新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习

新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习知识点一：二次函数的定义

1．二次函数的定义：

一般地，形如2

=++（a b c

y ax bx c

，，是常数，0

a≠）的函数，叫做二次函数．

其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

知识点二：二次函数的图象与性质

?

2. 二次函数()2

=-+的图象与性质

y a x h k

（1）二次函数基本形式2

=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小

y ax

（2）2

=+的图象与性质：上加下减

y ax c

（3）()2

y a x h =-的图象与性质：左加右减

（4）二次函数()2

y a x h k =-+的图象与性质

3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质

（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值

2

44ac b a

-． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值

2

44ac b a

-．

4. 二次函数常见方法指导

（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）

利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：

① 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； ② 可以由抛物线2

ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、

的值，通常选择一般式.

②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

③交点式：

.已知图象与轴的交点坐标

、

，通常选择交点式.

（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法

①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+

??

? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b

x 2-

=. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线c bx ax y ++=2

中，c b a ,,的作用

①a 决定开口方向及开口大小，这与2

ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置

由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线a

b

x 2-=，故 如果0=b 时，对称轴为y 轴；

如果

0>a b

（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0

b

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置

当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0

知识点三：二次函数与一元二次方程的关系

5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程

的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时

，则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识

（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2

得交点为(0,)c .

（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2

有且只有一个交点

(h ,c bh ah

++2

).

（3）抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元

二次方程02

=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐

标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2

的两个实数根.

（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图像G 的

交点，由方程组2

y kx n y ax bx c

=+??

=++?的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点;

②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时?l 与G 没有交点.

（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为

()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故

a

c

x x a b x x =

?-=+2121,()

()

a a ac

b a

c a b x x x x x x x x AB ?=

-=-??

? ??-=-+=

-=

-=44422

212

212

2121

知识点四：利用二次函数解决实际问题

7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

新人教版九年级上二次函数基础练习题

1．与抛物线532

12

-+-=x x y 的形状大小相同，开口方向相反的抛物线是（ ） A ．2523412-+-=x x y B ．87212

+--=x x y

C ．1062

12++=x x y D ．532

-+-=x x y

2．二次函数c bx x y ++=2

的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是

（ ）

A ．x ＝4

B ． x ＝3

C ． x ＝－5

D ． x ＝－1． 3．抛物线12

2

+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0

B ．1

C ．－1

D ．±1

4．已知抛物线2

y ax x c =++与x 轴一个交点的横坐标是-1，那么a+c =（ ）

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．2

5．把二次函数122

--=x x y 配方成顶点式为（ ） A ．2

)1(-=x y B ． 2)1(2

--=x y C ．1)1(2

++=x y

D ．2)1(2

-+=x y

6．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）

A ．(0，0)

B ．(1，－2)

C ．(0，－1)

D ．(－2，1)

7．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况是

（ ）

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个异号的实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．没有实数根

8．已知二次函数y=x 2+mx+m-5，则抛物线与x 轴交点个数（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．不能确定，与m 取何值有关

9．函数362

+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3

B ．03≠

C ．3≤k

D ．03≠≤k k 且

10．二次函数c bx ax y ++=2

的图象如右图所示，则abc ，ac b 42

-，b a +2，

c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

11．已知正比例函数y kx =的图象在二、四象限，则二次函数2

2

2k x kx y +-=的图象大致为（ ）

12．抛物线2

y ax bx c =++和直线y ax b =+在同一坐标系的图象为（ ）

13．二次函数2

45y x mx =-+，当2x <-时，y 随x 的增大而减小；当2x >-时，y 随x 的增大而增大；则当x =1时，y 的值为（ ） A ．7-

B ．1

C ．17

D ．25

14．已知函数y=x 2-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）

A ．-1≤x ≤3

B ．-3≤x≤1

C ．x ≥-3

D ．x ≤-1或x ≥3 15．已知抛物线342

++=x x y ，请回答以下问题：

⑴ 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ． ⑵ 图象与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 ．

16．抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0

(填“>”,“<”或“=”) ．

17．抛物线2)1(62

-+=x y 可由抛物线262

-=x y 向 平移 个单位得到．

18．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ． 19．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ．

20．抛物线1422

++-=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ．

21．抛物线()()

422

2-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则=m ．

22．抛物线m x x y +--=22

，若其顶点在x 轴上，则=m ．

23．抛物线2

y ax bx c =++如右图所示，其对称轴为1

2

x =-，设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，其中A 的横坐标为

1

2

，则B 的横坐标为 ；20ax bx c ++=的两个根为 ．

24．二次函数c bx ax y ++=2

的值永远为负值的条件是a 0，ac b 42

- 0．

25．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线2

2y x =-相同，这个函数解析式为____________．

26．二次函数2

2y x x =-, 当x _______ 时, y 随x 增大而增大，当x _________时, y 随x 增大而减小．

27．如右图是2

y ax bx c =++的图象，则(填“>”,“<”或“=”) a ______ 0 , b ______ 0 , c ______ 0 , a+b+c ______ 0 , a-b+c _______0 , b 2-4ac ________ 0 , 2a+b _______0

28．已知2

y ax bx c =++中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）, B （1-，0），则ax 2+bx+c>0的解集是____________; ax 2+bx+c<0的解集是____________． 29．已知二次函数2

y ax bx c =++如右图所示，则其对称轴是____________；如果点12(2,),(3,)A y B y -在抛物线上，则1y __________2y (填“>”,“<”或“=”)．

30．已知二次函数2

y x bx c =-++过四个点12(3,5),(5,5),(2,),(3,)A B C y D y ----，则

1y __________2y (填“>”,“<”或“=”)．

31．已知抛物线c x ax y ++=22

与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （c a ,）在第 象

限． 32． 已知抛物线c bx x y ++=2

与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则c = ．

33．已知二次函数2

y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示,则当4x =时，y = ．

34．如图已知二次函数2

y ax bx c =++的图象经过A （-1，-1），B （0，2），C （1，3）． （1） 求二次函数的表达式．（2）画出二次函数的草图．

35．已知抛物线2

43y x x =-+-

（1）试说明该抛物线与x 轴一定有两个交点．

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B(A 在B 的左边)，且它的顶点为P ，求A ，B ，P 三点的坐标以及△ABP 的面积．

（3）将此抛物线向下平移一个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式． （4）在如图所示的直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线2

43y x x =-+-，并根

据图象写出当x取何值时，函数值大于零．

36．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．

37．在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m2)．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由．（3）根据(1)中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

38．已知二次函数2

y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：

（1）它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ． （2）图象与x 轴的交点个数为 ，与y 轴的交点坐标为 ． （3）求出二次函数的表达式，画出二次函数的精确图（题目已给出列表）．

（4）点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当112,x <<234x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）

A ．12y y >

B ． 12y y <

C ． 12y y ≥

D ． 12y y ≤ （5）当1y <时，x 的取值范围是 ．

39．抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a +b +c ＜0；③c ﹣a =2；④方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根；⑤抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间．

其中正确结论的序号是 ．

40．如图，在同一直角坐标系中，二次函数2

y ax bx c =++的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数y mx n =+的图象与抛物线交于B 、C 两点．

⑴一次函数、二次函数的解析式分别为 ．

⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．

⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值（即2

ax bx c mx n ++<+）． ⑷方程2

0ax bx c mx n ++--=有_____个根．