第三章线性系统状态方程的解
第三章 系统的分析——状态方程的解
§3-1线性连续定常齐次方程求解
一、齐次方程和状态转移矩阵的定义
１、齐次方程
状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：
)()(t Ax t x =&
线性定常连续系统：
Ax x
=& 初始条件：00x x t ==
２、状态转移矩阵的定义
齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为
)0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：
At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)
(0
0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法——直接求解
设Ax x
=&的解是t 的向量幂级数 Λ
ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(
式中ΛΛ，，，
，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t ===
为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x
=&，得：
Λ
ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x
)(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A
上式对于所有的t 都成立，故而有：
?????
??????======00
3
230
21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M
且有：00x b =
故以上系数完全确定，所以有：
Λ
ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(
ΛΛ++++
+=k k t b A k t b A t Ab b 020200!
1
!21
)0()!
1!21(22x t A k t A At I k
k ΛΛ+++++=
定义（矩阵指数或矩阵函数）：
∑∞==+++++=022!
1!1!21K k
k k k At
t
A k t A k t A At I e
ΛΛ
则
)0()(x e t x At
?=。
（２）拉氏变换解法
将Ax x
=&两端取拉氏变换，有
)()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =-
)0()()(1X A sI s X ?-=-
拉氏反变换，有
)0(])[()(1
1x A sI L t x ?-=--
则由微分方程解的唯一性可知：
])[()(1
1---==A sI L e
t At
φ
【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ??
????=0010&，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和
状态方程的解。
解：（１）求状态转移矩阵
ΛΛ++++
+==k k At t A k t A At I e t !
1
!21)(22φ 此题中： ??????=0010A ， ??
????====000032n
A A A ΛΛ 所以
??
?
???=??????+????
??=+==1010001001)(t t At I e t At φ （２）状态方程的解 )0(101)0()(x t x e t x At
??
?
?
???=?=
【例3.1.2】 已知系统状态方程为x x ??
????--=3210
&，初始条件为)0(x ，试求状态方程的解。
解：
)0()(x e t x At
?= ??
????+-=??????---??????=-321321000s s s s A sI
??
??
??????++
+-+++-+-
++-+=??????-+++=--22112
2
1221112112
213)2)(1(1
)
(1
s s s s s s s s s s s s A sI ∴??
?
???+-+---=-==----------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A sI L e t 222211
2222])[()(φ 故而
)0(2222)0()(2222x e e e
e e e e e x e t x t t t
t t t t
t At ??
?
???+-+---=?=-------- 二、状态转移矩阵At e 的性质
ΛΛ+++++==k
k At
t A k t A At I e
t !
1!21)(22φ
（1）I =)0(φ
（2）A t t A t )()()(φφφ==&
A =)0(φ&
（3）
)()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=±
证明：)()()()()(1221)()()
(212121t t t t e e e t t t A t A t t A φφφφφ±=±=?==±±±
（4）)()(1t t -=-φφ，
)()(1t t φφ=-- 证明：)()()()()()0(1
t t I t t t t -=?=-=-=-φφφφφφ
（5）
)()()(00t x t t t x -=φ
证明：
)0()()(x t t x φ=
)()()0()0()()(00100t x t x x t t x ?=?=-φφ，代入上式
∴
)()()()()()(00001
t x t t t x t t t x -=?=-φφφ 证毕。
（6）
)()()(011202t t t t t t --=-φφφ
证明：)()()(0022t x t t t x -=φ………………………. …………………(1) )()()(0011t x t t t x -=φ……………………………………………(2) )()()()()()(001121122t x t t t t t x t t t x --=-=φφφ…………….(3) 比较（1）、(3)式，有)()()(011202t t t t t t --=-φφφ成立。证毕。
（7）
[]
)()(kt t k
φφ=
证明：
[])(][)()(kt e e e t kt A kAt k At k
φφ====
（8）若BA AB =，则At
Bt Bt At t B A e e e e e ?=?=+)(
若BA AB ≠，则At Bt Bt At t
B A e e e e e ?≠?≠+)(
（9）设)(t φ为Ax x
=&的状态转移矩阵，引入非奇异变换x P x =后的状态转移矩阵为： P e P t At 1)(-=φ
证明：将x P x =代入Ax x
=&中，有 x AP P x
1
-=& APt
P e t 1
)(-=φ
ΛΛ++++
+=----k k APt
P t AP P k t AP P APt P I e
)(!
1
)(!21122111 ΛΛ+++++=----k
k t AP P k t AP P APt P P P )(!1)(!21122111
P t A k t A At I P k k )!
1!21(221
ΛΛ+++++=-
P e P At
1-= ∴P e P t At
1
)(-=φ。证毕。
（10）两种常见的状态转移矩阵 ①设
],,,[21n diag A λλλΛ=，即A 为对角阵，且具有互异元素。则
??
??
?
?????
?
?=t t
n e e t λλφO O 00)(1
②设A 为m m ?约当阵
m
m A ????
??????
??
?=λλλ11
O
O
，则??
?
???
?
?
?
?
?????????
?--=--t t m t t t m t t t e e t m te e e t m e t te e
t λλλλλλλλφΛ
M O M M M M
M M M ΛΛ0
0)!
2(1
0)!
1(1!21)(212
【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 ??
?
??
?+-+---=--------t t t
t t t t t At
e e e e e e e e e
22222222 试求)(1
t -φ
和A 。
解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知
??
?
??
?+-+---=-=-t t t
t t t t
t e e e e e e e e t t 22221
2222)()(φφ
（2）根据状态转移矩阵的性质2，可知
??
????--==??????--+-+-==--------3210
0442222)0(2222t e e e
e e e e e A t
t t t t t t
t φ&
【例3.1.4】 已知
440
1101
??
???????????=λλλλA 试求状态转移矩阵At
e 。 解：根据状态转移矩阵的性质10，可知
??
?????
????????
?==t t t t t t t t t t
At
e te e e t te e e t e t te e e
t λλλλλλλλλλφ0
0002106
121)(232
【例3.1.5】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。
????
??????-t t t t sin cos 0cos sin 0001
解：利用性质（1）I =)0(φ
I t t t t t ≠????
?
?????-==??????????-010*******sin cos 0cos sin 0001，所以该矩阵不是状态转移矩阵。
【例3.1.6】 已知系统状态方程为Ax x
=&， 当???
???-=11)0(x 时，??????-=--t t e e t x 22)(
当???
???-=12)0(x 时，??
????-=--t t e e t x 2)(
试求系统矩阵A 和状态转移矩阵At
e 。
解：由性质（2）可知：)0(φ
&=A 由已知，有
)0()(x e t x At ?= ??
????--=??????--?----1121222At t t
t t
e e e
e e ∴??
?
???--??????--=??
????--???
???--=---------112121121
2221
22t t t t
t t t t
At
e e
e e e e e e e
??
?
??
?+-+---=--------t t t
t t t t
t e e e e e e e e 22222222
∴?????
?--=??????--+-+-===--------=3120
424222)
(022220
t t t t
t
t t t t t e e e e e e e e t A φ&
§3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解
线性定常非齐次状态方程：
Bu Ax x +=&，求)(t x 。
1、直接积分法
Bu Ax x +=&左乘At
e
-，有
Bu e Ax x e
At At
?=---)(&
由于)()(Ax x e x e dt
d At At
-=?--&
所以Bu e x e dt
d At
At ?=?--)(，两端同时积分，有
τττd Bu e x t x e
A t
At
)()0()(0
?=---?
∴τττd Bu e x e t x t A t
At
)()0()()
(0?+=-?
τττφφd Bu t x t t
)()()0()(0
?-+=?
注意：若取0t 作为初始时刻，积分可得： τττd Bu e t x e
t x e
A t
t At At
)()()(0
0?=----?
τττd Bu e t x e t x t A t
t t t A )()()()(0)
(0
0?+=--?
2、拉氏变换法
Bu Ax x +=&，两边同时取拉氏变换（当0=t 时刻的状态为)0(x ）
)()()0()(s Bu s Ax x s sx +=- )()0()()(s Bu x s x A sI +=- 则
)()()0()()(11s Bu A sI x A sI s x ---+-=
)]()[()0(])[()(1
1
1
1
s Bu A sI L x A sI L t x -----+-= 由拉氏变换卷积定理：
?-=-t
d f t f s F s F L 021211
)().()]().([τττ
在此1
)(--A sI 视为)(1s F ，)(s Bu 视为)(2s F 。则
τ
ττd Bu e
x e t x t A t
At
)()0()()
(0
?+=-?
（与直接求解结果相同！）
【例3.2.1】 已知系统状态方程为u x x
?
?
?
???+??????--=103210&，输入)(1)(t t u =， 初始条件为??
?
???=)0()0()0(21x x x ，试求解此非齐次状态方程。
解：由已知有 τττd Bu e x e t x t A t
At
)()0()
()(0
?+=-?
（1）先求At
e ，由前面例题（例3.1.2）可知 ??
?
???+-+---=--------t t t t t t t t At
e e e e e e e e e
22222222 （2）求
τττd Bu e t A t
)()(0
?-?
ττττττττττττd e e e e e e e e d Bu e
t t t t t t t t t t A t
??
?
????????
?
?+-+---=???
-----------------102222)(0)(2)()(2)()(2)()
(2)()
(0
τττττd e e e e t t t t t
??
?
???+--=
--------?
)(2)()(2)(0
2 )(2)(2)()(2)(0
τττττ-??
?
???+---
=--------?
t d e e e e t t t t t
???
?????-+-=????????-+--=------------t t t t
t t t t e e e e t e e e e 22)(2)()(2)(2121021ττττ 故而
???
?????-+-+?????????????+-+---=------------t
t t t
t t t
t t t t
t e e e e x x e e e
e e e e e t x 222122222121)0()0(2222)(
特别说明：若??????=??????=00)0()0()0(21x x x ，则???
?????-+-=----t t t t e e e e t x 222121)( 其状态轨迹图可以MABLAB 绘出：
%Example 3.2.1 matlab program:
grid;
xlabel('时间轴');
ylabel('x 代表x1，----*代表x2');
t=0::10;
x1=(-t)+*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,'x',t,x2,'*') end
§3-3 状态转移矩阵At e 的计算
1、直接幂级数法
∑∞
==+++++=022!
1
!1!21K k k k k At
t A k t A k t A At I e
ΛΛ
2、拉氏变换法
])[(11---=A sI L e At
3、利用性质，采用对角化的方法
【例3.3.1】 已知系统状态方程为x x
?
?
????--=3210&，试利用对角化的方法求At
e 。
解：0)2)(1()det(=++=-λλλA I ，解出特征值11-=λ，22-=λ。 选用变换阵P ，使AP P 1-对角化。由于A 为友矩阵，故P 可选为：
??????--=????
??=211111
21
λλP ， ??
????--=-11121
P
根据P e P e
At APt
P
11
-=-可推出：11
--=P Pe e APt
P
At
而??
????==--??
?
???---t t t APt
P e e e
e
22001001
∴??
?
???+-+---==----------t t t t t t t t APt
P At
e e e e e e e e P
Pe
e 22221
22221
4、利用Caylay-Hamilton 定理计算（待定系数法）
（1）Caylay-Hamilton 定理
设n 阶矩阵A 的特征多项式为：
0111)(a a a A I f n n n ++++=-=
--λλλλλΛΛ
则A 满足其特征方程，即
0)(011
1=++++=--I a A a A a A A f n n n ΛΛ
（2）推论1
矩阵A 的k （n k ≥）次幂，可表示为A 的)1(-n 阶多项式
∑-==
1
n m m m
k
A a
A ，n k ≥
【例如】 已知??
??
??=1021A ，求?100
=A 解：A 的特征多项式为：
12)(2+-=-=λλλλA I f
根据Caylay-Hamilton 定理，有
02)(2
=+-=I A A A f ， ∴I A A -=22
故I A A I A A A I A A AA A 23)2(22)2(2
2
3
-=--=-=-== I A A I A A A I A A AA A 342)2(323)23(2
3
4
-=--=-=-==
依次归纳，有：
I k kA A k
)1(--= 所以有：??
?
???=??????-??????=-=102001990099100020010099100100I A A
（3）推论2
状态转移矩At
e 可表示为A 的)1(-n 阶多项式 ∑-==1
)(n m m m At
A t a e
式中，)(,),(),(110t a t a t a n -Λ均为幂函数。
【例3.3.2】 已知系统状态方程为x x
?
?
????--=3210
&， 试利用Caylay-Hamilton 定理求At
e 。
解：（1）求系统矩阵A 的特征值
0)det(=-A I λ 0)2)(1(=++?λλ， 解出11-=λ，22-=λ
（2）一般情况下，对于n 个互异的特征值n λλλ，，
，Λ21，写出如下方程组： ??????
?=++++=++++=++++------t n n n n n t n n t n n n e
a a a a e a a a a e a a a a λλλλλλλλλλλλ1122101
212222101112121102
1ΛΛM
ΛΛΛΛ 并解出n a a a ，，
，ΛΛ10即可。对于本例： ???=+=+t t e
a a e a a 21210110λλλλ ???=-=-?--t
t
e a a e a a 210102 解出t t e e a 202---=，t
t e e a 21---=
（3）对于系统具有n 个互异的特征值n λλλ，，
，Λ21的情况，按下式计算At
e ：
1
12210--++++=n n At A a A a A a I a e ΛΛ
对于本例有： ??
?
???+-+---=+=--------t t t
t t t t
t At
e e e e e e e e A a I a e 2222102222
§3-4 离散系统状态方程的解
一、由差分方程建立动态方程
线性离散系统的动态方程可以充分利用差分方程建立，也可以利用线性连续动态方程的
离散化得到。
SISO 线性定常离散系统的差分方程一般形式为：
)
()1()1()()()1()1()(011011k u b k u b n k u b n k u b k y a k y a n k y a n k y n n n ++++-+++=++++-+++--ΛΛΛΛ
式中，k 表示kT 时刻；T 为采样周期；y(k)、u (k)分别为kT 时刻的输出量和输入量；i a 、i b （n i ，，，，ΛΛ210=， 且1=n a ）为表征系统特征的常数。
考虑初始条件为零时的Z 变换关系有：
)()]([z y k y Z =， )()]([z y z n k y Z n
=+ 对上边式子两边取Z 变换，并整理为：
11
10
111)()()(a z a z a z b z b z b z b z u z y z G n n n
n n n n ++++++++==----ΛΛΛΛ 0
11
10
111a z a z
a z z z
b n n n
n n n ++++++++
=----ΛΛΛΛβββ
)
()
(z D z N b n +
= 按连续系统的方法，对)(/)(z D z N 做串联分解，最后可得到离散系统状态空间表达式的一种形式：
)(1000)()()()(10000100001
0)1()1()1()1(12112
10
121k u k x k x k x k x a a a a k x k x k x k x n n n n n ?????
???
?
???????+????????????????????????????????----=????????????????++++---M
M Λ
ΛM M M M
ΛΛM
[])()()(1210k u b k x k y n n +=-ββββΛ
简记为： ???+=+=+)
()()()
()()1(k du k cx k y k hu k Gx k x
MIMO 线性定常离散系统的动态方程为： ??
?+=+=+)
()()()
()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x
离散系统的一般结构图
【例3.4.1】设某线性离散系统的差分方程为：
)(2)1()(16.0)1()2(k u k u k y k y k y ++=++++ 试写出系统的状态空间表达式。 解：离散系统的状态空间表达式为： ??
?+=+=+)
()()()
()()1(k du k cx k y k hu k Gx k x
其中：??????--=116.010G ， ??
????=10h ， []12=c ， 0=d
二、线性定常连续系统动态方程的离散化
线性定常非齐次状态方程Bu Ax x +=&在)(0t x 及)(t u 作用下的解为：
τττd Bu e t x e
t x t A t
t t t A )()()()(0)
(0
0?+=--?
或τττφφd Bu t t x t t t x t
t )()()()()(0
00?-+-=?
令kT t =0，则)()()(0k x kT x t x ==
T k t )1(+=，则)1(])1[()(+=+=k x T k x t x 常数=+=)1()(k u k u ，于是 )(])1[()(])1[()1()1(k u Bd T k k x kT T k k x T
k kT
??-++-+=+?
+ττφφ
)(])1[()()()1(k u Bd T k k x T T
k kT
??-++=?
+ττφφ
记ττφBd T k T H T
k kT
?-+=
?
+)1(])1[()(
令ττ'=-+T k )1(，则代换后有 ττφττφBd Bd T H T
T
??
=''=
)()()(
故离散化状态方程为：)()()()()1(k u T H k x T G k x +=+ 输出方程为：)()()(k Du k Cx k y +=
【例3.4.2】试写出连续时间系统
u x x ??
????+??????-=102010&
采样周期为T 的离散化状态方程。 解：先求At
e
1
111201])[()(----??
????+-=-==s s L A sI L e t At
φ
??
?
?
?
???
-=?????
?
??????++=---t t e e s s s s L 2210)1(2
11
210)2(11 T
t t T T G ===)()()(φφ??
?
????
?
-=--T
T e e 220)1(2
11 τττφττd e e Bd T H T
T
?????????????
?
-==?
?--100)1(211)()(0
220
τττd e e T ????
?????-=--022)1(21 0214121
22T e e ?
?????????-+=--τ
ττ??????????-+-=--T T e e T 222
121414121 所以：
)()()()()1(k u T H k x T G k x +=+
)(2121414121)()(0)1(211)1()1(22212221k u e e T k x k x e e k x k x T T T T ????
??????-+-+?????????
?????-=??????++----
例3.4.2连续系统离散化MATLAB 程序：
%Example3.4.2 : Continuous to discrete system
A=sym('[0,1;0,-2]') B=sym('[0;1]') T='T'
[G,H]=c2d(A,B,T)
%example3.4.2的另一种MATLAB 程序： syms s t T;
A=sym('[0,1;0,-2]'); B=sym('[0;1]'); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) G=subs(lap,'T')
H=int(symmul(lap,B),0,T)
三、离散系统状态方程的解
两种解法：递推法和Z 变换法。
递 推 法：又称迭代法，对于定常和时变系统都适用。 Z 变换法：只适用于定常系统。
1、递推法
)()()()()1(k u T H k x T G k x +=+ 依次令Λ,2,1,0=k ，从而有
0=k )0()()0()()1(u T H x T G x += 1=k )1()()1()()2(u T H x T G x +=
)1()()0()()()0()(2
u T H u T H T G x T G ++=
2=k )2()()2()()3(u T H x T G x +=
)2()()1()()()0()()()0()(2
3
u T H u T H T G u T H T G x T G +++= ………… 依此类推。
递推公式为：
∑-=--+
=1
1)()()()0()()(k i i
k k
i u T H T G
x T G k x
其中)(T G k
称为线性定常离散系统的状态转移矩阵，记为)(k φ。 )()()(k kT T G k
φφ==
（)(k φ满足：)()1(k G k φφ=+； I =)0(φ）
【例3.4.3】已知某离散系统的状态方程是： )()()()()1(k u T H k x T G k x +=+ ????
??--=116.010G ，??????=11H ，初始状态??
????-=11)0(x ，1)(=k u ，
试用递推法求解)(k x 。
解：)0()()0()()1(u T H x T G x +=??????+??????-????
??--=1111116.010
?
?
????=84.10 )1()()1()()2(u T H x T G x +=??????+??????????
??--=1184.10116.010
?
?
????-=84.084.2 )2()()2()()3(u T H x T G x +=??????+??????-??????--=1184.084.2116.010
??
????=386.116.0
M
M
显然，用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式，而是一个解序列。
采用MATLAB 语言，求解例3.4.3：
%Example 3.4.3 G=[0,1;,-1]; H=[1;1]; U=1;
X1=[1;-1]; hold on; for k=1:400 X1=G*X1+H*U
plot(X1(1),X1(2),'*'); end
2、Z 变换法
设定常离散系统的状态方程是： )()()1(k Hu k Gx k x +=+ 两边取Z 变换：
)()()0()(z Hu z Gx zx z zx +=-，整理有 )()0()()(z Hu zx z x G zI +=- ∴)()()0()()(1
1
z Hu G zI zx G zI z x ---+-= 两边取Z 反变换：
)]()[()]0()[()(1
1
1
1
z Hu G zI Z zx G zI Z k x -----+-=
【例3.4.4】已知某离散系统的状态方程是： )()()()()1(k u T H k x T G k x +=+ ????
??--=116.010G ，??????=11H ，初始状态?
?
????-=11)0(x ，1)(=k u ， 试用Z 变换法求解)(k x 。 解：
11
116.01)
(--??
????+-=-z z
G zI ??
??
?
?
??????
++++-+++++=)8.0)(2.0()
8.0)(2.0(16.0)8.0)(2.0(1)8.0)(2.0(1z z z z z z z z z z
??????
????????+++-+++-+-+++-+
+=8.0342.0318.01542
.0154
8.0352.035
8.031
2
.034
z z z z z z z z
而 )]()0([)()(1
z Hu zx G zI z x +-=- 1
)(-=
z z
z u ????
????
???
?
-+--=??????????--+??????-=+12111)()0(22z z z z z z z z z z z z Hu zx ∴?????
???????-+++--+++=)1)(8.0)(2.0()84.1()1)(8.0)(2.0()2()(2
2z z z z z z z z z z
z z x ????
??????-++-+-++++-=)1(187)8.0(96.17)2.0(64.3)1(1825)8.0(922)2.0(617z z z z z z z z z z z z 对)(z x 取z 反变换，有
?
?????????+-+-+-+--=187)8.0(96.17)2.0(6
4.31825)8.0(922)2.0(617)(k k k k k x