高二立体几何大全
立体几何习题
1. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，
,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面
(1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；
(2) 若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值
2. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B ＝2
6a ， （Ⅰ）求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：A 1B ⊥面AB 1C .
3. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面
ABCD ，SB =
3
1．求证BC SC ⊥；
2．求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
3．设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小
B
C D
A P
M F
E
4. 在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.
（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；
（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.
5. 如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C —DE —C 1的正切值;
(2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.
6. 如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.
（I ）证明PA ⊥平面ABCD ；
（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角 的大小；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.
1
B 1D B
A 1E
F
B C
D
A P E
7. 在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP. (Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；
(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.
8. 如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.
（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，
（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.
9. 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；
(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小． · B 1 P
A C D A 1 C 1 D 1
B O H ·
C
A
C
10. 三棱锥P-ABC 中，侧面P AC 与底面ABC 垂直，P A =PB =PC =3. (1)求证 AB ⊥BC
；
(II)如果 AB=BC=AC 与侧面P AC 所成角的大小．
11. 如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.
12.已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥?=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ， 点E 为AB 中点，点F 为PD 中点. （1）证明平面PED ⊥平面PAB ；
（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值.
C