变速问题(带答案)

变速问题

教学目标

1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点

2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”

知识精讲

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；

折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；

方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；

⑶比例法

行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；

⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；

⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．

模块一、变速问题

【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52 米，小强每分走70 米，二人在途中的A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走90 米，则两人仍在 A 处相遇。小

红和小强两人的家相距多少米？

【解析】因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少4 分钟。（70×4）÷（90-70）=14 分钟可知小强第二次走了14分钟，他第一次走了14＋4=18 分钟；两人家的距离：（52+70）×18=2196（米）．

【例 2】甲、乙两人沿400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后

甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用24 秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了24 秒的路程与以（V +2 ）跑了24 秒的

路程之和等于400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V =

1

7

3

米/秒

【例 3】(2008年日本小学算术奥林匹克大赛)上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分,

甲，乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从B地出发时是8点分．

【解析】8点20分相遇，此时甲距离A地的距离是甲走了20分钟的路程，8点30分时乙到达目的地，说明乙走这段路程花了10分钟，所以乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的3倍时，此时甲的速度是乙速度的1.5倍，甲从相遇点走到B点花了10分钟，因此乙原先花了10 1.515

?=（分钟），所以乙是8点5分出发的．

【例 4】（难度等级※※※）A、 B 两地相距7200 米，甲、乙分别从A， B 两地同时出发，结果在距 B 地2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为(7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高3倍后，两人速度比为2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了

全程的

33

325

=

+

．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10 分

钟，所以甲的速度为

33

6000()9150

58

?-÷=(米/分)．

【例 5】（难度等级※※※）甲、乙两车分别从A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距C 点12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5 千米，则相遇地点

距 C 点16 千米．甲车原来每小时行多少千米？

【解析】设乙增加速度后，两车在D 处相遇，所用时间为T 小时。甲增加速度后，两车在E 处相遇。

由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经T 小时分别到达D、E。DE＝12＋16＝28（千米）。由于甲或乙增加速度每小时5 千米，两车在D

或E 相遇，所以用每小时5 千米的速度，T 小时走过28 千米，从而T＝28÷5＝28

5

小时,甲

用6－28

5

＝

2

5

（小时），走过12 千米，所以甲原来每小时行12÷

2

5

＝30（千米）

【巩固】（难度等级※※※）甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在C 点。

如果甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从A、B 两地同时出发相向而行，则相遇

点 D 距 C 点lO 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从A、B 两地

同时出发相向而行，则相遇点E距 C 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？

【解析】当乙每小时多行4 千米时，5 小时可以多行20 千米，所以当两人相遇后继续向前走到5 小时，甲可以走到C 点，乙可以走到 C 点前面20 千米。而相遇点D 距C 点lO 千米，因此两人各走了10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行 4 千米。同理可得，甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。

(4+3)÷(2-1)+4=11(千米/小时)，所以甲原来的速度是每小时11 千米。

【例 6】A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相

遇．如果甲延迟0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇．则A、B 两地相距

多少千米？

【解析】因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的．在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是 3 小时，他提前了0.5 小时，那么甲到桥上的时间是 3 -0.5 =2.5小时．甲每小时多走2 千米，2.5小时就多走2 ×2.5= 5千米，这5 千米就是甲原来3- 2.5 =0.5小时走的，所以甲的速度是 5 ÷0.5= 10千米/时．在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是 3 小时，他延迟了0.5 小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5 =3.5小时．乙每小时少走2 千米，3.5小时就少走2 ×3.5 =7千米，这7 千米就是甲原来3.5 －3= 0.5小时走的，所以乙的速度就是7 ÷0.5 =14千米/时．所以

A、B 两地的距离为（10 ＋14）×3 =72千米．

【例 7】一列火车出发 1 小时后因故停车0.5 小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后又前进90 公里再因故停车0.5 小时，然后同样以原速的3/4前进，则到

达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？

【解析】出发1 小时后因故停车0.5 小时，然后以原速的3

4

前进，最终到达目的地晚1.5 小时，所以后

面以原速的3

4

前进的时间比原定时间多用1.50.51

-=小时，而速度为原来的

3

4

，所用时间为原

来的4

3

，所以后面的一段路程原定时间为

4

1(1)3

3

÷-=小时，原定全程为4 小时；出发1 小时

后又前进90 公里再因故停车0.5 小时，然后同样以原速的3

4

前进，则到达目的地仅晚1 小时，

类似分析可知又前进90 公里后的那段路程原定时间为

4

(10.5)(1) 1.5

3

-÷-=小时．所以原速度

行驶90 公里需要1.5 小时，而原定全程为4 小时，所以整个路程为90 1.54240

÷?=公里．【例 8】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时40 分

到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时40 分等于按原计划的速度行驶280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280 千米后余下的时间为：5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．

【例 9】上午8 点整，甲从A地出发匀速去 B 地，8 点20 分甲与从B 地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点30 分，甲、乙两人同时到达各自

的目的地．那么，乙从 B 地出发时是8 点几分．

【解析】甲、乙相遇时甲走了20 分钟，之后甲的速度提高到原来的3 倍，又走了10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为20 : 30 =2 : 3，由于甲走20 分钟的路程乙要走10 分钟，所以甲走30 分钟的路程乙要走15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15 分钟，所以乙从 B 地出发时是8 点5 分．

【例 10】（难度等级※※）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶

600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的1×1.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。甲一共走了1+1/2=1.5（小时）

【例 11】 小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中 A 点后，他将速度改为每小时 2千米，在接下来

的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A 点上方 500米的地方．如果他下山的速度

是每小时 4千米，下山比上山少用了 52.5分钟．那么，他往返共走了多少千米？

【解析】 11千米

【例 12】 （难度等级 ※※※※）甲、乙两车从 A 、 B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车

提前 1 小时出发，则差 13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？

【解析】 第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前 1 小时出发，所以

这次乙车比甲车多走了 1 小时；第三次甲车提前 1 小时出发，所以这次甲车比乙车多走了 1 小时．那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走的路程为 2 个全程．由于两人合走一个全程要 5 小时，所以合走两个全程要 10 小时．由于第二次在乙车在差 13 千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米；第三次在过中点 37 千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 37 千米；这两次合起来甲车走了一个全程加上13 ＋37 =50千米，所以乙车走了一个全程少 50 千米，甲车比乙车多走50× 2 =100千米．而这是在 10 小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为100 ÷10 =10千米/时

【例 13】 甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时

起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙

的速度比原来快

14

，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点．问：甲、乙两人谁先到达终点？ 【解析】 从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为()40040036010÷-=(分钟)．甲到达终点还需要跑

()()7410000400104001814

209-?÷+=(分钟)，乙还需要跑()12100003601036011449????-?÷?+= ???????

(分钟)，由于2749209<，所以乙先到达终点．

【例 14】 环形场地的周长为1800米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)，12分钟

后相遇．如果每人每分钟多走25米，则相遇点与前次相差33米，求原来二人的速度．

【解析】 甲、乙原来的速度和为：180012150÷=(米/分)，如果每人每分钟多走25米，现在的速度之和为：

150252200+?=(米/分)，现在相遇需要的时间为：18002009÷=(分钟)．题目中说相遇点与前次相差33米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系．由于以原来的速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程12?；提速后走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程9?；故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即为两次相遇点的距离33米．所以现在问题转化为：甲以原速度走12分钟走到某一处，现在甲以比原速度提高25米/分的速度走9分钟，走到距离前一处还有33米的地方，求甲的速度．所以，甲原来的速度为：(33259)(129)86+?÷-=(米/分)，乙原来的速度为：1508664-=(米/分)．

【例 15】 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路，只好推车步行，步

行速度只有骑车速度的13

，结果这天用了36分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？ 【解析】 途中有2千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用362016-=分钟，由于在别的路段上还是

骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的2千米上．由于步行速度是汽车速度的13

，所以步行2千米所用的时间是骑车2千米所用时间的3倍，多用了2倍，这个多出来的时间就是16分钟，

所以骑车2千米需要1628÷=分钟．

由于8分钟可以骑2千米，而王刚平时骑车20分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为2(208)5?÷=千米．

【例 16】 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是5:4，相遇

后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B 地时，乙离开A 地还有10千米．那

么A 、B 两地相距多少千米？

【解析】 出发时，两车的速度之比为5:4，所以相遇以后两辆车的速度之比为

()()5120%:4120%5:6?-?+=，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:4，所以相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为4:5，所以甲还需要行驶全部路程的49

，当甲行驶这段路程的同时，乙行驶了全程的4856915÷?=，距离A 地还有481191545-+=，所以A 、B 两地相距11045045

÷=千米．

【例 17】 甲、乙往返于相距1000米的A ，B 两地．甲先从A 地出发，6分钟后乙也从A 地出发，并在距

A 地600米的C 地追上甲．乙到

B 地后立即原速向A 地返回，甲到B 地休息1分钟后加快速度

向A 地返回，并在C 地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到A 地？

【解析】 由于甲比乙早出发6分钟，乙在走了600米时追上甲，可见乙走600米比甲要少用6分钟，那么

对于剩下的400米，乙比甲要少用

40064600

?=(分钟)，也就是说乙比甲早4分钟到达B 地．那么乙从B 地出发比甲早415+=(分钟)，走到C 地被甲追上，相当于甲走400米比乙少用5分钟，那么对于剩下的600米，甲比乙要少用60057.5400

?=(分钟)．所以甲比乙提前7.5分钟回到A 地． 【例 18】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高

50%。出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？

【解析】 此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿车返回时速度提高50%所带来的变化，所以可以先假

设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析．如果小轿车返回时速度不提高，那么大货车到达乙地时，小轿车又走了甲、乙两地距离的11(150%)23

÷+=，所以，从甲地到乙地小轿车与大货车的速度比为：1(1):14:33+=，小轿车到达乙地时，大货车走了全程的34

，还差14．小轿车从乙地返回甲地时，与大货车的速度比为4(150%):32:1?+=，小轿车从乙地返回到与大货车相遇时，大货车又走了全程的11141212?=+，即相遇时大货车共走了全程的3154126+=，那么大货车从甲地到乙地需要512265÷=小时，小轿车从甲地到乙地需要1239545

?=小时，小轿车往返一次需要99(150%)355

+÷+=小时． 【例 19】 甲、乙两地间平路占15，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的23

，一辆汽车从甲地到乙地共行了10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%，行下山路的速度比平路快

20%，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？

【解析】 根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作25，这样两地间的平路为5，从甲地去往乙地，上

山路为220823?=+，下山路为3201223

?=+；再假设这辆车在平路上的速度为5，则上山时的

速度为4，下山时的速度为6，于是，由甲地去乙地所用的总时间为：84551265÷+÷+÷=；从乙地回到甲地时，汽车上山、下山的速度不变，但是原来的上山路变成了此时的下山路，原来的

下山路变成了此时的上山路，所以回来时所用的总时间为：1124558653

÷+÷+÷=．由于从甲地到乙地共行了10小时，所以从乙地回来时需要1210551033

÷?=小时． 【例 20】 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑

完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23

．甲跑第二圈的速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈的速度提高了15，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？ 【解析】 从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23，所以第一次相遇的地方在距起点25

(或者35)处．由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈时，乙跑了23

圈，此时乙距出发点还有13圈，根据题意，此时甲要回头加速跑，即此时甲与乙方向相同，速度为乙的121233??+÷= ???倍．所以乙跑完剩下的13圈时甲又跑了23

圈，此时甲距出发点还有13圈，而乙又要回头跑，所以此时两人相向而行，速度比为1211:15:3335??????+?+= ? ?????????，所以两人第二次相遇点距离出发点1313538?=+，两次相遇点间隔21215840+=，注意到2119211404040-=<，所以最短距离为1940

圈，所以跑道长1919040040

÷

=米． 【例 21】 甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后

甲比原来速度增加4米／秒，乙比原来速度减少4米／秒，结果都用25秒同时回到原地．求甲

原来的速度．

【解析】 因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用25秒，则相遇前两人合跑

一圈也用25秒． (法1)甲以原速V 甲跑了25秒的路程与以()4V +甲的速度跑了25秒的路程之和等于400米，

()25254400V V ++=甲甲，解得6V =甲米/秒．

(法2)由跑同样一段路程所用的时间一样，得到4V V +=乙甲，即二者速度差为4；而二者速度和为

4001625

V V +==乙甲，这是个典型的和差问题．可得V 甲为：()16426-÷=米/秒．

【巩固】从A 村到B 村必须经过C 村，其中A 村至C 村为上坡路，C 村至B 村为下坡路，A 村至B 村的

总路程为20千米．某人骑自行车从A 村到B 村用了2小时，再从B 村返回A 村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A 、C 之间的路程及自行车上坡时的速度．

【解析】 设A 、C 之间的路程为x 千米，自行车上坡速度为每小时y 千米，则C 、B 之间的路程为(20)x -

千米，自行车下坡速度为每小时2y 千米．依题意得：2022203124x x y y x x y y -?+=???-?+=??

，两式相加，得：202032124

y y +=+，解得8y =；代入得12x =．故A 、C 之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米．

【例 22】 （2008年“奥数网杯”六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7:40，欢

欢从家出发骑车去学校，7:46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的

通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00赶

到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从

家里出发时是 点 分．

【解析】 欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，那么她调头后速度提高到原来的2倍，回到家所用的时间为

3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了206365---=分钟，故她以原速度到达学校需要10分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下4分钟的路程，而这4分钟的路程贝贝走了14分钟，所以欢欢的6分钟路程贝贝要走()146421?÷=分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21分钟，所以贝贝是7点25分出发的．

【例 23】 甲、乙两人都要从A 地到B 地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟60米．乙比甲早出发

20分钟，甲在距A 地1920米的C 处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速

度提高到原来的1.5倍，马上返回A 地去取，并在距离C 处720米的D 处遇上乙．甲到达A 地

后在A 地停留了5分钟，再以停留前的速度骑往B 地，结果甲、乙两人同时到达B 地．A 、B

两地之间的距离是 米．

【解析】 乙从A 地到C 处所用时间为19206032÷=分钟，甲用的时间为322012-=分钟，甲的速度为

192012160÷=米/分钟，速度提高后为160 1.5240?=米/分钟．甲从D 处回到A 地并停留5分钟，共用时间()1920720240516+÷+=分钟，此时乙又走了6016960?=米，两人的距离为

19207209603600++=米，

此时相当于追及问题，追及时间为()36002406020÷-=分钟，所以A 、B 两地之间的距离为240204800?=米．

【例 24】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上

学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度

的多少倍？

【解析】 设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相

同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是51 1.68

÷=，因此，走上坡路需要的时间是532188-=，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为31:18:118

=，所以，上坡速度是平路速度的811

倍．

【例 25】 （2003年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）某校在400米环形跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名

运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度，并

保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙，

而在23分50秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？

【解析】 本题中乙的速度始终保持不变，甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变，所以可以从

甲提速后的情况着手进行考虑．根据题意可知，甲加速后，每过23185-=（分钟）比乙多跑一圈，即每分钟比乙多跑400580÷=（米）．由于第18分钟时甲、乙处于同一位置，则在23分50秒时甲到达终点时，乙距终点的距离就是此时甲、乙之间的距离，即乙距离终点还有

501400802318603???-= ???（米），即乙在23分50秒内跑了1400100003??- ??

?米，由于乙的速度始终保持不变，所以乙每分钟跑

1400501000023400360??-÷= ???

（米）．所以，乙跑完全程需要1000040025÷=（分钟）． 【例 26】 （2003年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度

是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并

且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是 米．

【解析】 如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5．假设甲、乙从A 点同时出发，按逆时针方

向跑．由于出发时两者的速度比为2:5，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此时甲跑了

21(52)23

÷-?=，乙跑了53；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2(125%) 2.5?+=，乙的速度变为5(120%)4?-=，此时两者的速度比为2.5:45:8=；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，则此次甲跑了51(85)53

÷-?=，这个53就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是52133

-=个周长，又可能是51233-=个周长． 那么，这条环形跑道的周长可能为21001503÷

=米或11003003

÷=米． 【例 27】 如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）

道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥

泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A 点

还有

米。 A

【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕

着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A 点，即两人在A 点迎面相遇，然后再从A 点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后

回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是A点．本题要求的是第99次迎面相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离．对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了20084100

÷?=米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了10050150

+=米，这就是第一次相遇点与A点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与A点的距离．

【例 28】（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带

了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会

使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次，使丁丁的玩具甲虫以

原来的速度的10%

N?倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按次遥控器。

【解析】乐乐的玩具甲虫跑完全程需要4002020

÷=分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要

40 40030

3

÷=分

钟，乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽误的总时间超过

4020

20

33

-=分钟．乐

乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的1分钟及跑完这1分钟倒退路程所花费的时间，为110%1 1.1

+?=分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时间为120%1 1.2

+?=分钟；……乐乐第n次按遥控器后，丁丁耽误的时间为110%110.1

n n

+??=+分钟．所以相当于要使

1.1 1.2 1.3

+++L大于202

6

33

=，由于

2

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 6.56

3

++++=<，而2

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.68.16

3

+++++=>，所以乐乐要想取胜，至少要按6次遥控器．

【例 29】唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑．米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米．唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态1

分钟，1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要1分钟恢复能量才能再使用．米老鼠对“麻痹”

状态也在逐渐适应，第1次进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第2次进入“麻痹”

状态时，就会有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度……，第20次进入“麻痹”

状态时已有原速度95%的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了．唐老

鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使

用遥控器?

【解析】500012540

÷=(分钟)，500010050

÷=(分钟)，所以米老鼠正常情况下要40分钟跑完全程，唐老鸭要50分钟跑完全程．若唐老鸭使米老鼠麻痹20次，由于5%10%95%9.5

+++=

L，则在这麻痹的20分钟内，米老鼠实际跑的路程为正常状态下9.5分钟跑的路程．这样，米老鼠一共需要409.52050.5

-+=分钟才能到达终点．由于唐老鸭只需要50分钟，所以若使唐老鸭保持不败，并不需要使米老鼠麻痹20次，即可以尽量晚的第一次使用遥控器．根据题意，第20次使用可以使米老鼠多损失0.05分钟，第19次使用可以使米老鼠多损失0.1分钟，第18次使用可以使米老鼠多损失0.15分钟，第17次使用可以使米老鼠多损失0.2分钟，总计正好是

0.050.10.150.20.5

+++=分钟．所以只需要使米老鼠麻痹16次，唐老鸭就能保持不败．这样米老鼠也要50分钟．由于还要留出15分钟的遥控器恢复能量的时间，所以第一次使用遥控器的时候后面剩下的时间不能少于161531

+=分钟，此时米老鼠已经跑出了125(5031)2375

?-=(米)，所以唐老鸭最晚要在米老鼠跑了2375米的时候第一次使用遥控器．

【例 30】小周开车前往某会议中心，出发20分钟后，因为交通堵塞，中途延误了20分钟，为了按时到达会议中心，小周将车速提高了25%，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？

【解析】 将车速提高25%后，前、后两种情况下车速的比为1:(125%)4:5+=，那么所用的时间的比为5:4，

由此省出的时间就是堵车耽误的20分钟，所以这段路程原来需要开20(54)5100÷-?=分钟，再加上开始的20分钟，可知小周从出发时算起到达会议中心共用了20100120+=分钟．

【例 31】 （2008年清华附中入学测试题）如图，甲、乙分别从A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，他

们的速度之比为5:4，相遇于B 地后，甲继续以原来的速度向C 地前进，而乙则立即调头返回，

并且乙的速度比相遇前降低15

，这样当乙回到C 地时，甲恰好到达离C 地18千米的D 处，那么A 、C 两地之间的距离是__________千米。

D

C B A

【解析】 由于甲、乙的速度之比为5:4，所以，:5:4AB BC =，乙调头后的速度为原来速度的45

，所以乙调头后两人速度之比为45:(4)25:165

?=，而乙回到C 地时甲恰好到达D 处，所以:25:16BD BC =，即169BC CD =，则94724

AC BC CD ===（千米），即A 、C 两地之间的距离为72千米．

【例 32】 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米/时，乙车速度为48千米

/时，它们到达B 地和A 地后，甲车速度提高

14，乙车速度减少16

，它们第一次相遇地点与第二次相遇地点相距74千米，那么A 、B 之间的距离是多少千米？ 【解析】 开始时两车速度比为32:482:3=，所以第一次相遇是在距B 地全程的35

处；当乙车到达A 地时，甲车离B 地还有全程的13，此时乙车速度减少16，变为原来的56，两车速度比为52:(3)4:56

?=，那么当甲车走完剩下的13时，乙车已经往回走了1553412

?=，此时两车相距全程的5711212-=．这时甲车速度提高14，两车速度比变为5(4):51:14?=，所以两车再各走7721224

÷=即相遇．即第二次相遇点距离B 地全程的

724．所以A 、B 之间的距离为3774()240524÷-=千米．

【例 33】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克初赛)上午8点整，甲从A 地出发匀速去B 地，8点20

分甲与从B 地出发匀速去A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8

点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从B 地出发时是8点 分．

【解析】 甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了10分钟到达目的地，根

据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10330?=分钟，所以前后两段路程的比为20:302:3=，由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟，所以乙从B 地出发时是8点5分．

【例 34】 甲、乙往返于相距1000米的A ，B 两地．甲先从A 地出发，6分钟后乙也从A 地出发，并在距

A 地600米的C 地追上甲．乙到

B 地后立即原速向A 地返回，甲到B 地休息1分钟后加快速度

向A 地返回，并在C 地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到A 地？

【解析】 由于甲比乙早出发6分钟，乙在走了600米时追上甲，可见乙走600米比甲要少用6分钟，那么

对于剩下的400米，乙比甲要少用40064600

?=(分钟)，也就是说乙比甲早4分钟到达B 地．那么

乙从B 地出发比甲早415+=(分钟)，走到C 地被甲追上，相当于甲走400米比乙少用5分钟，

那么对于剩下的600米，甲比乙要少用

60057.5400

?=(分钟)．所以甲比乙提前7.5分钟回到A 地． 【例 35】 （2005年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）如图所示，有A 、B 、C 、D 四个游乐景点，在连接它

们的三段等长的公路AB 、BC 、CD 上，汽车行驶的最高时速限制分别是120千米、40千米和

60千米。一辆大巴车从A 景点出发驶向D 景点，到达D 点后立刻返回；一辆中巴同时从D 点

出发，驶向B 点。两车相遇在C 景点，而当中巴到达B 点时，大巴又回到了C 点，已知大巴和

中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速

大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.5%，求大巴客车

的最高时速。 D

C B A

【解析】 由于AB 、BC 、CD 三段公路等长，不妨设60AB BC CD ===千米，大巴从C D C →→用

602602?÷=（小时）

，此时中巴从C B →，速度为60230÷=（千米/小时），所以中巴从D C →的速度为8030(112.5%)3÷+=（千米/小时），用时为8096034

÷=（小时），这也是大巴从A B C →→用的时间．大巴在BC 上最少用360402

÷=（小时），所以大巴在AB 上最多用933424-=（小时）．大巴的最高时速为360804

÷=（千米）． 【巩固】 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米．己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的13

处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米？ E A B C D

【解析】 如图所示，A 、B 、C 、D 分别为三段路的端点，E 为两车相遇的地点．由于AB 为CD 的两倍，

而汽车在AB 上的速度为40千米/时，在CD 上的速度为50千米/时，所以汽车在AB 上与在CD 上所用的时间之比为21:5:24050=，即在AB 上比在CD 上多用了32的时间；由于13BE BC =，所以12

BE EC =，而汽车在整个BC 段上速度都是相同的，所以汽车在EC 上所用的时间是汽车在BE 上所用的时间的2倍，即多用了1倍的时间．由于两辆汽车同时出发，在E 处相遇，两车所用的时间相同，所以在CD 上所用的时间的32

倍等于在BE 上所用的时间，可以得到在CD 上所用的时间与在BE 上所用的时间之比为2:3，那么可以得到在AB 、BE 、EC 、CD 四段上所用的时间之比为5:3:6:2．汽车在AB 与BC 段上所用的时间之比为5:9，速度之比为40:904:9=，所以AB 与BC 段的长度之比为()()54:9920:81??=．由于汽车从A 到E 用了1小时20分钟，所以

在AB 段上所用的时间为15513536?=+小时，AB 段的长度为51004063

?=千米，那么从A 到D 的距离为10081111853202???++= ???

千米． 【例 36】 现在甲乙两辆车往返于相距20千米的A 、B 两地，甲车先从A 地出发，9分钟后乙车也从A 地

出发，并且在距离A 地5千米的C 地追上甲车。乙车到B 地之后立即向A 地原速驶回，甲车到

B 地休息12分钟之后加快速度向A 地返回，并在

C 地又将乙车追上。那么最后甲车比乙车提前多少分钟到A 地？

【解析】 根据题意可知，按照出发时的速度，乙车走5千米比甲车少用9分钟，那么乙车走15千米比甲

车少用27分钟，也就是说乙车比甲车早27分钟到达B 地．到达B 地后，乙车立即返回，而甲车则停留12分钟，所以甲车比乙车晚271239+=分钟从B 地返回．返回时甲车提高了速度，所以在乙车开出15千米后追上乙车，说明返回时每走15千米甲车比乙车少用39分钟，那么走5千米甲车比乙车少用13分钟．而剩下的路恰好5千米，所以甲车比乙车提前15分钟到A 地．

模块二、变道问题

【例 37】 （2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的

两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从A 点出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离出发点

A 点多少厘米?

200200

【解析】 第一次在1B 点相遇，这时甲、乙共跑了400厘米(见左下图)

；

B 1

200200A

2B 1200200A

第二次在2B 点相遇，这时甲、乙又共跑了700厘米(见右上图)； 同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了700厘米．

那么到第三次相遇时两者共跑了4007007001800++=厘米，共用时间1800(64)180÷+=（秒），甲跑了61801080?=（厘米），距A 点40031080120?-=（厘米）．

【例 38】 （2007年首届全国资优生思维能力测试）如下图，甲从A 出发，不断往返于AB 之间行走。乙

从C 出发，沿C —E —F —D —C 围绕矩形不断行走。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离D 点 米。

AC=80米，CD=EF=120米，CE=DF=30米，DB=100米F E

D C B

A

【解析】 若甲要从背后追上乙，只有甲从D C →时才有可能，且当甲到达D 时，在DC 上乙离D 的距离不

能超过1201205424-÷?=米．而甲第一次以上述行走方向到达D 时，要用(80120100100)580+++÷=秒，以后每隔(80120100)25120++?÷=秒到达一次．乙走一圈的距离为(12030)2300+?=米．设当甲第x 次以上述行走方向到达D 时，乙在DC 上离D 的距离不超过24米．由于此时甲共走了[80120(1)]x +-秒，所以乙走了4[80120(1)]x ?+-米，而乙走的路程比300米的整数倍多出来的部分在302120180?+=米和18024204+=米之间，所以有

4[80120(1)]x ?+-除以300的余数在180到204之间，

即(480160)x -除以300的余数在180~204之间．即480x 除以300的余数在40~64之间，也即180x 除以300的余数在40~64之间．显然当2x =时，360300÷的余数为60，在40~64之间．这时，乙走了4[80120(21)]800?+?-=米，离D 点800300218020-?-=米．那么当甲追上乙时离D 点20(54)5100÷-?=米．

【例 39】 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。甲的速度为每秒6

米，乙的速度为每秒4米。甲、乙二人同时由A 点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离A 点的路程是多少？(路程按甲跑的计算)

甲

【解析】 根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆环跑一周需要100秒，

乙绕小圆环跑一周也需要100秒．所以两人的第一次相遇肯定是在A 点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到A 点，如果甲也在A 点，则两人在A 点相遇；如果甲不在A 点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇．设乙第m 次回到A 点的时间为t 秒，则100t m =，此时甲跑了6100600m m ?=米．而甲一个周期为6004001000+=米，因此，t 时刻

甲跑了6001000m 个周期．而6003331000555m m m m ????==+????????

，其中整数部分表示甲回到A 点，小数部分表示甲又从A 点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是310005m ???????

米．由此，我们可以算出甲的位置：

以其中的第三列(51)

k+为例进行说明：这一列表示351

m k

=+，于是

3

1000200

5

m

??

?=

??

??

，这表

明甲回到A点后又跑了200米，此时乙在A点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距1000200800

-=米，所以需要的时间为800(46)80

÷+=秒，在80秒内乙跑了480320

?=米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为40032080

-=米，这就是此时相遇点与A点的距离．其它情况同理可得．

所以甲、乙可能相遇的位置在距离A点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米．