数学—极限练习题及详细答案

一、选择题

1.若0

()

lim

1sin x x x

φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。

A.sin ||x

B.ln(1)x -

C.

1

1.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()

lim 1tan sin x f x x x

→=-则'''f (0)=（ ）

A.5

B.3

C.1

D.0 2.

【

答

案

】

B.

解

析

由

洛

必达

法

则

可

得

300

02()

'()

''()

lim

lim

lim

1

tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x

x x -→→→==-+-42200''()''()

lim lim 16cos sin 2cos cos 21

x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3x

B.3

4

x C.3

2

x

D.x

3.【答案】A.解析

.1

2

2

33

31233

2000311(1)1133lim lim (1)3313

x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n

n x

x x π→∞=+的间断点有（ ）个

A.4

B.3

C.2

D.1

4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故

20.5sin 12lim

1(2(0.5))2n x π

→--

=-

+?-， 20.5sin

12lim

1(20.5)2n x π

→=

+?，故，有两个跳跃间断点，选C 。 5.已知()bx x

f x a e

=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）

A.a>0，b>0

B.a ≤0，b>0

C.a ≤0，b<0

D.a>0，b<0

5.【答案】B 。解析：0

lim ()lim 0,0b

bx

bx x x a e b x f x a a e be ∞→∞→∞?-=∞>??==???≤--=∞???

。 6.

关于曲线y x = ） A.只有水平渐近线，没有斜渐近线 B.既没有水平渐近线，也没有斜渐近线 C.只有斜渐近线，没有水平渐近线

D.既有水平渐近线，又有斜渐近线

6.【答案】C 。解析：由题意可知，无水平渐近线

；

()lim 2,lim[()]lim[2]

11

],222x x x x x x f x a b f x ax x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞====-====-=-。 7.若f(x)在x=a 处为二阶可导函数，则'20()()()

lim h f a h f a hf a h

→+--=( ) A.f"(a)/2

B.f"(a)

C.2f"(a)

D.-f"(a)

7.【答案】A 。解析：'''''200()()()()()()

lim lim 22

h h f a h f a hf a f a h f a f a h h →→+--+-==。 8.设()232x

x

f x =+-，则当x 趋近于0时，有（ ） A.f （x ）是x 的等价无穷小

B.f （x ）与x 同阶但非等价无穷小

C.f （x ）是比x 高阶的无穷小

D.f （x ）是比x 高阶的无穷小

8.【答案】B 。解析：0232

()232,lim

ln 2ln 3x x x

x

x f x x

→+-=+-=+，所以()232x x f x =+-与x 是同阶但非等价的无穷小。

9.2222

3

n n n a n ++=-，则lim n n a →∞的值为（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

9.【答案】A 。解析：2222414

lim

lim lim 23

22n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===-。 10.已知函数2

37

()23

x f x x x +=

--的间断点（ ）

A.X=7

B.X=-

73

C.X=-1或X=3

D.X=1或X=-3

10.【答案】C 。解析：2

37()23

x f x x x +=--，2

230,3,1x x x --==-，所以3，-1是函数的间断点。

11.设当x (0,)∈+∞时1

f ()sin x x x

=则在（0，+∞）内（ ） A.f ()x 与'

f ()x 都无界 B.f ()x 有界，'

f ()x 无界 C.f ()x 与'f ()x 都有界

D.f ()x 无界，'f ()x 有界

11.【答案】B.解析0

1lim ()lim sin

0x x f x x x →→==，01

lim ()lim sin 0x x f x x x

→∞→==故f(x)有界，

111'()sin cos f x x x x

=-，0

lim '()x f x →=∞，无界，选B. 12.在区间[0.1]上，函数n

f ()(1)x nx x =-的最大值记为M （n ）,则lim ()n M n →∞

的值为（ ） A.1e -

B.e

C.2e

D.3e

12.【答案】A.解析.2

1

1'()(1)(1)(1)(1)n

n n f x n x xn x n x x nx --=---=---所以f(x)的驻点

有两个,分别是x=1和11x n =

+,且11x n =+是极大值点又因为是闭区间[0,1],所以1

1

x n =+也是最大值点，所以(1)(1)

11()()()(1)111

n n n M n f n n n ++===-+++所以当n →∞时. (1)(1)11

lim ()lim()lim(1)11n n n n n n M n n n e

++→∞→∞→∞==-=++所以极限为1/e 。选A 。 13. ( )

A.

B.0

C.1

D.

13.【答案】D 。解析：由，故选D 。 14.计算：（ ）. A. B. C.

D. 14.【答案】B

2+1

lim [123...]x n n →∞++++=∞12

()

22+1112lim [123...]lim 2

x x n n n n n →∞→∞+++++==33

2321

lim 752

x x x x x →∞+-=-+1237322

5

15.已知=2，其中a.b ,则a-b 的值为（ ） A.6

B.-6

C.2

D.-2

15.【答案】C.解析：由=2可得

,所以

16.设f(x)=sinx/x ，则x=0是函数f(x)的（ ） A ．连续点

B.跳跃间断点

C.第二类间断点

D.可去间断点

16.【答案】D 。解析：

，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。

17.设，则x=0是函数f(x)的（ ）. A.可去间断点

B.无穷间断点

C.连续点

D.跳跃间断点

17．【答案】D

18.设函数f (x )在x =0处连续，且220)(lim n

n f n →=2，则（ ） A.f (0)=1且f ˊ(0)=2 B. f (0)=0且f ˊ(0)=2 C. f (0)=1且f +ˊ(0)=2

D. f (0)=0且f +ˊ(0)=2

18.【答案】B ．【解析】2'2'200()2()

lim lim (0)2,(0)02n n f n nf n f f n n

→→====，答案选B 。 19.设函数f （x ）=x 2

+t ，且2

lim ()1x f x →=，则t=（ ）

A.-3

B.-1

C.1

D.3

19.【答案】A ．【解析】2

lim ()1,(2)1,(2)41,3x f x f f t t →===+==-。

20.计算极限：0

lim →x (l+ 2x)x 1

，正确的结果为( )。

A ．0

B.1

C.e

D.e 2

20.【答案】D.解析：2

2

210

])21[(lim e x x x =+→.故选择D. 21．x=O 为函数f(x)=sinx.sin x

1

的（ ） A.可去间断点

B ．跳跃间断点

C.无穷间断点

D.振荡间断点

???

?

??--+∞→b ax x x x 12lim 2R ∈22222lim lim 11x x x x ax ax bx b

ax b x x →∞→∞??------= ?++??

2,2a a b =--=0, 2.b a b =-=0sin lim

1x x

x

→=0()0 0x f x x ≠=?=?

21.【答案】A.解析：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即01

sin

sin lim 0

=?→x

x x . 但是x=0是函数没有定义.因此x=0为函数f(x)=sinx.sin

x

1

的可去间断点. 22.设函数f （x ）=

1

x 21-e asinx

x 0

x =≠在x=0处连续，则常数a 的值为( )。 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

22.【答案】B.解析：由题设可知1x 21

-e lim asinx 0=→x .当0→x 时，有0sin →x a ，则

12sin sin 1lim sin 0=?-→x

x

a x a e x a x ，即满足12=a ，所以2=a .故选择B. 23.已知f （x ）=1

2

sin x e o

t dt -?

，g （x ）=33x +4

4

x ，则当x →0时，f （x ）是g （x ）的（ ）

A.高阶无穷小

B.低阶无穷小

C.等价无穷小

D.同阶但非等价无穷小

23.【答案】C 。解析：

()()()()()

000'lim 0,lim lim 'x x x f x f x f x g x g x →→→=∴=，()()2

'sin 1x x f x e e =-， ()2

223

230

0sin 1lim

lim 1x x

x

x x e e x e x x x x

→→-==++，()f x ∴是g(x)的等价无穷小。 24.如果222lim 2

x x ax b

x x →++--=2，则ab 的值为（ ）

A ．2

B ．-4

C ．8

D ．-16

24.【答案】D 。解析：222lim 2

x x ax b

x x →++--= 2

2lim (2)(1)x x ax b x x →++-+因为x 趋向于2，所以要消去x-2，

即2x ax b ++可分解为(2)()x x c -+的格式即

2

2lim (2)(1)x x ax b x x →++-+=2lim 21

x x c x →+=+，所以c=4，所以2(2)(4)28x x x x -+=+-，所以a=2，b=-8，所以ab=-16。

25．设f (x )在x =0的某个邻域内连续，f (0)=0，0

2

()lim

12sin

2

x f x x

→=，则f (x )在x =0处（ ）

A ．可导

B ．可导且f '(0)≠0

C ．取得极大值

D ．取得极小值

25.【答案】D 。解析：()f x 在x =0的某个邻域内连续，所以'

()f x 存在，由

''''00002()()()()lim lim lim 1lim 11sin cos 2sin 4sin cos 2222x x x x f x f x f x f x x x x x x →→→→===?=???

得'

''

lim ()0()=10x f x f x →=>且，所以x=0为极小值。

27、关于曲线y=

1

x

的渐近线的正确结论是（ ） A.没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B.x=0为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线

D.只有水平渐近线

27.【答案】C.

28.下列说法正确的是（ ）

A.若f(x)在x=x 0连续，则f(x)在x= x 0可导

B.若f(x)在x=x 0不可导，则f(x)在x=x 0不连续

C.若f(x)在x=x 0不可微，则f(x)在x=x 0极限不存在

D.若f(x)在x=x 0不连续，则f(x)在x=x 0不可导

28.【答案】D.解析：例如函数f(x)=∣x ∣在x=0处连续，但不可导，所以排除A 、B 、C ；函数若f(x)在x=x 0可导，则f(x)在x= x 0连续，根据逆否命题与其等价，可知D 正确。

29.当x→0时，（ ）是无穷小。 A ．

sin x

x

B. 2x -

C.

1x

x

-

D. 1cos x -

29.【答案】D.解析：当0x →时，1cos 0x -→，所以当0x →时，1cos x -是无穷小。 30.极限0

1

lim sin

x x x

→= （ ） A.0

B.1

C.2

D.-1

30.【答案】A.解析：0

1

lim sin

0x x x

→=。 31.下列变量中，无穷小量的是（ ） A.ln 1

x （x →0+

）

B.lnx(x →1)

C .cosx(x →0)

D.

2

2

4

x x --

31.【答案】B.解析：0

1

lim ln x x

+

→=∞所以A 错误；1limln 0x x →=B 正确；0limcos 1x x →=C 错误；

22

2

lim

14

x x x →-=-故D 错误. 32.曲线1

||

y x =

的渐近线情况是（ ）。 A.只有水平渐近线

B.只有垂直渐近线

C.既有水平渐近线又有垂直渐近线

D.既无水平渐近线又无垂直渐近线

32.【答案】C.解析：方法一：画出函数图像可知。方法二：1lim 0x x

→∞

=，01

lim x x →=∞，所以既

有水平渐近线，又有垂直渐近线。

33.设1

1

2--=x x y ，则1=x 为y 的（ ）

A.连续点

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.可去间断点

33.【答案】D 。解析：211

lim 21

x x x →-=-，在1=x 处左右极限存在，但是没有定义，所以是可去

间断点。

二、填空题

1.计算

44

sin tan cos x

xdx dx x

π

π

==?

?_____. 1.【答案】

1

ln 22

。中公教育解析：根据凑微分法：44440

0sin 1

1

tan cos ln cos ln 2cos cos 2

x xdx dx d x x

x

x π

π

π

π==-=-=?

?

?。 2. .

+=2lim 1-1x

x x →∞?? ??

?

2.【答案】4.解析：

3.极限=________.

3.【答案】.解析：.

4.

________. 4.【答案】2。解析：

5. =________. 5.【答案】3.

解析：31

lim ln(3)n n n n

n e

→∞+=，根据洛必达法则，31

lim ln(3)n n n n

e

→∞+=

3

4

5

22

2

3

4

32

63(ln3)3(ln3)3(ln3)33ln363(ln3)lim

lim

lim

lim

lim

ln363(ln3)63(ln3)3(ln3)333ln3

3n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n

e e e

e

e

e →∞→∞→∞→∞

→∞+++++++======。

6.函数f (x )=e 2,0

,0x x k x ?+≠?=?

在x =0处连续，则k =________.

6.【答案】3.【解析】根据连续的定义，0e 23k +==。

7.2lim 1n

n n -→∞

??

+ ???

=________. 7.【答案】2e -。【解析】根据两个重要极限2

2222lim 1lim{1}n n

n n e n n ---→∞

→∞

????

+=+= ? ???

??

。 8.斜渐近线方程________.

8.【答案】2-=x y .

解析：根据题意可假设斜渐近线方程为b kx y +=，则有

++=-12lim 1lim 1-1x

x x x x x x x x →∞→∞?? ???

? ??? ?

??

?

-+e ===e e -21

1lim 11lim 1x

x x x x x →∞→∞

?? ?????

???

1lim 1x

x x →∞

??

- ???

1e 1

1111lim 1lim 1x

x x x x x ---→∞→∞????

??-=-==?? ? ?????????e e 22123

lim 1x x x x →+-=-22123lim 1

x x x x →+-=-213

lim 1=++→x x x n

n n n 3lim 3+∞

→()3

223

x f x x x =+-