中n 为圆心角的度数，r 为半径）

②圆柱的侧面展开图是矩形．

圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积

③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体． ④圆锥的侧面积＝

×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积

例1. △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C ＝90°，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，求AD 的长．【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH ⊥AB ，这只要求出AH 的长就能得出AD 的长．

【解】作CH ⊥AB ，垂足为H

∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB ＝10

例题精讲

∵∠C ＝90°， CH ⊥AB ∴AB AH AC ⊥=2

又∵AC ＝6， AB ＝10 ∴ AH ＝3.6 ∵CH ⊥AB ∴AD ＝2AH ∴AD ＝7.2 答：AD 的长为7.2.

【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键．定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，同学们在复习时要特别注重基本图形的掌握．

例2. （1）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE ＝∠B ，试说明AE 与⊙O 相切于点A ．（2）在（1）中，若AB 为非直径的弦，∠CAE ＝∠B ，AE 还与⊙O 相切于点A 吗？请说明理由．

【分析】第（1）小题中，因为AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角即可．第（2）小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第（1）小题的情形．

【解】（1）∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠C ＝90°

∴∠BAC ＋∠B ＝90°

又∵∠CAE ＝∠B

∴∠BAC ＋∠CAE ＝90°

即∠BAE ＝90°

∴AE 与⊙O 相切于点A.

（2）连结AO 并延长交⊙O 于D ，连结CD . ∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ACD ＝90°

∴∠D ＋∠CAD ＝90°

又∵∠D ＝∠B ∴∠B ＋∠CAD ＝90°

又∵∠CAE ＝∠B ∴∠CAE ＋∠CAD ＝90°

即∠EAD ＝90° ∴AE 仍然与⊙O 相切于点A.

【说明】本题主要考查切线的识别方法．渗透了“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力的培养非常重要．

例3. 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5．

（1）若sin ∠BAD =

，求CD 的长．（2）若∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）．【分析】图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长．第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOD 的大小．

【解】（1）∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5 ∴∠ADB ＝90°，AB ＝10 又∵在Rt △ABD 中，3

sin 5

BD BAD AB ==∠ ∴BD =6

∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD

∴BD 2

＝BE ·AB

∵AB ＝10 BD =6 ∴BE ＝

185

在Rt △EBD 中，由勾股定理得DE =

245

∴CD DE ==

2485 答：CD 的长为48

．

（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ∴CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒

，==

∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD ∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO ∴∠CDB ＝∠ADO

设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k ∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90°

∴4490k k k ++=? 得k ＝10° ∴∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100° ∴∠AOC ＝∠AOD ＝100°

则S OAC 扇形=

??=1003605125

2ππ 答：扇形OAC 的面积为125

π 【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE 长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k 法，同时也渗透了“转化”的思想方法．

例4. 半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC ：CA ＝4 ： 3，点P 在半圆AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q .

（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；（2）当点P 运动到半圆AB 的中点时，求CQ 的长；

（3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．

【分析】当点P 与点C 关于AB 对称时，CP 被直径垂直平分，由垂径定理求出CP 的长，再由Rt △ACB ∽Rt △PCQ ，可求得CQ 的长．当点P 在半圆AB 上运动时，虽然P 、Q 点的位置在变，但△PCQ 始终与△ACB 相似，点P 运动到半圆AB 的中点时，∠PCB ＝45°，作BE ⊥PC 于点E ， CP ＝PE ＋EC. 由于CP 与CQ 的比值不变，所以CP 取得最大值时CQ 也最大．

【解】（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° ∴AB ＝5，AC ：CA ＝4：3 ∴BC ＝4，AC ＝3

S Rt △ACB ＝

12AC ·BC ＝1

2AB ·CD ∴1224

,.55

CD PC ==

∵ 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中， ∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∠CAB ＝∠CPQ

∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ ∴

AC BC

PC CQ

= ∴ 5

34=

=?=

PC AC PC BC CQ （2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）．

∵P 是弧AB 的中点，

又∠CPB ＝∠CAB ∴∠CPB ＝ tan ∠CAB ＝

∴ 332

tan 42

BE PE BE CPB =

==∠

从而72

PC PE EC =+=

由（1）得，41423CQ PC =

（3）点P 在弧AB 上运动时，恒有PC AC PC BC CQ 3

=?= 故PC 最大时，CQ 取到最大值．

当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为

【说明】本题从点P 在半圆AB 上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ 的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解题的关键．

例5. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；

（2）当OA ＝3时，求AP 的长．

【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：①圆的切线的性质；②等腰三角形的性质；③四边形内角和定理；④垂径定理；⑤锐角三角函数等．

【解】（1）?∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°，

∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°，∵PA 、PB 是⊙O 的切线，? ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴∠AOB+∠APB=180° ∴∠APB=60°

（2）如图，作OD ⊥AB 交AB 于点D ，? ∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴AD ＝

AB ， ∵在Rt △AOD 中，OA ＝3，∠OAD ＝30°， ∴AD ＝OA·cos30°＝33

，AP ＝AB ＝33

例6. 如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，?它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB ＝12cm ，高BC ＝8cm ，求这个零件的表面积．（结果保留根号）

【解】这个零件的底面积＝π×（

122

）2＝36πcm 2

? ?

这个零件的外侧面积＝12π×8＝96πcm 2

圆锥母线长OC ＝2

128(

+＝10cm 这个零件的内侧面积＝

×12π×10＝60πcm 2

，? ∴这个零件的表面积为：36π＋96π＋60π＝192πcm 2

例7. 如图，O 是圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD ，?沿母线AB 剖开，得剖面矩形ABCD ，AD ＝24cm ，AB ＝25cm ，若AmD 的长为底面周长的

，如图所示：

（1）求⊙O 的半径；

（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留根号）

【解】（1）连结OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，

易知∠AOD ＝120°，AE ＝12cm ，可得AO ＝r ＝

sin 60AE

＝83cm

（2）圆柱形木块的表面积＝2S 圆＋S 圆柱侧＝（384π＋4003π）cm

例8. 在图1和图2中，已知OA ＝OB ，AB ＝24，⊙O 的直径为10. （1）如图1，AB 与⊙O 相切于点C ，试求OA 的值；

（2）如图2，若AB 与⊙O 相交于D 、E 两点，且D 、E 均为AB 的三等分点，试求tanA 的值．

（1）【解】连结OC ，∵AB 与⊙O 相切于C 点， ∴∠OCA ＝90°，∵OA ＝OB ，∴AC ＝BC ＝12 在Rt?△ACO 中，OA ＝

2222125AC OC +=+＝13

（2）作OF ⊥AB 于点F ，连结OD ，∴DF ＝EF ；AF ＝AD ＋DF ＝8＋4＝12，在Rt?△ODF 中，OF 222254OD DF --3，在Rt △AOF 中，tanA ＝

124

OF AF ==

例9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB?于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM＝BC·BN；

（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．

（1）【证明】连接MN则∠BMN＝90°＝∠ACB，?

∴△ACB∽△NMB，∴BC AB

BM BN

，∴AB·BM＝BC·BN

（2）【解】连接OM，则∠OMC＝90°，

∵N为OC?中点，?∴MN＝ON＝OM，∴∠MON＝60°，

∵OM＝OB，∴∠B＝1

∠MON＝30°．

∵∠ACB＝90°，∴AB＝2AC＝2×3＝6

例10.已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝1

，∠CAD＝30°．

（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．

（1）【证明】如图，连结OA，因为sinB＝1

，

所以∠B＝30°，故∠O＝60°，又OA＝OC，?

所以△ACO是等边三角形，

故∠OAC＝60°，因为∠CAD＝30°，

所以∠OAD＝90°，所以AD?是⊙O的切线

（2）【解】因为OD⊥AB，所以OC垂直平分AB，则AC＝BC＝5，

所以OA＝5，?在△OAD中，∠OAD＝90°，

由正切定义，有tan∠AOD＝AD

，所以AD＝53

一、填空题

1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是_______cm，扇形的面积是________cm

2．

2. 如图，两个同心圆中，大圆的半径OA＝4cm，∠AOB＝∠BOC

＝60°，则图中阴影部分的面积是______cm2．3. 圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是_______cm2．

4. 如图，⊙O的半径为4cm，直线l⊥

OA，?垂足为O，?

则直线l沿射线OA?方向平移_____cm时与⊙O相切．

5. 两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是______．

6. 如图，从一块直径为a＋b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是_____．

7. 如图，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC?交半圆O于点D

，已知CD＝1，AD＝3，那

么cos∠CAB＝________．

课后练习

8. 如图，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O?的切线A D，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，

已知BC＝10，AD＝4，那么直线CE与以点O为圆心，5

为半径的圆的位置关系是______．

二、选择题

1. 在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，则r与R之间的关系是（）

A. R＝2r

B. R＝r

C. R＝3r

D. R＝4r

2. 圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（）

A. 60πcm2

B. 45πcm2

C. 30πcm2

D. 15πcm2

3. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，?则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）

A. 1：2

B. 2：1

C. 1：4

D. 4：1

4. 将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（）

A. 815cm

B. 817cm

C. 163cm

D. 16cm

5. 如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，?OA＝3，OC＝1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（）

A. 1

π B. π C. 2π D. 4π

6. 如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm?的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，若使容器中的水面与圆桶相接触，?则容器中水的深度至少应为（）

A. 10cm

B. 20cm

C. 30cm

D. 35cm

7. 生活处处皆学问，如图，眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（）

A. 外离

B. 外切

C. 内含

D. 内切

8. ⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与⊙O的位置关系是（）

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 无法确定

9. 如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于（）

A. 15°

B. 20°

C. 25°

D. 30°

10. 已知圆A和圆B相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，? 则圆B的半径是（）

A. 5cm

B. 11cm

C. 3cm

D. 5cm或11cm

11. 如图PB为⊙O的切线，B为切点，连结PO交⊙O于点A，PA＝?2，PO＝5，则PB的长度为（）

A. 4

B. 10

C. 26

D. 43

12. 如图，AB与⊙O切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（）

A. 45cm

B. 25cm

C. 213cm

D. 13m

三、解答题

1. 如图，已知正三角形ABC的边长为2a．

（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．

（2）根据计算结果，要求圆环的面积，?只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；

（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，?你能得出怎样的结论？

（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．

2. 如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2. 过A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动．

（1）当点P在⊙A上时，请你直接写出它的坐标；

（2）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．

3. 如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=o

，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．

（1）求PA 的长；

（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；

（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．

4. 已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 弧的中点．

（1）若⊙O ′与⊙O 外切于点P （见图甲），AP 、BP 的延长线分别交⊙O ′于点C 、D ，连接CD ，则△PCD 是三角形；

（2）若⊙O ′与⊙O 相交于点P 、Q （见图乙），连接AQ 、BQ 并延长分别交⊙O ′于点E 、F ，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF 的形状，并证明你的结论；

问题二：判断线段AE 与BF 的关系，并证明你的结论．

我选择问题，结论： .

5. 从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm，如图甲。用尺量出整卷卫生纸的半径（R ）与纸筒内芯的半径（r ），分别为5.8cm 和2.3cm ，如图乙。那么该两层卫生纸的厚度为多少cm ？（π取3.14，结果精确到0.001cm ）

6. 设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动

．．，点A、O间距离为D．

（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间的关系，将⊙O与正方形的公共点的个数填入下表：

d、a、r之间的关系公共点的个数

d＞a＋r

d＝a＋r

a－r＜d＜a＋r

d＝a－r

d＜a－r

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有个；

（2）如图②，当r＝a

d、a、r之间的关系公共点的个数

d＞a＋r

d＝a＋r

a≤d＜a＋r

d＜a

所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有个；

（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝5

a；

（4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，

⊙O与正方形的公共点的个数可能有个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点的个数”的正确结论．

一、填空题

1. 4 3

π，

π 2.

π 3. 60π

4. 4

5. 两圆相交

8. 相离

二、选择题

1. C

2. D

3. C

4. A

5. C

6. D

7. A

8. A

9. B 10. D 11. A 12. B

三、解答题

1. 解．（1）S圆环＝πa2

（2）弦AB或BC或AC

（3）圆环的面积均为π·（

边长

）2.

（4）S圆环＝πa2

2. 解：⑴点P的坐标是（2，3）或（6，3）

⑵作AC⊥OP，C为垂足

∵∠ACP＝∠OBP＝90o，∠1＝∠1

∴△ACP∽△OBP

∴

AC AP

OB OP

在OBP

Rt?中，

练习答案

22153OP OB BP =+=，又AP ＝12－4＝8， ∴

3153

AC = ∴AC ＝24153÷≈1.94 ∵1.94<2

∴OP 与⊙A 相交．

3. 解：（1）Q 在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==o

，，

210AC BC ∴==．

AE BC Q ∥，APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==．

:3:4PA AC ∴=，31015

PA ?==．（2）BE 与⊙A 相切．

Q 在Rt ABE △中，53AB =，15AE =，

tan 353

AE ABE AB ∴∠=

==，60ABE ∴∠=o ．又30PAB ∠=o

Q ，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=o

，

， BE ∴与⊙A 相切．

（3）因为553AD AB ==，，所以r 的变化范围为553r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，R ＋r ＝10，所以R 的变化范围为10535R -<<；当 ⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R 的变化范围为151053R <<+．

4. 证明：（1）等腰直角

（2）问题一：△PEF 是等腰直角三角形

证明：连接PA 、PB

∵AB 是直径，∴∠AQB ＝∠EQF ＝90° ∴EF 是⊙O ′的直径，∴∠EPF ＝90° 在△APE 和△BPF 中：∵PA ＝PB ，∠PBF ＝∠PAE

∠APE ＝∠BPF ＝90°＋∠EPB ，∴△APE ≌△BPF ∴PE ＝PF ，∴△PEF 是等腰直角三角形问题二：参照问题一

5. 解：设该两层卫生纸的厚度为xcm

则：11×11.4×x ×300＝π（5.82－2.32

）×11 x ≈0.026

答：该两层卫生纸的厚度约为0.026cm ． 6. （1）解：

所以，当r ＜a 时，⊙O

与正方形的公共点的个数可能有0

、1、2个；（2）

所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数的可能有0、1、2、4个；（3）方法一：如图所示，连结OC ．

则OE ＝OC ＝r ，OF ＝EF －OE ＝2a －r ．

在Rt △OCF 中，由勾股定理得：OF 2＋FC 2＝OC 2

即（2a －r ）2＋a 2＝r 2

4a 2－4ar ＋r 2＋a 2＝r 2 5a 2

＝4ar 5a ＝4r ∴r ＝

A ．方法二：如图，连结BD 、OE 、BE 、DE ．

∵四边形BCMN 为正方形 ∴∠C ＝∠M ＝∠N ＝90°

∴BD 为⊙O 的直径，∠BED ＝90° ∴∠BEN ＋∠DEM ＝90° ∵∠BEN ＋∠EBN ＝90° ∴∠DEM ＝∠EBN ∴△BNE ∽△EMD

d 、a 、r 之间的关系公共点的个数 D ＞a ＋r 0 d ＝a ＋r 1 a －r ＜d ＜a ＋r 2 D ＝a －r 1 D ＜a －r

d 、a 、r 之间的关系公共点的个数 d ＞a ＋r 0 d ＝a ＋r 1 a ≤d ＜a ＋r 2 d ＜a

∴

BN EM

NE MD

∴DM ＝1

由OE 是梯形BDMN 的中位线

得OE ＝12（BN ＋MD ）＝5

A ．

（4）①当a ＜r ＜54

a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；

②当r ＝54

a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2、5、8个； ③当524

a r a <<时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2、3、4、6、8个； ④当2r a =时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2、3、4个； ⑤当2r a >时，⊙O 与正方形的公共的点个数可能有0、1、2、3、4个．

中考数学专题训练圆专题复习

——圆 ◆知识讲解一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。在等圆中，弦心距相等的弦相等。三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。（2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d

中考数学专题复习圆的综合的综合题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

2015中考数学分类汇编圆综合题学生版

2015中考数学真题分类汇编圆综合题一．解答题（共30小题） 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．（2015?枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD?2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．（2015?西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM， AM．（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．（2015?广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6．（2015?北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 7．（2015?莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O 在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．

2019年中考数学圆专题复习试卷含详解

2018-2019学年初三数学专题复习圆一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（）

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

深圳中考数学专题--圆

2017届深圳中考数学专题——圆一．解答题（共30小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD?2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．

4．如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O 于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

6.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 8．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 9．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）（A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是（）（A ）100π平方厘米（B ）200π平方厘米（C ）500π平方厘米（D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（）（A ）2 25寸（B ）13寸（C ）25寸（D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（）（A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A ）2厘米（B ）22厘米（C ）4厘米（D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A ）7厘米（B ）16厘米（C ）21厘米（D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）

中考数学圆综合题汇编

25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线；（2）若AC=3，求PD 的长。 D C B A O C B

3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。（1）求证：AB=AC ；（2）若EF=4，2 3 tan F ，求DE 的长。 M N E D C B A O

5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A

中考数学圆专题练习

中考数学圆专题练习-- 一、选择题 1.（2010年湖里区二次适应性考试）已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（） A ．1 cm B ．3 cm C ．10 cm D ．15 cm 答案：C 2.（2010年教育联合体）如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论正确的个数是（） ①AD ⊥BC ，②∠EDA ＝∠B ，③OA ＝ 1 2AC ，④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D 3.（2010安徽省模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE=2,则 ⊙O 中阴影部分的面积是（） A ．433π- B ．2 3π C ．2 23 π- D ．1 3 π 答案：A 4.（2010年重庆市綦江中学模拟1）.在直角坐标系中，⊙A 、⊙B 的位置如图所示.下列四个点中，在⊙A 外部且在⊙B 内部的是（） A.（1，2） B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1) 答案C 5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm 的圆形纸片第4题图 O D B C E A 第3题 A O B C D E

折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（） A ．2cm B ．3cm C ．32cm D ．52cm 答案C 6.（2010年广州市中考六模）、如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（） A. 2 9cm π B. 2 18cm π C. 2 27cm π D. 2 36cm π 答案：B 7.（2010年广州市中考六模）如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于（） A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 答案：C 8.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝ 12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（）． A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米答案：A 9.（2010年广西桂林适应训练）如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30o ，则∠A 的度数为（）．[来 A.30o B.45o C.60o D.75o 答案：C 10.（2010山东新泰）已知⊙O 1的半径为5cm ，⊙O 2的半径为3cm ，圆心距O 1O 2＝2，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切答案：D 11.（2010年济宁师专附中一模）如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路 7题图 8题图 9题图

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ，又∵OA=BC=OD=4，

∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90°

中考数学专题：圆.(学生版)

中考数学试题专题复习：圆【学生版】一、选择题 1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 A 、相交 B 、外切 C 、外离 D 、内含 3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 A 、30° B 、60° C 、45° D 、50° 4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1， AB=AC=AD=2．则BD 的长为 A. 14 B. 15 C. 32 D. 23 5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点, 则线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BOD=110°， AC∥OD，则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 17．填空题 1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。

“中考数学专题复习圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】

【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】四．“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备

3 六．“隐圆”典型例题【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离），此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案一、圆的综合 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，?? BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵?? BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ；（3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32

中考数学培优专题复习圆的综合练习题附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ，又∵OA=BC=OD=4，

∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积．【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ，

中考数学圆综合题(含答案)

一.圆地概念集合形式地概念：1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合； 2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合； 3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合轨迹形式地概念： 1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆；（补充）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）； 3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线； 4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线； 5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线. 二.点与圆地位置关系 1.点在圆内?d r?点A在圆外；三.直线与圆地位置关系 1.直线与圆相离?d r>?无交点； 2.直线与圆相切?d r=?有一个交点； 3.直线与圆相交?d r+； A

外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-；内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；图1 五.垂径定理垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧. 推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧；（2）弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧；（3）平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等. 即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六.圆心角定理图2 图4 图5 B D

2021中考数学专题训练——圆 (解析版)

2021中考数学专题训练——圆考点一圆的有关概念及性质 1.(2018衢州,10,3分)如图,AC 是☉O 的直径,弦BD ⊥AO 于E,连接BC,过点O 作OF ⊥BC 于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF 的长度是?( ) A.3 cm B.6cm C. 2.5cm D.5cm 答案 D ∵AC ⊥BD,∴BE=DE=2 1BD=4 cm. 设☉O 的半径为r cm. 连接OB,则在Rt △BOE 中,r 2=42+(r-2)2,解得r=5. ∴CE=8 cm.∴BC=54 cm. 又∵OF ⊥BC,∴CF=2 1BC=52 cm, ∵OC=5 cm,∴OF=5 cm.故选D. 2.(2016杭州,8,3分)如图,已知AC 是☉O 的直径,点B 在圆周上(不与A,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交☉O 于点E.若∠AOB=3∠ADB,则?( ) A.DE=EB B.?DE=2EB C.3DE=DO D.DE=OB 答案 D 连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB, ∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB, ∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC, ∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB.故选D. 3. (2019台州,14,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为_______ . 答案 52° 解析由题意得∠D=180°-∠ABC=116°, ∵点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上, ∴∠D=∠AEC=116°, ∴∠BAE=116°-64°=52°. ? 4.(2018杭州,14,4分)如图,AB 是☉O 的直径,点C 是半径OA 的中点,过点C 作DE ⊥AB,交☉O

中考数学圆综合练习题含答案

数学中考圆综合题附参考答案 1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC = 32，tan ∠AEC =3 5 ，求圆的直径． 2. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 1. (1)证明：连接OC, ∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线． (2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD

中考初三数学专题隐形圆

中考初三数学专题隐形圆辅助圆模型一：“隐形圆”解点的存在性模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上. 1. 如图，已知线段AB. （1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P；（2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P；（3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P. 2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P. 3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________. . 模型二：“隐形圆”解角的最值模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠ B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.

4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由. 5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点. （1）使∠APB＝30°的点P有________个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由. 模型三：“隐形圆”解线段的最值模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）：第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）；第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r（即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）；第三种：当点D在⊙O内时，d

2020中考数学专题练习：圆的综合题(含答案)

2020中考数学专题练习：圆的综合题（含答案）类型一与全等结合 1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝ 2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数； (2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图 (1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝1 2 AB ＝2，

∴AC ＝OA ＝OC ， ∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°， ∴∠APC ＝1 2∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°， ∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图 (2)证明：如解图，连接PB ，OP ， ∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，

∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径， ∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CPA 中， ? ????AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)． 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ； (3)若sin B ＝4 5 ，求cos ∠BDM 的值．第2题图 (1)证明：如解图，连接OD ，