2020年中考数学试题分类：相似三角形 含解析

2020年中考数学试题分类汇编之十

相似三角形

一、选择题

1．（2020成都）（3分）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．

10

3

解：直线123////l l l ，∴

AB DE

BC EF

=， 5AB =，6BC =，4EF =，∴

564

DE =， 103

DE ∴=

， 选：D ．

2．（2020哈尔滨）（3分）如图，在ABC ?中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( )

A ．

AE EF

EC CD

= B ．

EF EG

CD AB

= C ．

AF BG

FD GC

= D ．

CG AF

BC AD

= 解：//EF BC ，∴AF AE

FD EC

=， //EG AB ，∴

AE BG

EC GC

=， ∴

AF BG

FD GC

=， 故选：C ．

3.（2020河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）

A. 四边形NPMQ

B. 四边形

NPMR

C. 四边形NHMQ

D. 四边形

NHMR

解：如图所示，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ．

故选：A

4.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD

＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′＝（）

A．B．2C．D．

解：过D作DE⊥BC于E，

则∠DEC ＝∠DEB ＝90°， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形ABED 是矩形， ∴BE ＝AD ＝2，DE ＝AB ＝2

，

∵将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，

∴∠DB ′C ＝∠ABC ＝90°，B ′C ＝BC ，A ′C ＝AC ，∠A ′CA ＝∠B ′CB ， ∴△A ′CA ∽△B ′CB ， ∴

＝

，

∵△B ′CD 为等腰三角形， ∴△B ′CD 为等腰直角三角形， ∴CD ＝

B ′

C ，

设B ′C ＝BC ＝x ，则CD ＝x ，CE ＝x ﹣2，

∵CD 2＝CE 2+DE 2， ∴（

x ）2＝（x ﹣2）2+（2

）2，

∴x ＝4（负值舍去）， ∴BC ＝4， ∴AC ＝＝2，

∴

＝

，

∴A ′A ＝，

故选：A ．

5.（2020无锡）如图，等边ABC ?的边长为3，点D 在边AC 上，1

2

AD =

，线段PQ 在边BA 上运动，1

2

PQ =

，有下列结论：

①CP 与QD 可能相等；②ΔAQD 与BCP ?可能相似；③四边形PCDQ

面积的最大值为

；④四边形PCDQ

周长的最小值为3+．其中，正确结论的序号为（ ）

A. ①④

B. ②④

C. ①③

D. ②③

解：①∵线段PQ 在边BA 上运动，12

PQ =， ∴QD P AP C ≤＜,

∴CP 与QD 不可能相等，则①错误； ②设AQ x =， ∵1

2

PQ =

，3AB =， ∴1

3-

=2.52

AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， 假设ΔAQD 与BCP ?相似， ∵∠A=∠B=60°，

∴AD AQ BP BC =，即

1

21332

x x =--， 从而得到22530x x -+=，解得1x =或 1.5x =（经检验是原方程的根）， 又 2.5x ≤≤0，

∴解得的1x =或 1.5x =符合题意， 即ΔAQD 与BCP ?可能相似，则②正确；

③如图，过P 作PE ⊥BC 于E ，过F 作DF ⊥AB 于F ，

设AQ x =，

由12PQ =

，3AB =，得1

3-=2.52

AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， ∴1

32

PB x =-

-，

∵∠B=60°，∴132P x E --=

????

，

∵12AD =

，∠A =60°，∴1224

DF =?=

,

则1115332222PBC

S

BC PE x x ??=

?=?--=-??????

，

1122DAQ

S

AQ DF x x =

?=?=， ∴四边形PCDQ 面积为：

153+22428

88ABC PBC DAQ

S

S S

x x x ??

--=??---= ???, 又∵ 2.5x ≤≤0，

∴当 2.5x =时，四边形PCDQ 面积最大，最大值为：

+ 2.5=

8816

，

即四边形PCDQ 面积最大值为16

， 则③正确；

④如图，作点D 关于直线AB 的对称点D 1，连接D D 1，与AB 相交于点Q ，再将D 1Q 沿着

AB 向B 端平移PQ 个单位长度，即平移

1

2

个单位长度，得到D 2P ，与AB 相交于点P ，连接PC ，

∴D 1Q=DQ=D 2P ，1121

2

AD D D AD ===

，且∠AD 1D 2=120°， 此时四边形PCDQ 的周长为：2CP DQ CD PQ CD CD PQ +++=++，其值最小，

O

F

E D

C

B

A

∴∠D 1AD 2=30°，∠D 2A D=90°

，22

AD =

， ∴根据股股定理可得，

2CD =，

∴四边形PCDQ

的周长为：

211332222CP DQ CD PQ CD CD PQ ??+++=++=

+-+=+

??

?, 则④错误，所以可得②③正确，故选：D ．

6.（2020重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，

(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，

且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（

）

B. 2

C. 4

D. 解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，

而A （1，2），C （3，1）， ∴D （2，4），F （6，2）， ∴DF

故选：D ．

7.（2020重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心.已知OA ∶OD=1∶2，

则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4

D.1∶5 .答案C.

8.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b 为2米，则a 约为（ ）

A.1.24米

B.1.38米

C.1.42米

D.1.62米

答案：A

9．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则

BE EG

的值为（ ）

A ．1

2

B ．1

3

C ．2

3

D ．3

4

解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBG ， ∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG ＝∠G ，

∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，∴CG ＝CD +DG ＝3k ， ∵AB ∥DG ，∴△ABE ∽△CGE ， ∴

BE EG

=

AB CG

=

2k 3k

=2

3

，

故选：C ．

10．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）

A．15B．20C．25D．30

解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，

∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，

∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，

∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），

∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，

∴＝，解得：x＝40，

∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．

11．（2020广西玉林）（3分）（2020?玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）

A．一种B．两种C．三种D．四种

解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），

由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，

当长60cm的木条与100cm的一边对应，则x

75=

y

120

=

60

100

，

解得：x＝45，y＝72；

当长60cm的木条与120cm的一边对应，则x

75=

y

100

=

60

120

，

解得：x＝37.5，y＝50．

答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．

故选：B ．

12．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO 的顶点A 在函数y =k x

（x ＞0）的图象上，∠

ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（ ）

A ．9

B ．12

C ．15

D ．18

解：∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ， ∵M 、N 是OA 的三等分点，∴AN AM

=12

，

AN AO

=1

3

，

∴

S △ANQ S △AMP

=1

4

，

∵四边形MNQP 的面积为3，∴S △ANQ 3+S △ANQ

=1

4

，

∴S △ANQ ＝1， ∵

1S △AOB

=（

AN AO

）2=19

， ∴S △AOB ＝9，

∴k ＝2S △AOB ＝18， 故选：D ．

13．（3分）（2020?荆门）△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝2√3，D 为BC 的中

点，AE =1

4

AB ，则△EBD 的面积为（ ）

A ．3√34

B ．3√38

C ．√3

4

D ．√3

8

解：连接AD ，作EF ⊥BC 于F ，

∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∠B ＝∠C ＝30°

在Rt △ABD 中，BD =1

2BC =√3，∠B ＝30°，

∴AB =BD

cos30°=√3

√3

2

=2，∴AD =12

AB =1，

∵AE =14AB ，∴

BE AB

=3

4

，

∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ， ∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD

=

BE AB

，

∴

EF 1

=3

4∴EF =3

4， ∴S △BDE =12

×BD ×EF =12

×√3×34

=3√

38

，

选：B ．

14．（2020山西）（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）

A ．图形的平移

B ．图形的旋转

C ．图形的轴对称

D ．图形的相似

选：D ．

15．（2020浙江温州）（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）

A ．14

B ．15

C ．8√3

D ．6√5

解：如图，连接EC ，CH ．设AB 交CR 于J ．

∵四边形ACDE ，四边形BCJHD 都是正方形， ∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°， ∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，

∴∠ACE +∠ACB +∠BCH ＝180°，∠ACB +∠BCI ＝90° ∴B ，C ，H 共线，A ，C ，I 共线， ∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ， ∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴

PC CQ

=

CE CH

=

EP HQ

=1

2

，

∵PQ ＝15，∴PC ＝5，CQ ＝10， ∵EC ：CH ＝1：2，

∴AC ：BC ＝1：2，设AC ＝a ，BC ＝2a ， ∵PQ ⊥CRCR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ， ∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，

∴四边形ABQC 是平行四边形，∴AB ＝CQ ＝10， ∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴5a 2＝100， ∴a ＝2√2（负根已经舍弃）， ∴AC ＝2√5，BC ＝4√5，

∵1

2

?AC ?BC =1

2

?AB ?CJ ， ∴CJ =2√5×4√

510

=4，

∵JR ＝AF ＝AB ＝10， ∴CR ＝CJ +JR ＝14， 故选：A ．

16．（2020海南）（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，若EF ＝AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ．25

B ．30

C ．35

D ．40

解：过点G 作GN ⊥AD 于N ，延长NG 交BC 于M ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∵EF ＝AD ，∴EF ＝BC ， ∵AD ∥BC ，NG ⊥AD ， ∴△EFG ∽△CBG ，GM ⊥BC ， ∴GN ：GM ＝EF ：BC ＝1：2， 又∵MN ＝BC ＝6， ∴GN ＝2，GM ＝4， ∴S △BCG ＝×10×4＝20，

∴S △EFG ＝×5×2＝5，S 矩形ABCD ＝6×10＝60， ∴S 阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：C ．

二、填空题

17．（2020广州）如图7，正方形ABCD 中，△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB C ''，AB '，

AC '分别交对角线BD 于点E ，F ，若4AE =，则EF ED ?的值为 * ．

【答案】16. 提示：由△EAF ∽△EDA,得到：EF EA

EA ED

=,所以：2EA EF ED =,∴EF ED ?=16

18.（2020

河南）如图，在边长为的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，连接,,EC FD 点,G H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为__________．

【答案】1

【详解】过E 作EP DC ⊥，过G 作GQ DC ⊥，过H 作HR BC ⊥，垂足分别为P ，

R ，R ，HR 与GQ 相交于I ，如图，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB AD DC BC ====

90A ADC ∴∠=∠=?，

图7

F

B'

E C'

D

C

B

A

∴四边形AEPD 是矩形，∴EP AD == ∵点E ，F 分别是AB ，BC 边的中点，

∴12PC DC =

=1

2

FC BC == EP DC ⊥，GQ DC ⊥，GQ EP ∴//

∵点G 是EC 的中点，GQ ∴是EPC ?的中位线，

1

2

GQ EP ∴=

=，

同理可求：HR =，

由作图可知四边形HIQP 是矩形， 又HP=

12FC ，HI=12HR=1

2

PC ， 而FC=PC ， ∴ HI HP =，

∴四边形HIQP 是正方形，

∴IQ HP ==

，

∴22

GI GQ IQ HI =-=

== HIG ∴?是等腰直角三角形，

1GH ∴==

故答案为：1．

19.(2020苏州）.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点

()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________．

【答案】14 5

解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，

∴∠DCE＝∠CAO，

∵∠BCA＝2∠CAO，

∴∠BCA＝2∠DCE，

∴∠DCE＝∠DCB，

∵CD⊥y轴，

∴∠CDE＝∠CDB＝90°，

又∵CD＝CD，

∴△CDE≌△CDB（ASA），

∴DE＝DB，

∵B（0，4），C（3，n），

∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，

∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，

∴OE＝OD－DE

＝n－（4－n）

＝2n－4，

∵A（－4，0），

∴AO＝4，

∵CD∥AO，

∴AOE∽CDE，

∴AO OE

CD DE

=，

∴424 34

n

n

-

=

-

，

解得：

14

5

n=，故答案：

14

5

．

20.（2020乐山）把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，

连结BE 交AC 于点F ．则

AF

AC

=_________．

解:连接CE ，设CD=2x ，

在RtΔACD 和RtΔABC 中，∠BAC=∠CAD=30o，

∴∠D=60o，AD=4x ，=，

BC=

1

2

AC ，3=x ， ∵点E 为AD 的中点， ∴CE=AE=DE=

1

2

AD =2x ， ∴ΔCED 为等边三角形， ∴∠CED=60o，

∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30o+30o=60o， ∴∠CED=∠BAD ， ∴AB ∥CE ，∴

AF BF

CF EF

=， 在ΔBAE 中，∵∠BAE=∠CAD=30o ∴AF 平分∠BAE ，∴

33

22

AB BF x AE EF x ===， ∴32AF BF CF EF ==， ∴

3

5AF AC =， 故答案为：35

.

21.（2020无锡）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，4AB =，点D ，E 分别在边AB ，

AC 上，且2DB AD =，3AE EC =连接BE ，CD ，相交于点O ，则ABO ?面积最大值

为__________．

解：如图1，作DG ∥AC ，交BE 于点G ， ∴,BDG BAE ODG OCE △∽△△∽△，

2

,3

DG BD AE AB ==∴

∵

13CE AE = , ∴2

21

DG CE == ∵ODG OCE △∽△ ∴=2DG OD

CE OC

= ∴2

3

OD CD =

∵AB=4 ∴2

3

ABO ABC S S =

△△ ∴若ABO 面积最大，则ABC 面积最大，

如图2，当点△ABC 为等腰直角三角形时，ABC 面积最大，为1

42=42

??， ∴

ABO 面积最大值为28

4=33

?

+

故答案为：8

3

22．（2020上海）（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口

B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7米．

解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，

∴BD∥AC，∴△ACE∽△DBE，

∴AC

BD =

AE

BE

，∴

AC

1

=

1.4

0.2

，

∴AC＝7（米），

答：井深AC为7米．

23．（2020吉林）（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝10．

解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，

∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．

24．（2020吉林）（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE 的面积为，则四边形DBCE的面积为．

解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，

∴DE ∥BC ，DE ＝BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，

∴＝（

）2＝（）2＝，

∵△ADE 的面积为， ∴△ABC 的面积为2， ∴四边形DBCE 的面积＝2﹣＝， 故答案为：．

25．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，点E 在AC 边上．将A ∠沿直线BE 翻折，

点A 落在点A '处，连接A B '，交AC 于点F ．若A E AE '⊥，4

cos 5

A =，则A F BF '= 1

3

．

【解答】解：90C ∠=?，4

cos 5

A =

， ∴

4

5

AC AB =，设4AC x =，5AB x =，则3BC x =， AE AE ⊥'，90AEA ∴∠'=?，//A E BC '，

由于折叠，

(36090)2135A EB AEB ∴∠'=∠=-÷=?，且△A EF BCF '?∽， 45BEC ∴∠=?，即BCE ?为等腰直角三角形， 3EC x ∴=，

AE AC EC x A E ∴=-=='，

∴

1

33

A E A F x BC BF x ''===， 故答案为：1

3

．

26．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ?中，CA CB =，M 是AB 的中点，点

D 在BM 上，A

E CD ⊥，B

F CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．则下列结论中：

①BF CE =； ②AEM DEM ∠=∠；

③AE CE -=； ④2222DE DF DM +=；

⑤若AE 平分BAC ∠，则:EF BF ； ⑥CF DM BM DE =，

正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号）

解：90ACB ∠=?，90BCF ACE ∴∠+∠=?， 90BCF CBF ∠+∠=?，ACE CBF ∴∠=∠，

又90BFD AEC ∠=?=∠，AC BC =，()BCF CAE AAS ∴???， BF CE ∴=，故①正确；

由全等可得：AE CF =，BF CE =，AE CE CF CE EF ∴-===， 连接FM ，CM ，

点M 是AB 中点，1

2

CM AB BM AM ∴=

==，CM AB ⊥， 在BDF ?和CDM ?中，BFD CMD ∠=∠，BDF CDM ∠=∠， DBF DCM ∴∠=∠，

又BM CM =，BF CE =，()BFM CEM SAS ∴???，

FM EM ∴=，BMF CME ∠=∠，

90BMC ∠=?，90EMF ∴∠=?，即EMF ?为等腰直角三角形，

EF AE CE ∴=-，故③正确，45MEF MFE ∠=∠=?，

90AEC ∠=?，45MEF AEM ∴∠=∠=?，故②正确，

设AE 与CM 交于点N ，连接DN ，

DMF NME ∠=∠，FM EM =，45DFM DEM AEM ∠=∠=∠=?，

()DFM NEM ASA ∴???，

DF EN ∴=，DM MN =，DMN ∴?为等腰直角三角形，