正弦型函数的周期

正弦型函数()?

ω+

)

(的周期

f sin

A

=x

x

一、教学目标

1.通过学习，让学生掌握正弦型函数周期的推导过程，进而会求解正弦型函数的周期.

2.通过学习，让学生体会到整体代换的方法在数学中的重要性，使学生能够熟练并灵活运用它.

3.通过正弦函数周期公式的推导过程，让学生感受到数学的美，从而加强学习数学的兴趣.

二、教学重难点

重点：1.正弦型函数周期的推导过程.

2.正弦型函数周期的计算公式.

3.整体代换的数学方法.

难点：正弦型函数周期的推导过程.

三、教学过程

1.复习旧知，引入新课

师：通过前面的学习我们知道，如果一个函数)(x

f的周期为a

=a

T，则它应该满足怎么样的关系呢？

(≠

)0

生：满足)

x

=.

f

f+

(a

(

)

x

（设计意图：通过复习，使学生在后面的式子)2()(ω

π+=x f x f 清楚的里得出周期）

师：学习三角函数时，我们首先学习了正弦函数x x f sin )(=和余弦型函数x x f cos )(=，通过描画它们的图像得知，它们的周期都是π2=T ，根据上面的周期公式式子，它们应该满足什么关系呢？ 生：满足()π2sin sin +=x x 、()π2cos cos +=x x .

（设计意图：为后面推导正弦型函数的周期奠基基础）

师：上一节课我们学习了正弦型函数

()?ω+=x A x f sin )(

）且为常数（其中R x A A ∈,0,0≠,,,>ω?ω，通过学习我们知道，它与正弦函数x x f sin )(=有着密切的联系，那么正弦型函数有没有周期呢？，如果有，它该怎么样求解呢？所以本节课我们在正弦函数x x f sin )(=基础上来讨论一下它的周期.

（设计意图：让学生知道这两个函数之间的联系，为后面整体代换方法的应用提供依据）

2.教师讲解，学习主题

首先我们写出正弦型函数

()?ω+=x A x f sin )(，R x ∈.

师：我们如何把它转化为我们熟悉的正弦函数了？大家还记得我

们在解方程012-24=+y y 时是如何解得？

生：我们令t y =2，使方程变成我们熟悉的一元二次方程012-2=+t t 来求解的.

（设计意图：让学生复习整体代换的数学方法，为下面把正弦型函数转化为正弦函数提供基础）

师：我们如何把()?ω+=x A x f sin )(转化成我们熟悉的正弦函数？ 生：令 ?ω+=x z ，R z ∈

（设计意图：让学生感受到成功的喜悦，增强学习的自信心） 师：上面一步我们运用了数学一个非常重要的方法整体代换的方法，可见，通过这种方法会把不熟悉的东西变成我们熟悉的东西，通过代换则有z A x f sin )(=即变成了我们非常熟悉的正弦函数.

（设计意图：让学生再次体会整体代换的方法，为得出结论做出铺垫）

师：我们知道正弦函数的周期为π2=T ，那么我们能得到什么式子？

生：())2(2sin sin )(ππ+=+==x f z A z A x f

师：我们再把它还原过来，有

()()π?ω?ω2sin sin )(++=+=x A x A x f

为了和()?ω+x A sin 保持一致，我们把()π?ω2sin ++x A 写成()?πω++2sin x A .

师：我们知道()?ω+=x A x f sin )(中函数的自变量为x ，那么()?πω++=2sin )(x A x f 中函数的自变量是什么？

生：是ωπ2+x .

（设计意图：为得出最后结论而做铺垫，为学生自己得出总结而理清思路）

师：于是有 ()()π?ω?ω2sin sin )(++=+=x A x A x f

()

?πω++=2sin x A

()[]?ωωπ++=2sin x A )2(ωπ+=x f . 即有)2()(ωπ+=x f x f ，那么它的周期应是多少？

生：是ωπ

2.

3.得出结论

一般地，正弦型函数

()?ω+=x A x f sin )( 的周期为ω

π2=T ）且为常数（其中R x A A ∈,0,0≠,,,>ω?ω. 4.例题讲解，深化主题

求下列函数的周期.

（1）43sin 2x y =，

R x ∈； （2）()

432sin π+=x y ，R x ∈； （3）ππ3sin cos 3cos sin x x y +=，R x ∈；

（4）x x y cos sin +=，R x ∈.

5.课堂小结，巩固反思

本节课我们学习了正弦型函数的周期求解公式以及它的推导过程，再次体会了一类非常重要的数学方法，整体代换的方法，为以后的数学学习奠定基础.