Rn空间的区域套定理
算子理论论
Research Institute of Antennas & RF Techniques School of Electronic and Information Engineering South China University of Technology 计算电磁场第3讲 算子理论与逼近理论 褚庆昕 华南理工大学 电子与信息学院 天线与射频技术研究所
Research Institute of Antennas & RF Techniques 算子理论 逼近理论 误差分析 第3讲内容
3-1-1 映射和算子 Research Institute of Antennas & RF Techniques
Research Institute of Antennas & RF Techniques 按照映射前后两个集合的不同类型有三种基本的映射关系： 函数：数与数的对应关系。 泛函：函数与数之间的对应关系。 算子：函数与函数之间的对应关系。 算子有多种形式：微分，不定积分，Fourier 变换，Laplace 变换，矩阵，梯度，旋度，散度等。
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Research Institute of Antennas & RF Techniques 3-1-2常用算子 线性算子 符合以下条件的算子L 称为线性算子(a) (b) 单位算子I 零算子θ 逆算子L -1，若，则称为的逆算子 1212()L u u Lu Lu +=+()L u Lu αα=Iu u =0u θ=1LL I -=1L -L
第三章逐次逼近法
第三章 逐次逼近法 1.1 1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。 2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为： 1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。 3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。 4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)( Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式 f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111 )(])1[()( 三种迭代方法当1)( ∑ ≠-，于是
Bernstein-Sikkema算子逼近
第19卷 增刊数学研究与评论V o l.19Supp 1999年4月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON A p r.1999 Bern ste i n-Sikkema算子逼近Ξ 熊庆良 (绍兴鲁迅学院,浙江312000) 曹飞龙 (宁夏大学数学系,银川750021) 摘 要:研究Bernstein2Sikkem a算子的逼近问题,得到强型正定理和弱型逆定理,改进了文献[1]的结果. 关键词:Bernstein2Sikkem a算子,光滑模,逼近. 分类号:AM S(1991)41A10,41A36 CL C O174.41 文献标识码:A 文章编号:10002341X(1999)增刊20261205 1 引 言 记权函数Υ(x)=(x(1-x))1 2.对于f∈C[0,1],定义带权光滑模[2] ΞrΥ(f,t)=sup 0 文献综述 数学与应用数学 关于Bernstein-Sikkema 算子逼近性质的研究 一、国内外研究现状 Bernstein 于1912年提出了Bernstein 算子，它在逼近论、计算数学以及概率论等相关领域都有着重要的影响，与其有关的研究一直以来从未间断过，其中一个研究分支就是从各个方面对Bernstein 算子就行推广，如Bernstein-Sikkema 算子，这是由Sikkema 于1975年首先在Uber die schurerschen linearen pesitiven operatoren 一文中提出，近几十年来该方面的研究也一直受到众多学者的光顾。 熟知，对于，其对应的Bernstein 算子为 [0,1]f C ? .0 (,)()(),n n n k k k B f x p x f n N n ==?? 其中 .()(1),[0,1]k n k n k n p x x x x k -??÷?=÷-??÷ ÷?è? P.C.Sikkemax 修改Bernstein 算子为如下的Bernstein-Sikkema 算子 0(,)(1)()n k n k n k n k L f x x x f k n n a -=??éù÷?ê=÷-?÷ê÷?+è??? ?并讨论了他的一些逼近性质。对k 维单纯形上的Bernstein-Sikkema 算子，应用“扩张乘数法”研究了无界函数的逼近定理，之后，又对[0,1]上只有第一类间断点的函数用Bernstein-Sikkema 算子逼近，得到了逼近定理。李松研究并证明了该算子逼近的正逆定理的基础上，熊庆良利用光滑模和K-泛函改进了李松的结论并巧妙的给出了强型正定理。 Ditzian 研究了Bernstein 算子 ,,0 (,)()(()(1),0,1n k n k n n k n k k n k B f x p x f p x x x f C k n -=??÷?éù÷?÷??÷?è? = =-??得出如下正结果 12 12 (,)()((,)()),[0,1]n B f x f x C f n x x I l j w l j - --￡?=其中： 为二阶统一光滑模 22001;()(,)sup ()h h t x f x f x l j l j w l j <￡￡￡= =D 高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________. 答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ） 《空间向量的正交分解及其坐标表示》 教学设计 杨华 燕大附中 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计 一、教学任务及对象 1、教学内容分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析 本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 三、重、难点分析 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 四、教学策略 为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析 本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力． 空间向量基本定理 【学习目标】 在复习平面向量定理的基础上，掌握空间向量基本定理及其推论； 【学习重点】 掌握空间向量基本定理及其推论； 【学习难点】 掌握空间向量基本定理及其推论。 【课前预习案】 一、复习 平面向量向量基本定理 。 二、课本助读：认真阅读课本第35页的内容. 1.空间向量基本定理：如果向量 ， ， 是空间中三个 的向量，a 是空间中 向量，那么 实数123,,λλλ，使得 112233a e e e λλλ=++①。 空间中 的三个向量123,,e e e 叫做这个空间的一个 。①式表式向量a 关于基底123,,e e e 的分解。 特别地，当向量123,,e e e 时，就得到这个向量的一个正交分解。当1e i =，2e j =，3e k =时，就是我们前面学过的标准正交分解。 2.以下四个命题中正确的是( ) A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量 C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB ·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 【课堂探究案】 探究一：基底的判断 A / C M E D / B / D B 1.若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( ) A ．a,2b,3c B ．a ＋b ，b ＋c ，c ＋a C ．a ＋2b,2b ＋3c,3a －9c D ．a ＋b ＋c ，b ，c 2.在以下3个命题中，真命题的个数是( ) ①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ， b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 探究二：用基底表示向量 3. 如图，在正方体///B D CA OADB -中，，点E 是AB 与OD 的交点,M 是OD / 与CE 的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示OD 和OM 4.如图，在平行六面体 ABCD —A ′B ′C ′D ′中， 的单位向量分别是' ,,,,321AA AD AB e e e 且,2=AB ,5=AD ,7'=AA 试用321,,e e e 表示AC 、B A '、 D A '、'AC . 【课后检测案】 1.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列关于1AC 的表达式中： ①1AA ＋A 1B 1→＋A 1D 1→ ； 《3.1.2空间向量基本定理》教案 一、教学目标： 1．知识目标：了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。 2．能力目标：通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。 3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。 二、教学重点： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。 三、教学难点： 空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。 四、教学过程 1．复习引入： 在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。（找同学回答） 由上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？ 结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影） 注意：①向量0a ≠； ②a b ∥b a λ?=是共线向量的性质定理，b a λ=?a b ∥是空间向量共线的判定定理； 2、问题探究： “向量与平面平行”的概念：如果向量a 的基线平行于平面α或在平面α内，就称a 平行于平面α，记作a ∥α。 3.1.2 空间向量的基本定理 学习目标 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 知识点一 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b . 2．向量共面的条件 (1)向量a 平行于平面α的定义 已知向量a ，作OA → ＝a ，如果a 的基线OA 平行于平面α或在α内，则就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α. (2)共面向量的定义 平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (3)共面向量定理 如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b . 知识点二 空间向量分解定理 1．空间向量分解定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 2．基底 如果三个向量a ，b ，c 是三个不共面的向量，则a ，b ，c 的线性组合x a ＋y b ＋z c 能生成所有的空间向量，这时a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{a ，b ，c }，其中a ，b ，c 都叫做基向量．表达式x a ＋y b ＋z c ，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合． 1．向量a ，b ，c 共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × ) 2．若向量e 1，e 2不共线，则空间任意向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．( × ) 3．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .( × ) 1 装 订 线 庆云第一中学课堂导学案 （设计者：于长田 审核者：刘晓莉） 年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）44日期 2015-12-02 班级 姓名 3.1.2空间向量基本定理 一．学习目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向 量基本定理的证明。 二．自学指导：阅读课本P82—P84页注意下面问题。 1.共线向量定理： 2.共面向量： 3.共面向量定理： 4.空间向量分解定理： 三．知识应用 例1在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1， 用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ 练习：1.已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设，AB = a ，AD =b ，1AA =c 用基底{} ,,a b c 表示如下向量 ： (1) 111,,,AC AB A D DC (2)AG (G 是侧面CC 1D 1D 的中心) 2.已知空间四边形OABC 中，M,N 分别是对边OA,BC 的中点，点G 在MN 上，且MG=2GN.设OA=,a ,OB b = ,OC c =试用基底{} ,,a b c 表示OG 例2.已知向量a =1e －22e +33e ，=21e +2e ，=61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？ 3 . 已知2,a i j k =-+ 32,b i j k =-++ -37c i j =+ 证明这三个向量共面。 4.已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p a b c =+-，235q a b c =--，71822r a b c =-++，向量p ，q ，r 是否共面？ 例 3.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD,M,N 分别为PC,PD 上的点，且 PM=2MC,PN=ND 求满足MN=x AB y AD z AP ++的实数x,y,z 的值。 5 已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1 （1）化简112 23 AA BC AB ++并在图上标出其结果。（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧 面BCC 1B 1对角线BC 1上的 3 4 分点，设1MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβλ的值。 练习巩固： 1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是 ( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是 A ．a B ．b C ．a ＋2b D ．a ＋2c 4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 ( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是 ( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC → 确定的一点P 与A ， B ， C 三点共面，则λ＝________. 7．在以下3个命题中，真命题的个数是________． ①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面． ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线． ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． 8．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD → ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共 §9.5.4 空间向量的基本定理 教学目标： ⒈了解空间向量基本定理及其推论； ⒉理解空间向量的基底、基向量的概念 教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）． 教学难点：空间作图． 教学方法：讲授法． 教学过程设计： 一、复习引入 1．复习向量与平面平行、共面向量的概念． 区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的． （2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内． 2．空间共面向量定理及其推论． （1）共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ． （2）共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使得MB y MA x MP +=，或对于空间任意一定点O ，有 y x OM ++=．② OB y OA x OM y x OP ++--=)1( ③ 今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理． 二、新课讲授 问题1：右图中的向量、、AA 是不共面的三个向量，请问向量'AC 与它们是什 么关系？由此可以得出什么结论？AA AC ++=． 由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向 量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量． 问题2：如果向量、AD 、'AA 分别和向量a 、b 、c 共线，能否 用向量a 、b 、c 表示向量AC ？'AC ＝x a +y b +z c 事实上，对空间任一向量AC ，我们都可以构造出上述平行六 面体，由此我们得到了空间向量基本定理： 空间向量基本定理及其应用 教学目的： 1、了解空间向量基本定理； 2、能利用基向量法解一些简单的空间问题. 教学重点： 教学难点： 教学过程： 一、复习引入： 1、（1）向量的平行四边形法则： （2）向量的三角形法则： （3）向量的多边形法则： 2、平面向量基本定理：在平面上，取两个不共线的向量1e 、2e 作基底，则平面内的任一向量a 都可以用1e 、2e 表示，即存在唯一的实数x 、y ，使得12a xe ye =+. 二、讲授新课： 1、空间向量基本定理：在空间，取三个不共面的向量1e 、2e 、3e 作基底，则空间的任一向量a 都可以用1e 、2e 、3e 表示，即存在唯一的实数x 、y 、z ，使得123a xe ye ze =++. 2、将ABCD （包括它的内部）按向量a 平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体，记作平行六面体 ABCD A B C D ''''-. 它的六个面都是平行四边形， 每个面的边叫做平行六面体的棱 三、讲解范例： 例1、三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：ΔABC 为锐角三角形. 例2、设两异面直线a 、b 所成的角为θ，直线a 上两点A 、B 在b 上的射影分别是A′、B′， 则cos θ= A B AB '' . 证：∵AA′⊥A′B ′, BB ′⊥A′B ′， ∴cos 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数 量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ． 高中数学-空间向量的基本定理测试题 自我小测 1．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝2a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线 D ．m ，n ，p 共面 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→ ＝ b ，A 1A →＝ c ，则下列向量中与B 1M → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1 2 b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －1 2 b ＋ c 3．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC → ，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面 D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面 4．三射线AB ，BC ，BB 1不共面，若四边形BB 1A 1A 和四边形BB 1C 1C 的对角线均互相平分，且AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zCC 1→ ，那么x ＋y ＋z 的值为( ) A ．1 B.56 C.23 D.11 6 5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB → ，则λ＝( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23 6．已知G 是△ABC 的重心，点O 是空间任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG → ，则λ＝__________. 7．在Y ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC →＝λAE →＋μAF → ，其中λ，μ∈R ， 则λ＋μ＝__________. 8．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C → ，则x ＋y ＋z 等于__________． 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 一、课标要求：空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示． 二、教学分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显， 就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标 ．．．．．． 的转化 ．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识. 因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比 ．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程， 使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳 ．．．与在推广过程中 ．．上的和谐性 ．．．．．，体验数学在结构 的问题，同时教学过程中，还应注意维度 ．．所带来的影响.” ．．增加 三、教学目标 知识与技能 1．了解空间向量基本定理； 2．理解空间向量的基底、基向量的概念； 3．理解空间向量的正交分解和坐标表示． 过程与方法 1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出； 2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程． 情感、态度与价值观 空间向量基本定理习题 1. 如图，在平行六面体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近 B 的三等分点，若A 1B 1????????? =a ? ，A 1D 1?????????? =b ? ，A 1A ??????? =c ? ，则下列向量中与MN ??????? 相等的向量是( ) A. ?1 2a ? +1 2b ? +1 3c ? B. 1 2a ? +1 2b ? ?1 3c ? C. 1 2a ? ?1 2b ? ?1 3c ? D. ?1 2a ? ?1 2b ? +2 3c ? 2. 已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且MP =2PN ，设向量OA ????? =a ? ,OB ????? =b ? ,OC ????? =c ? ，则OP ????? = ( ) A. 1 6a ? +1 6b ? +1 6c ? B. 1 3a ? +1 3b ? +1 3c ? C. 1 6a ? +1 3b ? +1 3c ? D. 1 3a ? +1 6b ? +1 6c ? 3. 如图，空间四边形OABC 中，OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ， OC ????? =c ? ，且OM =2MA ，BN =NC ，则MN ??????? 等于( ) A. 2 3a ? +2 3b ? +1 2c ? B. 1 2a ? +1 2b ? ?1 2c ? C. ?2 3a ? +1 2b ? +1 2c ? D. 1 2a ? ?2 3b ? +1 2c ? 4. 如图，在平行六面体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB = ∠A 1AD =60°，且AA 1=3，则A 1C 的长为( ) A. √5 B. 2√2 C. √14 D. √17 §9.6空间向量分解定理 教学目的：要求学生掌握空间向量的分解定理，能用三个不共面的向量表示一个向量；或一个向量分解 为三个不共面的向量。 教学重点 空间向量的分解定理 教学难点 将任一向量表示成空间的一个基的线性组合 教学方法 教师在讲课过程中设置大量的小问题，由学生讨论得出结论。 教学时数 二学时 教学过程 一、 复习引入新课： 师：我们在上学期学习过平面向量分解定理，它的内容是什么呢？ 生：设，是平面上不共线的两个向量，则平面上的每一向量c 可以由和线性表出，并且表出方式 唯一。 师：什么是线性表出？ 生：即c 表示为 x a + y b 。 师：什么是向量的坐标？ 生：c 表示为 x + y 后称（x ， y ）为向量c 在基，下的坐标。（投影） 师：那么对于空间中的任意向量能否进行分解，从而确定其坐标呢？这就是今天我们要研究的课题。 二、讲授新课： 1． 空间向量分解定理（投影）：在空间中取定三个不共面的向量1e ，2e ，3e ，则空间中的每一向量a 可以唯一地表示成1e ，2e ，3e 的线性组合：a =a 11e + a 22e + a 33e ,其中a 1， a 2， a 3是实数。 证明（黑板上板演，此处教师提问多个小问题，由学生回答，从而完成证明）： 如图 图1 1e ，2e ，3e 是空间中三个不共面的向量，其中表示1e ，2e 的有向线段在平面α内，表示3e 的有向线段OD 不在平面α内，它们的起点都是点O 。 如果a =0 ，则a =01e +02e +03e 。下面设0a ≠ 。 如果a 与3e 共线，则存在实数λ使得a =λ3e =01e +02e +λ3e 。下面设a 与3e 不共线。 作有向线段OA 表示向量a 。点A 和向量3e 确定一条直线l 。设l 与平面α相交于点M ，连接 OM 。由于有向线段OM 在平面α内，且1e 与2e 不共线（因为1e ，2e ，3e 不共面），因此据平面 向量分解定理，得 OM = a 11e + a 22e （3）， 其中a 1， a 2是实数。 又由于MA 与3e 共线，因此存在实数a 3，使得 MA = a 33e （4） 从（3）式和（4）式得 a =OA =OM +MA = a 1 1e +a 22e +a 33e （5） 综合以上情况可知：向量 a 可以表示成 1e ，2e ，3e 的一个线性组合。 师：唯一性的证明比较复杂，此处不再证明了，有兴趣的同学可以看看。 注（投影）：(1) 空间中取定的三个不共面向量1e ，2e ，3e 称为空间的一个基。 (2) 有序数组（a 1， a 2， a 3）称为向量在基1e ，2e ，3e 下的坐标。 2. 用空间向量的坐标做向量的有关运算 师：在平面向量中，我们讲了如何用平面向量的坐标来作向量的有关运算，在空间向量中也有类似的结 论（以下结论，先由学生猜，教师再投影） 设空间取定了一个基1e ，2e ，3e ，设向量a , b 在这个基下的坐标分别为（a 1， a 2， a 3）和 （b 1， b 2， b 3）.则a = b ? a 1= b 1， a 2= b 2， a 3= b 3即两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相 等。 讨论： a +b ，a -b ， k a 在基1e ，2e ，3e 下的坐标分别为什么？ 证明(板演)： 1? a +b = （a 1 1e +a 22e +a 33e ） +（ b 1 1e +b 22e +b 33e ）=（a 1+ b 1）1e +（a 2+ b 2）2e +（a 3+ b 3）3e 2? a -b = （a 1 1e +a 22e +a 33e ）-（ b 1 1e +b 22e +b 33e ）=（a 1- b 1）1e +（a 2- b 2）2e +（a 3-b 3）3e 3? a = k （a 1 1e +a 22e +a 33e ）= （ka 1）1e +（ka 2）2e +（ka 3）3e 结论：（1）平面向量和与差的坐标： a +b 在基1e ，2e ，3e 下的坐标为（a 1+ b 1， a 2+ b 2， a 3+ b 3），, 1.2 空间向量基本定理-基础练 一、选择题 1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量 是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正 确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确． ，A ，B ，C 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ． 2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A.{a+b ,b -a ,a } B.{a+b ,b -a ,b } C.{a+b ,b -a ,c } D.{a+b+c ,a+b ,c } 【答案】C 【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b -a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底. 3.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB ????? =a ,AD ????? =b ,AA 1??????? =c ,则下列向量中与C 1M ???????? 相 等的向量是( ) A.-12a +12b +c B.12a +12b +c C.-12a -12b -c D.-12a -12b +c 【答案】C 【解析】C 1M ???????? =AM ?????? ?AC 1??????? =12(AB ????? +AD ????? )-(AB ????? +BC ????? +CC 1??????? )=-12a -12b -c . 4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA ????? +OB ????? +OC ????? ,向量b =OA ????? +OB ????? ?OC ????? ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )【文献综述】关于Bernstein-Sikkema算子逼近性质的研究
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