三校生高考数学常用公式
数学常用公式
代数
1. 集合，函数
1. 元素与集合的关系
x 三A = x 一C J A, x 三C u A 二X A.
2. 包含关系
A^B-A u A U B=B= A B= C J B C J A
=A DC U B八=C u AUB 二R.
二次函数的解析式的三种形式
⑴一般式f (x) = ax2 bx c(a = 0)；
(2) 顶点式f (x)二a(x - h)2 k(a = 0)；
(3) 零点式f (x) = a(x - ％)(x - x2)(a = 0).
5. 指数式与对数式的互化式
log a N 二b：= a b二N (a 0,a = 1,N - 0).
6. 指数不等式与对数不等式
(1) 当a 1时，
[f(x)>0
a f(x) >a g(x) = f (x) > g(x); log a f (x) Alog a g(x)二*g(x):>0
/(x^g(x)
(2) 当0 :: a ::: 1 时,
[f(x)>0
a f(x)&曲)二f (x) ：： g(x); log a f(x) log a g(x)= g(x) 0
[f(x)￡g(x)
7. 对数的四则运算法则
若a> 0, a M 1, M>0, N> 0，贝U
(1) log a(MN) =log a M log a N ;
M
⑵ log a log a M -log a N ;
N
(3) log a M " = nlog a M (n R).
2. 数列
(1) 数列的同项公式与前 n 项的和的关系
a * 二'， n 1 (数列｛aj 的前 n 项的和为
= a i ■ a^|l ■ a n ).
S n -S nj , n _2
⑵ 等差数列的通项公式 a^ a 1
(n _1)d 二dn a^d( n ? N )；
d 2 1
d n (a 1 d)n .
2 2
(1)解连不等式N ：：： f (x) :： M 常有以下转化形式 N f (x) :: M = [ f (x) 一 M ][ f (x) 一 N ] ：： 0
1 1 j f (x) - N M - N
(2) 常用不等式：
2 2
(1) a,b ?R= a 2 b -2ab (当且仅当a = b 时取“=”号).
a ■ b
(2)
a,b ?R=
- ab (当且仅当a = b 时取“=”号).
其前n 项和公式为S * = “印a n ) ⑶等比数列的通项公式 a
nA a 1
n , — K .
二 q q q (n N q
3. ?(1-q n )
其前n 项的和公式为s n =三1_q ，
q 「或s,
n a“q =1
比差数列订」
a n
芒"1
n d,q = 1
a n 勺=qq ? d, q = b(q = 0)的通项公
b (n - 1)d ,q =1 bq n +(d _b)q nJ1-d q ；
q -1
其前n 项和公式为S * =
nb n(n -1)d,(q =1) d 1
-q n
d
(b_ —)二+—n ，叶1)
不等式
f (x) - N M - f (x)
(3) 极值定理
已知x, y 都是正数，则有 (1)
若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x y
有最小值 2 p ；
1
(2) 若和x y 是定值s ，则当x =.y 时积xy 有最大值—s 2.
4
4. 复数
(1) 复数的相等 a bi = c di ：= a = c,b = d ? ( a,b, c, d ：= R ) (2) 复数 z = a bi 的模(或绝对值)I z | =| a bi |=. a 2 b 2 . (3) 复数的四则运算法则
(1) (a bi) (c di) =(a c) (b d)i ;
(a bi)「(c di) = (a 「c) (b 「d)i ; (a bi )(c di) = (ac - bd) (bc ad)i ;
ac+bd be-ad
(a bi
" 5 —
交换律:Z 1 Z 2 = Z 2 Z 1 . 结合律：(乙 Z 2) Z 3 ^Z l (Z 2 Z 3). 分配律：Z 1 (Z 2 Z 3^Z ! Z 2 Z ! Z 3 . 复平面上的两点间的距离公式
d *1 7 Z (X 2 -xj 2 ? S - yj 2
(乙=X 1 yd ，Z 2 =X 2 y ?i ) ?
5. 排列组合与二项式定理 排列数公式
n 丨
AW)
(
「m1)=R
注:规定0!=1. 组合数公式
组合数的两个性质
(1) c ；=cr ；(2) c ；+c m 4=c m1.注:规定 C O =1.
复数的乘法的运算律，对于任何
Z 1,Z 2,Z 3 C ，有
c m = A ^ _n(n_ 1)…(n_ m *1) c n =
A
m
m
12 m m ! (n 「m)!
(n € N , m N ，且 m_n ).
（6）二项式定理
（a+b）n=c0a n+c n a n」b+C：a n/b2+…十C：a n」b「十…+C；b n;
（7）二项展开式的通项公式
「1 二C；a2b r（r =0,，2 ，n）.
、三角函数
1. 常见三角不等式（1）若x （0,】），贝y sin x ex etanx .
2
⑵若x （0,^），则1 ：： sinx cosx - 2.
同角三角函数的基本关系式
sin2日+ cos26 =1 tan 日=sin日,tan 日cot日=1 ' cos 日
2.
3. 和角与差角公式
sin（用二I ） =sin t cos L；二cos J sin :
cos（二l ） = cos： cos ： +sin ： sin :
tan（、；二l-'）:
1 +tan □ tan P
a sin〉? bcos〉a2 b2 sin（篇几聘）（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决
4. 定,tan 二b）. a
二倍角公式
sin 2二
cos 2： 2 2 2 2
二cos -sin 2cos -1 =1「2sin :-.
5.
2ta n :
1 - tan2：
三角函数的周期公式
tan 2 工
函数y =sin（?x；；'：：「），函数y = cos（?x ：；"：「），周期T
2 二
；
co
函数y二tan（: ,周期T
正弦定理
a b
2R.
si nA si nB si nC
7.余弦定理
2 , 2 2
a b c -2bc cos A;
b 2=
c 2 a 2 -2ca cosB ? 2 2 2
c a b —2abcosC .
8. 面积定理
111 一
(1)
ah a = — bh b = — ch c ( 0、h 、h c 分别表示 a 、b 、c 边上的高)
1 1 1
S absinC bcsin A casin B .
2
2 2
三、向量运算
1.
实数与向量的积的运算律 设入、□为实数，那么
(1) 结合律：入(卩a)=(入口 ) a; (2) 第一分配律：(入+卩)a=入a+卩a;
⑶ 第二分配律： 入(a+b)=入a+入b.
2.
向量的数量积的运算律： (1) a ? b= b ? a (交换律)；
(2) ( ;. a ) ? b= ■■■'- (a ? b ) =.‘. a ? b= a ? ( b ) (3) (a +b ) ? c= a ? c +b ? c. 3.
向量平行的坐标表示 设 a=(x 1, y 1) , b=(x 2, y 2)，且 b = 0，贝V a// b(b = 0) u
x 1 y 2 -x 2y ^0.
4. a 与b 的数量积(或内积) a ? b=| a || b|cos 0 .
5.
平面向量的坐标运算
(1)
设 a =(X 1,yJ ,b=(X 2,y 2)，则 a+b=(X 1 x ?,% y ?).
⑵ 设 a=(x 1,yj ,b=(X 2,y 2)，则 a-b=(为-x ?,% - y ?).
(4)设 a= (x, y)^ - R ，则■ a=( ■ x, ■ y).
⑸ 设 a=(X 1,yJ ,b=(X 2,y 2)，则 a ?匕=&必 y 』2).
6.
两向量的夹角公式
cosT =彳 2竺 + 猪==(a =(X 1,yJ , b= (X 2, y 2)). X 1 y 1 \ X2 y 2
2
2
f ；-(x 2-xj (y 2-yj (A (N,yJ , B (X 2,y 2)).
7. 平面两点间的距离公式
d A,B = | AB F AB AB
(2) ⑶设 A (x 「yj , Bgy),则
8.向量的平行与垂直
设a=(x 「y)匕二区小)，且b=0，则 A|| b ：= b=入 a :— x 1 y 2 - x> y^ 0. a _ b(a = 0) ：= a ? b=0：= x 1x 2 y ( y 2 = 0. 9. 线段的定比分公式
、八 T T
设R(x i ,yj , BXy) , P(x,y)是线段RP ?的分点，二是实数，且RP = hPF 2，则
x , +^x 2
x - - {
1
+九=OP = y^Zy -
10. 点的平移公式
??' - '
x=xh x=x —h ' '
j y =y k y = y _k
四、解析几何
1.直线方程 (1)斜率公式
k=
— ( R |(x i , y 1)、F2(x 2 , y -)).
x 2 _捲
(2) 直线的五种方程
(1) 点斜式 y —%=k(x —xj (直线I 过点P(X 1,yJ ，且斜率为k ). (2) 斜截式 y = kx b (b 为直线I 在y 轴上的截距).
(3)
两点式 y —y1 = x —*( % 式丫2)(耳(为，％)、 F 2(X 2,y 2)(人式 X 2)). y 2 -如 X 2 —捲
x y
(4) 截距式
1( a 、b 分别为直线的横、纵截距， a 、b = 0)
a b
(5) 一般式 Ax By ^0(其中A 、B 不同时为0). (3) 两条直线的平行和垂直
=OP =tO R (1 —t)0F 2
(“I
-I —t
=OP^OP PP '
(1)若h : y 斗律b , I?: y b2
① I1 川2 二k^k2,b<- b2；