课后网专题六——平抛运动和类平抛运动的处理

课后网 专题六：平抛运动和类平抛运动的处理

考点梳理 一、平抛运动

1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．

2．性质：加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．

3．基本规律：以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：

(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t . (2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝12

gt 2

.

(3)合速度：v ＝v 2

x ＋v 2

y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝gt

v 0

. (4)合位移：s ＝x 2

＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt

2v 0

.

1．[平抛运动的规律和特点]对平抛运动，下列说法正确的是 ( )

A ．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动

B ．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的

C ．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动

D ．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关

解析 平抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度，故A 项正确；做平抛运动的物体，在任何相等的时间内，其竖直方向位移增量Δy ＝gt 2

，水平方向位移不变，故B 项错误．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，且落地时间t ＝ 2h g

，落地速度为v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 2

0＋2gh ，所以C 项正确，D 项错误．

2、[利用分解思想处理平抛运动]质点从同一高度水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是

( )

A ．质量越大，水平位移越大

B ．初速度越大，落地时竖直方向速度越大

C ．初速度越大，空中运动时间越长

D ．初速度越大，落地速度越大

解析 物体做平抛运动时，h ＝12gt 2

，x ＝v 0t ，

则t ＝

2h

g ，所以x ＝v 0

2h

g

，故A 、C 错误．

由v y ＝gt ＝2gh ，故B 错误． 由v ＝v 2

0＋v 2

y ＝v 2

0＋2gh ， 则v 0越大，落地速度越大，故D 正确． 考点一 平抛运动基本规律的理解 1．飞行时间：由t ＝

2h

g

知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关． 2．水平射程：x ＝v 0t ＝v 0 2h

g

，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他

因素无关．

3．落地速度：v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 2

0＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan

θ＝v y v x ＝2gh v 0

，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关．

4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以 做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图4所示． 5．两个重要推论

(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一 图4 定通过此时水平位移的中点，如图5中A 点和B 点所示．

图5

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.

3、[用分解思想处理平抛运动问题]某同学前后两次从同一位置水平投出飞镖1和飞镖2到靶盘上，飞镖落到靶盘上的位置如图所示，忽略空气阻力，则两支飞镖在飞行过程中

( )

A ．加速度a 1>a 2

B ．飞行时间t 1

C ．初速度v 1＝v 2

D ．角度θ1>θ2

答案 BD

4、如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个 可视为质点的小球，经t ＝ s 小球落到半圆上，已知当地的重力 加速度g ＝10 m/s 2

，则小球的初速度v 0可能为 ( ) A ．1 m/s B ．2 m/s

C ．3 m/s

D ．4 m/s

解析 由于小球经 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2

＝0.8 m ，位置可能有两处，如图

所示．

第一种可能：小球落在半圆左侧，

v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s

第二种可能：小球落在半圆右侧，

v 0t ＝R ＋R 2－h 2，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确．

答案 AD

5、如图8所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从

O 点水平飞出，经过3 s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡

的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg. 不计空气阻力(sin 37°＝，cos 37°＝；g 取10 m/s 2

)．求： (1)A 点与O 点的距离L ；

图8

(2)运动员离开O 点时的速度大小；

(3)运动员从O 点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间．

解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有 L sin 37°＝12gt 2，L ＝gt

2

2sin 37°

＝75 m.

(2)设运动员离开O 点时的速度为v 0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有

L cos 37°＝v 0t ，

即v 0＝

L cos 37°

t

＝20 m/s. (3)解法一 运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v 0cos 37°、加速度为g sin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v 0sin 37°、加速度为

g cos 37°)．

当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡距离最远，有

v 0sin 37°＝g cos 37°·t ，解得t ＝ s

解法二 当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员与斜坡距离最远，有gt

v 0

＝tan 37°，t ＝ s.

答案(1)75 m (2)20 m/s (3) s

常见平抛运动模型的运动时间的计算方法

1．在水平地面上空h 处平抛： 由h ＝12

gt 2

知t ＝

2h

g

，即t 由高度h 决定．

2．在半圆内的平抛运动(如图9)，由半径和几何关系制约时间t ： 图9

h ＝12

gt 2 R ＋R 2－h 2＝v 0t

联立两方程可求t .

3．斜面上的平抛问题(如图10)： (1)顺着斜面平抛 方法：分解位移

x ＝v 0t 图10 y ＝12

gt 2

tan θ＝y x

可求得t ＝2v 0tan θ

g

(2)对着斜面平抛(如图11) 方法：分解速度

v x ＝v 0

v y ＝gt 图11

tan θ＝v y v 0＝gt

v 0

可求得t ＝

v 0tan θ

g

4．对着竖直墙壁平抛(如图12)

水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同．

t ＝d v 0

图12

6、如图所示是倾角为45°的斜坡，在斜坡底端P 点正上方某一位置Q 处以速度v 0水平向左抛出一个小球A ，小球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为t 1，小球B 从同一点Q 处自由下落，下落至P 点的时间为t 2，不计空气阻力，则t 1∶t 2＝ ( ) A ．1∶2 B ．1∶ 2 C ．1∶3

D ．1∶3

答案 D

7、 如图14所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外马路宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v 的大小范围．(g 取10 m/s 2

)

解析 若v 太大，小球落在马路外边，因此，要使球落在马路上，v 的最大值v max 为球落在马路最右侧A 点时的平抛初速度，如图所示，小球做平抛运动，设运动时间为t 1. 则小球的水平位移：L ＋x ＝v max t 1，小球的竖直位移：H ＝12gt 2

1

解以上两式得 v max ＝(L ＋x )

g

2H

＝13 m/s. 若v 太小，小球被墙挡住，因此，球不能落在马路上，v 的最小值v min 为球恰好越过围墙的最高点P 落在马路上B 点时的平抛初速度，设小球运动到P 点所需时间为t 2，则此过程中小球的水平位移：L ＝v min t 2 小球的竖直方向位移：H －h ＝12gt 2

2

解以上两式得v min ＝L

g

2H －h

＝5 m/s

因此v0的范围是v min≤v≤v max，即5 m/s≤v≤13 m/s.答案 5 m/s≤v≤13 m/s

【考点二】类平抛问题模型的分析方法 1．类平抛运动的受力特点

物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．类平抛运动的运动特点

在初速度v 0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a ＝

F 合

m

. 3．类平抛运动的求解方法

(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．

(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a 分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向列方程求解． 8、 质量为m 的飞机以水平初速度v 0飞离跑道后逐渐上升，若飞机 在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升 力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)．今测得当飞机在水平

方向的位移为l 时，它的上升高度为h ，如图16所示，求： 图16 (1)飞机受到的升力大小； (2)上升至h 高度时飞机的速度．

解析 (1)飞机水平方向速度不变，则有l ＝v 0t 竖直方向上飞机加速度恒定，则有h ＝12at 2

解以上两式得

a ＝2h l 2v 20，故根据牛顿第二定律得飞机受到的升力F 为

F ＝mg ＋ma ＝mg (1＋2h gl

2v 2

0)

(2)由题意将此运动分解为水平方向速度为v 0的匀速直线运动，l ＝v 0t ；竖直方向初速度为0、加速度a ＝2h l

2v 2

0的匀加速直线运动．

上升到h 高度其竖直速度

v y ＝2ah ＝ 2·

2hv

2

0l

2

·h ＝

2hv 0

l

所以上升至h 高度时其速度v ＝v 20＋v 2

y ＝

v 0l

l 2

＋4h 2 如图所示，tan θ＝v y v 0

＝2h l

，方向与v 0成θ角，θ＝arctan 2h

l

.

答案 (1)mg (1＋

2h

gl 2v 20

) (2)v 0l l 2＋4h 2，方向与v 0成θ角，θ＝arctan 2h

l

9、如图所示的光滑斜面长为l ，宽为b ，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P 水平射入，恰好从底端Q 点离开斜面，试求：

(1)物块由P 运动到Q 所用的时间t ；

(2)物块由P 点水平射入时的初速度v 0； (3)物块离开Q 点时速度的大小v .

解析 (1)沿水平方向有b ＝v 0t 沿斜面向下的方向有

mg sin θ＝ma l ＝12

at 2

联立解得t ＝

2l

g sin θ

.

(2)v 0＝b t ＝b

g sin θ

2l

. (3)物块离开Q 点时的速度大小

v ＝v 20＋at

2

＝

b 2＋4l 2g sin θ

2l

.

10．(2012·课标全国·15)如图，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( ) A ．a 的飞行时间比b 的长 B ．b 和c 的飞行时间相同

C ．a 的水平初速度比b 的小

D ．b 的水平初速度比c 的大

解析 根据平抛运动的规律h ＝12

gt 2

，得t ＝

2h

g

，因此平抛运动的时间只由高度决定，因

为h b ＝h c >h a ，所以b 与c 的飞行时间相同，大于a 的飞行时间，因此选项A 错误，选项B 正确；又因为x a >x b ，而t a v c ，即b 的水平初速度比c 的大，选项D 正确．

11．(2012·江苏·6)如图19所示，相距l 的两小球A 、B 位于同一高度h (l 、h 均为定值)．将

A 向

B 水平抛出的同时，B 自由下落．A 、B 与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度

大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则( )

A ．A 、

B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 的初速度 B ．A 、B 在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰

C ．A 、B 不可能运动到最高处相碰

D ．A 、B 一定能相碰

解析 由题意知A 做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动；B 为自由落体运动，A 、B 竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t 1相同，且t 1＝

2h

g

，若第一次落地前相碰，只要满足A 运动时间t ＝l v l t 1

，所以选项A 正确；

因为A 、B 在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且A 与地面相碰后水平速度不变，所以A 一定会经过B 所在的竖直线与B 相碰．碰撞位置由A 的初速度决定，故选项B 、C 错误，选项D 正确．

12．《愤怒的小鸟》是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图9甲所示，

为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒．某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图乙所示，若h 1＝0.8 m ，l 1＝2 m ，h 2＝2.4 m ，l 2＝1 m ，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明．(取重力加速度g ＝10 m/s 2

)

答案 不能

解析 (1)设小鸟以v 0弹出后能直接击中堡垒，则 ???

??

h 1＋h 2＝12gt 2

l 1＋l 2＝v 0t

t ＝

2

h 1＋h 2

g ＝ 2×＋

10

s ＝ s 所以v 0＝

l 1＋l 2

t

＝错误! m/s ＝3.75 m/s 设在台面的草地上的水平射程为x ，则

?

????

x ＝v 0t 1h 1＝12gt 21

所以x ＝v 0

2h 1

g

＝1.5 m

可见小鸟不能直接击中堡垒．