中考总复习 解直角三角形的实际应用
中考总复习解直角三角形的实际应用
【复习要点】解直角三角形在中考中一直占有一定比例，有关题型亮相也比较新颖，着重考查学生的基础知识和基本能力.中考要求及命题趋势：1.理解锐角三角形的三角函数
值的概念；2.会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应的锐角；3.会运用
三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
应试对策1.要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值:2掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角
形的知识解决实际问题具体做到:①了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念;②将实
际问题转化为数学问题，建立数学模型;③涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助
线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题.
【复习流程】
一 .自我检测激活旧知
1.回忆表格
2.（2012?安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2
3
，求AB的长．
3.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1:，则AB的长为
[ ] A．12
B．4米
C．5米
D．6米
二.归纳整理形成网络
1．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
2．俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角．
3．坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作
i＝________．
4．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越陡．
5．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指
北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下
南，左西右东．
三.明确考纲了解中考
C等级
近几年都以解答题为主，预测2017年中考，也会延续近五年的趋势，考一个解答题
四.讲练结合感受方法
类型一构造单个直角三角形
1.（2010安徽）如图，若河岸的两边平行，河宽为900m，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5m／s，求船从A处到B处约需时间几分（参考数据： 1.7 ）
2.（2008?安徽）如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米≈1.732）
分析：由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．
解答：解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20× =10
又DE=AB=1.5，
∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8
答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．
点评：本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．
类型二构造双直角三角形
1.辅助线在三角形外（母子型）
3.如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求C、D两点间的距离．
【分析】直接利用等腰三角形的判定与性质得出DE=AE=20，进而求出EF的长，再得出四边形ACDF为矩形，则CD=AF=AE+EF求出答案．
【解答】解：过点D作l1的垂线，垂足为F，
∵∠DEB=60°，∠DAB=30°，
∴∠ADE=∠DEB﹣∠DAB=30°，
∴△ADE为等腰三角形，
∴DE=AE=20，
在Rt△DEF中，EF=DE?cos60°=20× =10 （m）
∵DF⊥AF，
∴∠DFB=90°，
∴AC∥DF，
由已知l1∥l2，
∴CD∥AF，
∴四边形ACDF为矩形，CD=AF=AE+EF=30，
答：C、D两点间的距离为30m．
F
4.(2016临沂) 一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处（参考数据：≈1.732，
结果精确到0.1）？
5.（2013安徽）如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）
2.辅助线在三角形内（背靠背型）
6.(2015安徽)如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（≈1.732）
五.巩固练习形成能力
7.如图，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离．现测得AC＝30 m，BC＝70 m，∠CAB＝120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离．
如图23－6，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC 8
宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之
比)．
解：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F.
由题意可知BE＝CF＝20米，BC＝EF＝6米，∠D＝30°.
在Rt△ABE中，i＝BE
AE
＝
1
2.5
，即
20
AE
＝
1
2.5
，
∴AE＝50米．
在Rt△CDF中，tan30°＝CF
D F
，即
20
D F
＝
3
3
，
∴DF＝20×3
3
≈34.64米．
∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋34.64≈90.6(米).
六.课堂总结归纳提升
你都回忆起来了么？
七.课后练习能力提升
1.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.41）
2.(2016贺州)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据 1.414， 1.732）
解：由题意得，AH=10米，BC=10米，
在Rt△ABC中，∠CAB=45°，
∴AB=BC=10，
在Rt△DBC中，∠CDB=30°，
∴DB=10，
∴DH=AH﹣AD=AH﹣（DB﹣AB）=10﹣10+10=20﹣10≈2.7（米），
∵2.7米＜3米，
∴该建筑物需要拆除．
八．布置作业
九．课后反思：
本节内容相对简，课堂反映较好，绝大多数学生能很好的掌握此内容解单直角三角形的例题可以少一些，多一些变式
解直角三角形中考题型
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
九年级下第一章解直角三角形专项练习3
第1章 解直角三角形 专项练习 一、锐角三角函数： 1、各三角函数之间的关系： ⑴sin ＝cos ; ⑵sin 2＋cos 2＝ ; ⑶tan ＝ . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 2 2 cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 2、（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 （3）在ABC Rt ?中，C ∠＝90，c = 8 , sinA = 4 1 ，则b = . 3、选择：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，3 1 tan = A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 （2）Rt ABC ?中，C ∠＝90，43AC BC ==，,cos B 的值为 （ ） 15A 、 35B、 43C、 34 D、 （3）ABC ?中，C ∠＝90，tan 1A =，则sin B 的值是 （ ） 3A 、 2B、1C、 2 D、4、计算： （1)sin 30o+cos 45o; (2) s in260o+cos260o-tan 45o. （3）???-??+?60tan 60sin 45cos 230sin (42453(sin 602cos30)tan30?-?+? 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
初中数学章节考点梳理解直角三角形涉及的14个必考点全梳理
考点1 锐角三角函数的定义 锐角角A 的正弦（sin ）,余弦（cos ）和正切（tan ）,都叫做角A 的锐角三角函数。 正弦（sin ）等于对边比斜边， 余弦（cos ）等于邻边比斜边 正切（tan ）等于对边比邻边. 例题1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝α，若BC ＝m ，则AB 的长为（ ） A ． m cosα B ．m ?cos α C ．m ?sin α D ．m ?tan α 【分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可． 【解析】如图所示： ∵cosα=BC AB ，∴AB =m cosα， 故选：A ． 【小结】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，关键是根据学生的理解能力和计算能力解答． 变式1 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD 的（ ） A ． BD BC B ． BC AB C ． CD BC D ． CD AC 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD ＝∠A ，再解直角三角形得出即可． 【解析】∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A ，∴sin ∠BCD ＝sin A =BC AB =CD AC =BD BC ， 即只有选项C 错误，选项A 、B 、D 都正确， 【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，则sin A =BC AB ，cos A =AC AB ，tan A =BC AC ，cot A =AC BC ．
人教版 数学 九年级 下册 第28章 28.2 解直角三角形 教案
28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、 ∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝36 3 2＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
九年级解直角三角形中考题
解直角三角形 练习1、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米． 2、（2013?钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732） 3、兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一条小船垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角为∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4:3，坡长AB=8米，求此时小船C到岸边的距离AC的长
4、在1998年的特大洪水期间，为了加固一段大堤，需运来沙石和土将大堤堤面加宽1米，使背水坡的坡度由原来的1：2变为1：3,已知原来背水坡的坡长为BC=15米，堤长100米，那么需要的沙石和土多少方？ 5、如图，某县为了加固长90米，宽5米，坝顶宽4米的迎水坡和背水坡的坡度都是1:1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡的坡度改为1:1.5，已知坝顶宽不变，要求大坝横截面的面积增加了多少平方米？共要填充多少立方米的土？ 6、（2013?眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：． （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
九下第一章解直角三角形电子教案
九年级下册第一章 解直角三角形 1.1从梯子的倾斜程度谈起 2课时 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 1课时 1.3三角函数的有关计算1课时 1.4测量物体的高度2课时 1.5船有触礁的危险吗1课时 第一教时 【教学内容】从梯子的倾斜程度谈起（一） 【教学目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联 系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 【教学用具】三角板 【教学方法】引导—探索法. 【教学过程】 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△A B 2C 2有什么关系? ⑵ 2 22111B AC C B A C C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习： 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 修改与批注
九年级数学上册20解直角三角形章末复习导学案新版北京课改版
第20章解直角三角形 一、知识梳理 1.锐角三角函数的定义 2.锐角三角函数的增减性 3.理解同角三角函数的关系 4.掌握互余两角三角函数的关系 5.掌握科学计算器求三角函数值及角的度数 6.解直角三角形的概念 7.根据三角形中的已知量正确地求未知量 8.掌握解直角三角形的过程 二、题型、方法归纳 1. 锐角三角函数值都是 2. 在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边，斜边和邻边之间的比值也随 之。 3. 我们要用到科学计算器中的键。 4. 在直角三角形中共有边、角 5. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=1/2，AC=3，那么BC的值为( ) A. 2 B. 4 C. 43 D. 6 归纳小结 1.三角函数的定义 在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA， sinA= ∠A的对边/斜边=BC/AB=a/c 强调：“sinA”是一个完整的符号，不要误解为sin·A，记号里习惯省去角的符号“∠”。单独写成符号sin是没有意义的，因为他离开了确定的锐角无法显示它的含义。 在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA， cosA= ∠A的邻边/斜边=AC/AB=b/c 强调：“cosA”是一个完整的符号，不要误解为cos·A，记号里习惯省去角的符号“∠”。单独写成符号cos是没有意义的，因为他离开了确定的锐角无法显示它的含义。
在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA， tanA= ∠A的对边/邻边=BC/AC=a/b 强调：“tanA”是一个完整的符号，不要误解为tan·A，记号里习惯省去角的符号“∠”。单独写成符号tan是没有意义的，因为他离开了确定的锐角无法显示它的含义。 2.锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值 （2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。 （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0。当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0。 3.同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A=1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinA/cosA或sinA=tanA?cosA。 4.互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为： ①个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA。 5.掌握科学计算器求三角函数值及角的度数 （1）我们要用到科学计算器中的键：sin、cos、tan （2）按键顺序 如果锐角恰是整数度数时，以“求 sin18°”为例，按键顺序如下： 已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１ Cos－１，tan－１”键例如：
2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)
解直角三角形 一.选择题 1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N． 在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴CN=8，DN=6， ∵四边形BMNC是矩形， ∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在Rt△AEM中，tan24°=， ∴0.45=， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键． 2．（2018·吉林长春·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（） A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米 【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=，∴AB==．故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2018·江苏常州·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A．B．C．D． 【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==； 【解答】解：如图，连接AD． ∵OD是直径， ∴∠OAD=90°，
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弦c n 解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角 形两直角边的平方和等于斜边的平方 B a 勾 A C b 股 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为 sinA，即sin A =∠A的对边=a 斜边 c ②锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为 cosA，即cos A =∠A的邻边=b 斜边 c ③锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为 tanA，即tan A =∠A的对边=a ∠A的邻边b
2019中考试题分类——解直角三角形
2019中考试题分类——解直角三角形 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ， 现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕. ⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即 ∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？ 30°30°H M G D E F C B A 【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，. 在矩形DPGM 中，，. 在Rt △DMH 中，. ∴. 答：建筑物GH 高为45.6米. 2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方 向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的 速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行， 1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。问我渔政船 的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角 互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 解直角三角形的总复习 二. 教学目标： 1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。 2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。 3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。 三. 教学过程： （一）知识的回顾： 1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ?中，∠=?C 90， 则sin cos tan cot A BC A AC A BC A AC = === ，，， 注意的问题： （1）锐角α，应满足0101<<< 答案：A （2）在?ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在?ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==11 3 ，cos 答案：B （3）在四边形ABCD 中，∠=?∠=∠=?==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ） 点拨：延长BA 、CD 交于E ，得Rt EAD ?和Rt EBC ? ∠=?∴∠=?-∠-∠-∠=?A C A B D 13536045， ∴?BEC 和?EAD 均为等腰直角三角形 S S EBC EAD ??= ??==??=122323612 222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形??624 答案：C （4）已知圆O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB AB ==38，，则 tan ∠OPA 的值为（ ） A. 3 B. 3 7 C. 13或73 D. 3或 37 D A B C E F 解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12 13 ． （1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． 3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A = 5 4 ，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值． O E C D 4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值. 5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12 sin 13 C = ，BC =12，求AD 的长． 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ） A 3 B 2 C ． 12 D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(21)， B ．2)， C ．211)， D ．(121)， 3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．43 3 米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ） 第1章解直角三角形专项练习 一、锐角三角函数： 1、 各三角函数之间的关系： ⑴ sin = cos _____ ; ⑵ sin 2 + cos 2 = ; ⑶ tan = ________ . ____ 2、 在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, AC = 12, BC = 15。 (1 )求 AB 的长； (2 )求 si nA 、cosA 的值; 2 2 (3)求 sin A cos A 的值； (4)比较 sinA 、cosB 的大小。 2、 (1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, a =,；5 , b =2，贝U si nA =_____________ 。 (2) 在 Rt △ ABC 中，/ A = 900,如果 BC = 10, sinB = 0.6，那么 AC = _________ 1 (3) 在 RUABC 中，一 C = 90, c = 8 , sinA = ，则 b = . 4 1 3、 选择：(1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, tanA , AC = 6，则 BC 的长为( 3 (3) sin 30 ..2 *cos45 —sin 60 *tan60 4 2sin4 5 - 3(sin60 -2cos30 ) tan30 二、解直角三角形 1、如图，身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是 30o 和60o 的三角尺测量一棵树的高度 .已知她与树之间的 距离为5m,那么这棵树大约有多高 ？ (2) Rt ABC 中， C = 90, AC =4, BC =3, cosB 的值为 1 r 3 4 r 3 A 、- B — C - D - 5 5 3 4 A 、6 B 、5 C ( (3) ABC 中， C = 90, tan A =1，则sin B 的值是 A > . 3 B .2 c 、1 D 鱼 2 4、计算: ( (1)sin 30o+cos45o; ⑵s in260o+cos250o-tan 45o. 《解直角三角形》章节测试题 时间100分钟 满分100分 班级 姓名 得分 一、 选择题(（每题3分，共21分）) 1. 在?Rt 中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A 也扩大3倍 B 缩小为原来的31 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 2. 如图（1），在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂 直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=53 ， 则BC 的长是（ ）A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 3.若3tan(a+10°)=3，锐角a 的度数是( ) A 、20°B 、30°C 、35°D 、50° 4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c= A a sin B ．c= A a cos C ．c=a·tanA D ．c=a·cotA 5. 当锐角α>60°时，则cosα的取值范围是（ ） A ．21 cos 0<<α B.2 3cos 0< <α C.2 3cos 2 1< <α D ． 2 2cos 2 1< <α 6. Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 3 4，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．3 32 C ．10 D ．12 7. 点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） 图（1） A ．（ ， ） B ．（-， ） C ．（-，-） D ．（-，-） 二、 填空题（（每题3分，共48分）） 8． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则sin B ＝ ，tan B ＝ ． 9．在△ABC 中,∠C=90°,若cosA=53 ，则tanB=_____,cotB= , cosB= . 10． 一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________． 11． 在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________． 12． 在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠A=______． 13． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，面积为24cm 2，b=6cm, 则sin A ＝ . 14． 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA= 2 3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______. 15． 2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______;=+ 65cos 25cos 22______ 16． =+ 12cos 12sin 22______; =+ 56sin 34sin 22______． 17． 已知锐角α,(1).sin28°=cosα，则α=________, (2).tan28°=cosα,则α=________; (3).cos38°=sinα，则α=________, (4).cot 2432'22''=tan α,则α=____________ . 18.sin40 ，sin75 ，tan45 ，cot25 的大小关系是（用""<符号连接）___________________ 19、若∠A 是锐角，且sinA ＝cosA ，则∠A 的度数是 . 20、在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝2，BC ＝1，那么sinA 的值 是 ； 21、如图(2)，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水 图（2） 解直角三角形 单元测试 (时间：100分钟 满分：150分) 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3sin =a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成 60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题4分，共20分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) A ．54sin = a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( ) 第1章 解直角三角形 专项练习 一、 细心选一选 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=5 3 ，那么tanB=( ) A. 53 B. 54 C. 34 D. 4 3 2. 在△ABC 中， tan A ＝1，cos B ＝2 1 ，则∠C 的度数是（ ） A. 75° B.60° C. 45° D.105° 3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =1，BC =3，则sinA ，cosA 的值分别为( ) A. 21，33 B. 23，21 C. 2 1，3 D. 23，33 4．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( ) A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定 5．已知α是锐角，且sin α+cos α= 3 3 2,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 6 1 D. 1 6．化简：140tan 240tan 2 +-? ? 的结果为( ) A.1+tan40° B. 1－tan40° C. tan40°－1 D. tan 2 40°+1 7.已知β为锐角，cos β≤ 2 1 ，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 8.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( ) A. cos43°＞cos16°＞sin30° B. cos16°＞sin30°＞cos43° C. cos16°＞cos43°＞ sin30° D. cos43°＞sin30°＞cos16° 9．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α, 且cos α= 5 3 ，AB=4，则AD 的长为( ) A.3 B. 516 C. 320 D. 3 16 10．在平行四边形ABCD 中，已知AB=3cm ，BC=4cm ，∠B=60°，则S ABCD 等于( ) A. 63 cm 2 B. 123 cm 2 C.6 cm 2 . D.12 cm 2 二、精心填一填（共6小题；每小题5分，共30分） 11.若2sin （α+5°）=1，则α= °。 12.边长为8，一个内角为120°的菱形的面积为 。 13. 一等腰三角形的腰长为3，底长为2，则其底角的余弦值为 。 14.在△ABC 中，∠BAC=120°, AB=AC, BC=4,建立如下图的平面直角坐标系，则A 、B 、C 个点的坐标分别是;A( ， )、B( ， )、C( ， )。 15.如右下图，把矩形纸片OA BC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结O B 将 A B 第25章解直角三角形-复习与小结 复习内容 本节课主要对本单元内容进行系统梳理． 复习目标 1．知识与技能． 会运用锐角三角函数的概念以及有关直角三角形的概念解直角三角形． 2．过程与方法． 经历探究直角三角形边角关系的过程，应用于解决有关的实际问题． 3．情感、态度与价值观． 形成数形结合的分析方法和应用意识． 重难点、关键 1．重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系． 2．难点：如何应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题． 3．关键：正确理解锐角三角函数的概念，理解直角三角形边角关系．复习准备 1．教师准备：投影仪、收集与本课有关的内容． 2．学生准备：写一份单元知识小结、知识结构图． 复习过程 一、回顾交流，系统跃进 教师讲述：本单元的主要内容是锐角三角函数的概念，特殊的三角函数值，直角三角形中边角间的关系，直角三角形的有关应用等．在实际生活、科学实验、生产实践等方面都有着广泛的应用．主要用来计算距离、高度、角度和面积，也经常用来解决有关代数和几何的问题． 媒体辅助：教师边讲述，边操作投影仪，展示有关图片． 教师讲述：在应用解直角三角形的知识解决实际问题时，关键是把实际问题数学化．这就要求我们认真分析题意，把实际问题中的已知条件与未知元素归结到某个直角三角形中，然后解决问题，对于某些图形不是直角三角形的问题，可以根据问题所给的条件，通过添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形或矩形等来解决，学习中要重视运用数形结合的思想方法． 学生活动：先分四人小组进行小结交流，知识梳理，然后再派代表在全班发言． 投影显示： 1．举出现实中应用锐角三角函数的实例． 2．任意给定一个角，用计算器求这个角的四个三角函数值． 3．锐角三角函数能解决哪些问题？ 4．怎样测量一座楼的高度？有几种方法？ 5．在使用计算器解决问题的过程中，你有什么发现？ 二、范例学习，发展思维 1．例1：在直角三角形ABC中，，cosA、tanA的值． 答案：cosA= tan A= 43 2．例2：根据下列条件求锐角A． （1）4cos2A-3=0; （2）sinA=cos71°11′ 答案：（1）30°（2）18°∠9′ 3．例3 思路点拨：本题有两种解法． 解法1： C D A B 中考题型：解直角三角形 【例1】如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛入附近沿正东方向航行，船在8点时测得钓鱼岛A 在船的北偏 东60。方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30。方向.请 问海监船继续航行多少海里与钓鱼岛A 的距离最近？ 北 【练习】 1. 如图所示，一条自西向东的观光大道 /上有A 、B 两个景点，A 、B 相距2km,在A 处测得另一景点C 位 于点A 的北偏东60。方向，在B 处测得景点C 位于景点B 的北偏东45。方向，求景点C 到观光大道I 的距离.（结 果精确到0.1km ） 2. 如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽. 小凡同学在点A 处观测到对岸C 点，测得匕CAD=45。，乂在距A 处60米远的B 处测得ZCBA=30°,请你根 据这些数据算出河宽是多少？（精确到0. 01m ） 4 B东 3. 如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60。方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30。方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁. （1）试说明B点是否在暗礁区域外； （2）若继续向东航行，有无触礁危险?请说明理由. 【例2】如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低 端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30。，如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m,则旗杆的高度是 多少？（结果保留根号） 【练习】 1. 如图，从热气球C上测得两建筑物A, B底部的俯佑分别为30〃和60”，如果这时气球的高度CD为90米, 且点A, D, B在同一个直线上，求建筑物A, B间的距离. 2017-2018学年九年级数学下册第1章解直角三角形测试卷 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23 ，则BC 的长为( ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313 ,第1题图) ,第2题图) ,第3 题图) ,第4题图) 2．如图①是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt △ABC 中，sin B 的值是( ) A.12 B.32 C ．1 D.32 3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是( ) A.12 B.22 C.32 D.33 4．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( ) A ．3 m B ．3 5 m C ．12 m D ．6 m 5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0 A ．3 B.13 C.83 D ．3或13 7．如图，在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则?ABCD 的面积是( ) A.12ab sin α B ．ab sin α C ．ab cos α D.12 ab cos α ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) 8．如图，AC ⊥BC ，AD ＝a ，BD ＝b ，∠A ＝α，∠B ＝β，则AC 等于( ) A ．a sin α＋b cos β B ．a cos α＋b sin β C ．a sin α＋b sin β D ．a cos α＋b cos β 9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( ) A.53 B.23 C.255 D.52 10．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°.将纸片折叠，点A ，D 分别 落在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F ⊥CD 时，CF FD 的值为 ( ) A.3－12 B.36 C.23－16 D.3＋182018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案
九年级下第一章解直角三角形专项练习3
《解直角三角形》章节测试题
解直角三角形单元测试题
九年级下第一章解直角三角形专项练习四
第25章 解直角三角形-复习与小结 修订版教案-
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2018年最新浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形试题及答案