八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题综合模拟测评检测

八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题综合模拟测评检测

一、解答题

1．在ABC ?中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.

（1）求CD 的长.

（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.

①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.

②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.

2．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．

（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持

不动，让

从重合位置开始绕点转动，在转动的

过程，观测

的大小和

的形状，并列出下表：

的大小 的形状

…

直角三角形 …

直角三角形

…

请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；

（2）猜想一般结论在中，设，，（），

①若为直角三角形，则满足；

②若为锐角三角形，则满足____________；

③若为钝角三角形，则满足_____________．

（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面

（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．

（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）

A．一定是锐角三角形

B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形

C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形

3．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．

（1）如图1，求∠BGD的度数；

（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；

（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．

4．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB 方向运动，到达点B时运动停止．

（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；

（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

5．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且

∠EAP＝60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．

（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．

6．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ?，ADE ?，AFO ?均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ?内部，点E 在

ABC ?的外部，32=AD ，30DOE ∠=?，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .

（1）求点A 的坐标；

（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ?的周长.

7．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题

问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．

（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．

（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．

8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．

（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度； （2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ； （3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；

（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．

9．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．

（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；

（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．

（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 122），P 2（2，2），P 3

（2，22），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）

10．（1）计算：1

312248233?÷ ?

（2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．

11．如图，△ABC 中，90BAC ∠=?，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ?<∠

（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).

（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.

12．（1）如图1，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，60A ∠=?，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.

小明为解决上面的问题作了如下思考：

作ADC ?关于直线CD 的对称图形A DC '?，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且

CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.

（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：

如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.

13．已知ABC ?中，AB AC =.

（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：

BD CE =

（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，

CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；

（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求

AD

AB

的值.

14．Rt ABC ?中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .

15．如图所示，已知ABC ?中，90B ∠=?，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是

ABC ?的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒

1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．

（1）则BC =____________cm ；

（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

16．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．

(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．

17．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：

（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；

（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；

（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．

①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．

18．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ?=-

（1）在ABC ?中，若90ACB ∠=?，81AB AC ?=，求AC 的值．

（2）如图2，在ABC ?中，12AB AC ==，120BAC ∠=?，求AB AC ?，BA BC ?的值．

（3）如图3，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ?=，8AC =，

64AB AC ?=-，求BC 和AB 的长．

19．如图，ABC ?是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．

（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=?；

②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=?=，则BCG ?的面积为______________．

20．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD

()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；

()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．

①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这

个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．

想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．

请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)

②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关

系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）CD=8；（2）t=4；（3）

12-

=

t

v

t

(26

t≤<)

【分析】

（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=1

2

BC，然后利用勾股定理

求出AE，再用等面积法可求出CD的长；

（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据

△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；

（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】

解：（1）如图，作AE⊥BC于E，

∵AB=AC，

∴BE=1

2

BC=25

在Rt△ABE中，

()2

222

AE=AB BE=1025=45

--

∵△ABC的面积=11

BC AE=AB CD 22

??

∴

BC AE4545 CD===8

AB

??

（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，

∵△ABC的面积=11

AC BF=AB CD

22

??，AB=AC

∴BF=CD

在Rt △CPD 和Rt △BQF 中 ∵CP=BQ ，CD=BF ， ∴Rt △CPD ≌Rt △BQF （HL ） ∴PD=QF

在Rt △ACD 中，CD=8，AC=AB=10 ∴22AD=AC CD =6- 同理可得AF=6

∴PD=AD=AP=6-t ，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF 得6-t=6-2t ，解得t=0， ∵t ＞0，

∴此种情况不符合题意，舍去； 当Q 点在FC 之间时，如图所示，

此时PD=6-t ，QF=2t-6 由PD=QF 得6-t=2t-6， 解得t=4， 综上得t 的值为4.

（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，

∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ， ∴PD=6-t ，QF=vt-6， 由PD=QF 得6-t=vt-6， 整理得12-=

t

v t

， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC ∴610<≤vt ，代入12-=

t

v t

得 61210<-≤t ，解得26t ≤<

所以答案为12-=t

v t

(26t ≤<) 【点睛】

本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形

对应边相等建立方程是解题的关键.

2．【体验】（1），5；（2）②；③；【探索】为锐角三角形；道理见解析；【应用】．

【解析】

【分析】

本题从各个角度证明了勾股定理，运用图形与证明结合，依次证明即可,具体见详解.

【详解】

体验：（1）

如上图，

（2）

根据大角对大边，若为直角三角形，则满足，那么锐角、钝角如下;②；

③．

【探索】

在中，，

在中，，

在中，，

∴，

∴为锐角

同理，和都为锐角．

∴为锐角三角形．

【应用】

根据【探索】中的方法，进行探究可以发现，可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，故答案选C

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明及应用，以及三角形的边与边的关系，能利用数形结合是解答此题的关键.

3．（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝

263．

【解析】

【分析】

（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由

∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；

（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由

CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB；

（3）解直角三角形求出BC即可解决问题；

【详解】

（1）解：如图1﹣1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∵∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，

在△DAE和△BDF中，

AD BD

A BDF

AE DF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△DAE≌△BDF，

∴∠ADE＝∠DBF，

∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，

∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．

（2）证明：如图1﹣2中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接CG．

∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ， ∴△GMB 是等边三角形， ∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°， ∴∠MBD ＝∠GBC ， 在△MBD 和△GBC 中，

MB GB MBD GBC BD BC =??

∠=∠??=?

， ∴△MBD ≌△GBC ，

∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°， ∵CH ⊥BG ， ∴∠GCH ＝30°， ∴CG ＝2GH ，

∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ， ∴2GH ＝DG+GB ．

（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝

GCH ＝30°，

∴tan30°＝

GH

CH

， ∴GH ＝4， ∵BG ＝6， ∴BH ＝2，

在Rt △BCH 中，BC

= ∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形， ∴S 四边形ABCD ＝2?S △BCD ＝

2×4

×

（2＝

． 【点睛】

本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

4．（1）S=24(06)464(616)

t t t

??? （3）存在，(6,6)

或(6,10-

，

(6,2)

【解析】 【分析】

（1）当P 在AC 段时，△BPD 的底BD 与高为固定值，求出此时面积；当P 在BC 段时，底边BD 为固定值，用t 表示出高，即可列出S 与t 的关系式；

（2）当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时，设P （m ，10），则PB=PB ′=m ，由勾股

定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；

（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．

【详解】

解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），

∴OA=6，OB=10，

当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，

∴

S=1

2

×8×6=24

；

当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，

∴S=

1

2

×8×（16-t）=-4t+64；

∴S与t之间的函数关系式为：

240t6

S

4t64(6t16)

<≤

?

=?

-+<<

?

（）

；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，

∵OB′=OB=10，OA=6，

∴AB′=22

OB OA

-

＇=8，

∴B′C=10-8=2，

∵PC=6-m，

∴m2=22+（6-m）2，

解得m=

10

3

则此时点P的坐标是（

10

3

，10）；

（3）存在，理由为：

若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，

①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8，

在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，

根据勾股定理得：CP1=22

-=，

8627

∴AP1＝10?27，

即P1（6，10-27），

②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；

③当DB=DP3=8时，

在Rt△DEP3中，DE=6，

根据勾股定理得：P3E=22

-=，

8627

∴AP3=AE+EP3=27+2，

即P3（6，27+2），

综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，10-27），（6，27+2）．

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．

5．（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．

【解析】

【分析】

（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AC＝AB，再证明△BAE≌△DAF，得出AE ＝AF，即可得出结论；

（2）连接AC，同（1）得：△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再证明△BAE≌△CAF，即可得出结论；

（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，得出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF 内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x ＝3﹣即可．

【详解】

（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：

连接AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，

∵点E是线段CB的中点，

∴AE⊥BC，

∴∠BAE＝30°，

∵∠EAF＝60°，

∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，

在△BAE和△DAF中，

，

∴△BAE≌△DAF（ASA），

∴AE＝AF，

又∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等边三角形；

故答案为：等边三角形；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

同（1）得：△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

∵∠BCD＝∠BAD＝120°，

∴∠ACF＝60°＝∠B，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF；

（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，

∴∠ACF＝120°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABE＝120°＝∠ACF，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，AE＝AF，

∵∠EAF ＝60°， ∴△AEF 是等边三角形， ∴∠AEF ＝60°，

∵∠EAB ＝15°，∠ABC ＝∠AEB +∠EAB ＝60°， ∴∠AEB ＝45°，

∴∠CEF ＝∠AEF ﹣∠AEB ＝15°，

作FH ⊥BC 于H ，在△CEF 内部作∠EFG ＝∠CEF ＝15°，如图3所示： 则GE ＝GF ，∠FGH ＝30°， ∴FG ＝2FH ，GH ＝FH ，

∵∠FCH ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝60°，

∴∠CFH ＝30°， ∴CF ＝2CH ，FH ＝CH ，

设CH ＝x ，则BE ＝CF ＝2x ，FH ＝

x ，GE ＝GF ＝2FH ＝2

x ，GH ＝

FH ＝3x ，

∵BC ＝AB ＝4， ∴CE ＝BC +BE ＝4+2x ， ∴EH ＝4+x ＝2x +3x ， 解得：x ＝﹣1，

∴FH ＝

x ＝3﹣

，

即点F 到BC 的距离为3﹣

．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

6．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+ 【分析】

（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出

2263OA AB OB =-=A 的坐标；

（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=?，证出

FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ???，即可得出DF OE =；

（3）证出90AGO ∠=?，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证

出6090FDO AFD AOD ∠=∠+?+∠=?，由等边三角形的性质得1

332

DG OF ==

即可得出答案． 【详解】 解：（1）

ABC ?是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，

6OB ∴=，12AB AC BC ===

，OA ===

∴点A 的坐标为(0

，；

（2）DF OE =；理由如下：

ADE ?，AFO ?均为等边三角形，

AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=?，

FAD OAE ∴∠=∠，

在FAD ?和OAE ?中，AF AO FAD OAE AD AE =??

∠=∠??=?

，

()FAD OAE SAS ∴???，

DF OE ∴=；

（3）60AOF ∠=?， 30FOB ∴∠=?， 60ABO ∠=?， 90AGO ∴∠=?，

AFO ?

是等边三角形，AO =

·sin 609AG OA ∴=?=

=， FAD OAE ???， AOE AFD ∴∠=∠，

30DOE AOD AOE ∠=?=∠+∠， 30AOD AFD ∴∠+∠=?，

FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，

60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+?+∠=?+?=?， AG OF ⊥，AOF ?为等边三角形， G ∴为斜边OF 的中点，

11

22

DG OF ∴==?=

ADG ∴?

的周长9AG AD DG =++=+

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

7．（1）13，17，10，11

2

；（2）图见解析；7． 【分析】

（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积． （2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可． 【详解】

解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝

2213+＝10，

S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112

， 故答案为13，17，10，11

2

． （2）△PMN 如图所示．

S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7， 故答案为7． 【点睛】

此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

8．（1）t ，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t 212+1，BE 3． 【解析】 【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； （2）根据SAS 即可证明△ADE ≌△CDF ；

（3）由△ADE ≌△CDF ，即可推出∠ADE =∠CDF ，推出∠EDF =∠ADC =90°； （4）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】

（1）由题意：AE =t ．

∵CA =CB ，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD =∠ACD =45°． 故答案为t ，45．

（2）∵∠ACB =90°，CA =CB ，CD ⊥AB ，∴CD =AD =BD ，∴∠A =∠DCB =45°． ∵AE =CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ）．

（3）∵点E 在边AC 上运动时，△ADE ≌△CDF ，∴∠ADE =∠CDF ，∴∠EDF =∠ADC =90°．