垂直关系的证明
空间垂直关系的证明
一.
三种。 _________.
3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。
4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行
5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________.
6.两个平面的位置关系:_________,_________.
7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行.
8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理
定义
判定如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α 一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则这条直线与该平面垂直
α内的任一直线，而⊥α
l m l n m n m αn
要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面
内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂
直线面垂直）
知识点二、直线和平面垂直的性质
垂直于这个平面内的所有直线
知识点三、二面角
Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）
二面角的平面角的三个特征:
ⅰ.点在棱上 ⅱ.线在面内 ⅲ.与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点为垂O 足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：0
0180θ<<.
知识点四、平面和平面垂直的定义和判定
直二面角，就说这两个平面垂直.
平面垂直
α∩β=l α-l-β=90
o
α⊥β
（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 三．常用证明垂直的方法
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：
（1） 通过“平移”。
（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3）
利用勾股定理。
（4）
利用直径所对的圆周角是直角
中点为PD . 求证：AE ⊥平面PDC.
典例2 利用等腰三角形底边上的中线的性质
2、在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
典例3利用勾股定理
3.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ；
P ABC -2AC BC ==90ACB ∠=
AP BP AB ==PC AC ⊥PC AB ⊥_ D
_ C
_ B
_ A
_ P
A
C
B
P
A
P
B
C
F
E D 典例4利用直径所对的圆周角是直角
4、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC . （1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；
典例5 综合应用
如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ；(2)求四面体PCEF 的体积.
，错误的打“×”。 （ ） （ ）
）
2.已知直线a,b 和平面α，且,,a b a α⊥⊥则b 与α的位置关系是_____________________________.
A
P
3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且1
2
DF AB =
,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面；
4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD 。
证明: BE PDC ⊥平面;
90°； ，正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直；
4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。
B E
1.
是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o证明：AB ⊥PC
2.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；
3.如图，四棱锥中，BC
AB ⊥,，侧面为等边三角形，
．证明：;
PAB S ABCD -BC CD ⊥SAB 2,1AB BC CD SD ====SD SAB ⊥平面
4.如图，在圆锥中，已知
，⊙O 的直径,C 是狐AB 的中点，为的中点．证明：平面
平面;
5．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥
平面PCD ；
PO PO 2AB =D AC POD
⊥PAC
空间垂直关系的相互转化
空间垂直关系的相互转化 山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰 空间的垂直关系包括线线垂直，线面垂直，面面垂直。解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者进行合理的转化。 线线垂直，线面垂直，面面垂直三者之间的关系可以用下图来表示： 线线垂直线面垂直面面垂直 （1） （2）（3）（4） 其中：（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 （2）如果一条直线和一个平面垂直那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直。 （3）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （4）面面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 下面我们通过几个例子来看一下在具体题目中是如何进行转化的。 例1、设ABCD 是空间四边形，,AB AD CB CD ==. 求证：AC BD ⊥. 【证明】如右图，设BD 的中点为K ，连结,AK CK . AB AD =Q ，K 为BD 的中点，AK BD ∴⊥ 同理CK BD ⊥. 又,,AK CK K BD AKC =∴⊥I 面 又,.AC AKC BD AC ?∴⊥面 【点悟】（1）证明线线垂直问题往往转化为线面垂直来解决；直线垂直于平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线，这是证明线线垂直的一条有效途径。（2）本题的转化过程为线线垂直→线面垂直→线线垂直。 例2、如右图，已知平面PAB ABC ⊥平面， 平面PAC ABC ⊥平面，AE PBC ⊥平面，E 为垂足. （1） 求证：PA ABC ⊥平面； （2） 当E 为PBC ?的垂心时，求证：ABC ?是直角三角形.
最新空间几何—平行垂直证明(高一)
空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解 （一）直线与直线平行的证明 1）利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2）利用三角形中位线性质 3）利用空间平行线的传递性：m//a,m//b = a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4）利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 a II - ' a= a II b -b - 5）利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. -// I _ o（nY = a〉= a // b 6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 a _ ：' b _ = a // b 7）利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1） 利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。 2） 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。 3） 利用直线与平面垂直的性质： 1) 利用直线与平面平行的判定定理: 2) a // b 丿 利用平面与平面平行的性质推论: 个平面 3) 1) 利用平面与平面平行的判定定理: 2) 3) // // b = P ：?：〃： 利用某些空间几何体的特性：如 利用定义：两个平面没有公共点 利用定义：直线在平面外,
专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题
专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题 1．如图，在四棱锥P–ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，P A=AD=CD=2， BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且 1 3 PF PC =，求证：CD⊥平面P AD. 2．如图所示，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，1 PA=，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.证明PA BF ⊥. 3．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B 的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC． 4．如图，在三棱锥P-ABC中，CD AB ⊥，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：AB PC ⊥.
5．已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面,C是圆上任一点．求证:平面ABC⊥平面PAC. 6．三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证： （1）AO⊥BC （2）PB⊥AC 7．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC． 8．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点.证明：平面AMD 平面BMC. 9．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1，证明：BE⊥平面EB1C1
10．如图，在四棱锥P?ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E 为AD 的中点.求证：PE ⊥BC . 11．如图所示，四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，2AC BC CD BD ====，2AB AD ==，求证：AO ⊥平面BCD . 12．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且2AP AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求证：DM PB .
空间几何——平行与垂直证明
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
第四讲《垂直关系的证明》
垂直关系的判定与性质 一、知识梳理 (2)两直线垂直的判定 ①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c ③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b?α，a⊥b. ④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. ⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b. ⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a. (4)直线与平面垂直的判定 ①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m?α，n?α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α. ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α. ⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l?β，l⊥a,则l⊥α. ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ. (6)两平面垂直的判定 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a －β=90°?α⊥β. ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l?α，则α⊥β. ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ. 二、典例精析 考点一：线面垂直的判定及性质 例1：如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，A P⊥面ABC，AE⊥ BP于E，AF⊥CP于F. 求证：BP⊥平面AEF (2009·北京)如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△ BCD均为等边三角形，AB=2,AC=6.求证：AO⊥平面BCD.
空间中的垂直关系(带答案)教学提纲
空间中的垂直关系(带 答案)
空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角 为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且 和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线 与这个平面垂直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第 三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作 α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于另一个平面. 四、求点面距离的常用方法：
1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．
2019届高考数学专题15平行垂直关系的证明
培优点十五 平行垂直关系的证明 1．平行关系的证明 例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点． 求证： （1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ， 因为1112 OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ?平面11BB D D ，EG ?平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ． （2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ， 因为1BH D F ∥ ，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又11 11=B D HD D ，=BD BF B ，所以平面BDF ∥平面11B D H ． 2．垂直关系的证明 例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，12AA
（1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ； （3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1 BN BB 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ． 在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥， 又∵OM ?平面1A BM ，1B C ?平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ． （2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ?平面ABC ，∴1AA BM ⊥， 又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥． ∵1=AA AC A ，1AA ，AC ?平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥ ∵=2AC ，∴=1AM ．又∵12AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △中，11tan tan 2AC C A MA ∠== ∴11AC C A MA ∠∠＝， 即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=?，∴11A M AC ⊥ ∵1BM A M M =，BM ，1A M ?平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ． （3）解：当点N 为1BB 的中点，即 112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C
(新)高中数学黄金100题系列第64题空间垂直关系的证明理
第64题 空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ； （2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心 （三角形三条中线的交点）． 【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，， 由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． H C 1 D 1 B 1 A 1 C D A B II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角 A -P B - C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出 AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平 面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ， CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平 面PAD .又AB ?平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略 【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四 面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –A E –C 的余弦值. 【答案】(1)证明略；(2) 7 7 . 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直； 解析：（1）由题设可得，ABD CBD ???，从而 AD DC = 又ACD ?是直角三角形，所以 0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则
立体几何的平行垂直关系的证明高考优化训练
立体几何平行垂直关系的证明高考优化训练 1．平行关系的证明 例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ， 11C D ，1AA 的中点． 求证：（1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ， 因为1112OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ?平面11BB D D ，EG ?平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ． （2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ， 因为1BH D F ∥ ，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ． 2．垂直关系的证明 例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，1=2AA ． （1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ； （3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果 存在，求此时1 BN BB 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12 ． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ． 在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，
2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平 面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱 A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1 相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1 . 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝ 1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面
怎么证明面面垂直
怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB 在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD 垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
垂直关系的证明
空间垂直关系的证明 一. 三种。 _________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 定义 判定如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则这条直线与该平面垂直 α内的任一直线，而⊥α l m l n m n m αn 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂 直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质
垂直于这个平面内的所有直线 知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） 二面角的平面角的三个特征: ⅰ.点在棱上 ⅱ.线在面内 ⅲ.与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点为垂O 足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：0 0180θ<<. 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 直二面角，就说这两个平面垂直. 平面垂直 α∩β=l α-l-β=90 o α⊥β （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 三．常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用直径所对的圆周角是直角
2020年高考数学平行垂直关系的证明大题精做
2020年高考数学平行垂直关系的证明大题精做 1.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11A C CA ⊥平面11BCC B ，且E ，F 分别是BC ，11A B 的中点． （1）求证：11BC A C ⊥； （2）求证：//EF 平面11A C CA ； （3）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出AP AB 的值；若不存在，请说明理由． 2．在四棱锥P ABCD -中，锐角三角形PAD 所在平面垂直于平面PAB ，AB AD ⊥，AB BC ⊥．
（1）求证：BC∥平面PAD； （2）求证：平面PAD⊥平面ABCD． 3．在四棱锥P ABCD ⊥． ∥，AD DC -中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB CD （1）求证：AB∥平面PCD； （2）求证：AD⊥平面PCD； （3）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．
4．如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．π 2 AEB ∠=，AB CD ∥，AB BC ⊥，22AB CD BC ==． （1）求证：AB DE ⊥； （2）求证：平面AED ⊥平面BCE ； （3）线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EF EA 的值；若不存在，说明理由． 1.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP ．此时，1 2 AP AB =． 【解析】（1）∵11BC C C ⊥，又平面11A C CA ⊥平面11BCC B ，且平面11A C CA I 平面111BCC B C C =， ∴1BC ⊥平面11ACC A ． 又∵1A C ?平面11A C CA ，∴11BC A C ⊥．
空间的垂直关系(含答案)
空间的垂直关系 一、基础梳理 1．直线和平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线 ．．．．．．都垂直，我们就说 这条直线和这个平面互相垂直。其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：aα ⊥。 说明：①“任何”表示“所有”，注意与“无数”的区别；②“a⊥α”等价于“对任意的直线m?α，都有a⊥m”；练习：（1）过空间任一点作直线的垂面有 __________个；垂线有 _______条。 （2）过空间任一点作该平面的垂线有 _________条；平行线有 ______条。 （2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 ．．．．．．都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝ 。简称：“线线 ．．垂直 ?线面垂直” 定理：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。”已知：a∥b，a⊥α。则：bα ⊥。（ 3）直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。简称“线面垂直?线线平行”。已知：, a b αα ⊥⊥，则：// a b。 2. （1）平面的斜线、垂线、射影 ①垂线： 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。 ②斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。 ③射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。 练习（1）判断正误：①一条直线在平面上的射影一定是直线；（）②两平行直线在同一平面内的射影是平行线；（）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线；（）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。（） （2）①两条直线在一个平面内的射影为一条直线，则这两条直线的位置关系是_____________； ②直线,a b在α 上的射影是两条相交直线，则a与b的位置关系是__________________； ③两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线，则这两条直线的位置关系是_____________。 （2）射影长相等定理 从平面外同一点 ．．．．．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ⑴射影相等两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长。 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长。 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短。 几个常见模型的射影位置： D D , , )D
空间中的垂直关系(带答案)
空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那 么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂 直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交 所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于 另一个平面. 四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.
题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD． ∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD． 又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣ ﹣﹣（5分） （Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点， ∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC 又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E， ∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC?平面ACF，∴AC∥面B1DE．
空间位置关系的判断与证明.板块四.垂直关系的判断与证明.教师版
【例1】 下列说法正确的有 ． ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． ②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直． 【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】1星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】①错误，过一点有一个平面垂直于已知直线， 该平面内任一条过该点的直线都垂直于已知直线； ②错误，若这无数条直线都是平行直线，则这条直线可以不垂直于这个平面，并且可以与这个平面相交，平行或在平面内； ③正确，这条直线平行于这个平面，则必平行于该平面内的一条直线（过这条直线作一个与此平面相交的平面，交线即满足），而垂直于该平面的直线垂直于平面内任一条直线，故必垂直于这条与此平面平行的直线； ④错误，可以在此平面内，或与此平面平行； ⑤错误，在这个平面内有一组平行线与它异面垂直； ⑥正确，比如正方体上底面的两条相邻的棱互相垂直，且都与下底面平行； 【答案】正确的说法有③⑥． 【例2】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个． 【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】一个可行的例子如下：ABC ?为直角三角形，B ∠为直角， 直线PA ⊥面ABC ，D 为直线PA 上异于A 点的任意点，则四棱锥D ABC -的4个面均为直角三角形．（学生可以试着证明） 【答案】4； 【例3】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ． 典例分析 板块五.垂直关系的判断与证 明
高三优质精准培优平行垂直关系的证明
高三精准培优专练 1．平行关系的证明 例1：如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点． 求证： （1）平面； （2）平面平面． 2．垂直关系的证明 例2：如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时 E F G H1111 ABCD A B C D -BC1 CC 11 C D 1 AA EG∥11 BB D D BDF∥11 B D H 111 ABC A B C - 1 AA⊥ABC M AC= AB BC =2 AC 1 =2 AA 1 B C∥ 1 A BM 1 AC⊥ 1 A BM 1 BB N1 AC N⊥ 11 AA C C 1 BN BB 平行垂直关系的证明
的值；如果不存 在，请说明理由． 一、单选题 1．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： ①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若，，且，则 B ．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C ．若，，则 D ．若，，则 3．给出下列四种说法： ①若平面，直线，则； ②若直线，直线，直线，则； ③若平面，直线，则； ④若直线，，则．其中正确说法的个数为（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 4．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ） （1），，， αm n m n α1m 1n 11m n m n ⊥?⊥11m n m n ⊥?⊥1m 1n m ?n 1m 1n m ?n m n αβl m ⊥l n ⊥m n α?，l α⊥αβαβ∥m α⊥m n ⊥n α∥m n ∥n α⊥m α⊥αβ∥a b αβ??，a b ∥a b ∥a α∥b β∥αβ∥αβ∥a α?a β∥a α∥a β∥αβ∥m n αβm α?n α?m β∥n βαβ?∥∥对点增分集训
空间垂直关系的证明
第64题 空间垂直关系的证明 考向1 空间直线与直线垂直 【例1】【2017四川省遂宁市联考】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形， 1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ． （1）证明： 1B C AB ⊥； （2）若11,3AC AB CBB π ⊥∠=， 1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高． 【例2】．【2018临海市级联考】如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1CC ⊥底面,3,4,5ABC AC BC AB ===, 点D 是AB 的中点. (Ⅰ) 求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证1//AC 平面1CDB . 【例3】【遵义市2018届高三联考】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的 菱形， 60BAD ∠=?.已知2PB PD ==， PA = （Ⅰ）证明： PC BD ⊥； 、
2.【2017昆明一中高考仿真】如图所示的三棱柱A BE D CF ''-中，A B A F ''=， 2BE EF ==． （Ⅰ）证明：A E '⊥BF ； （Ⅱ）若60BEF ∠=，2A E B ''==，求三棱柱A BE D FC ''-的体积． 3.【2017届四川省资阳市高三上学期期末】如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中， 2,1AC CE ==，平面ABC ⊥平面ACEF ． M 是线段EF 上的一个动点． （1）若BM AC ⊥，确定M 的位置，并说明理由； （2）求三棱锥C ABM -的体积． 考向2 空间直线与平面垂直 【例1】【2017武汉部分学校上期起点考】如图，四棱锥P ABCD -中， 90ABC BAD ∠=∠=?，22BC AD ==，△PAB 与△PAD 都是等边三角形． （1）证明：CD ⊥平面PBD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．
平行与垂直证明
c c ∥∥b a b a ∥?1) 平行四边形对边互相平行 2) 三角形中位线性质 3) （即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （二）直线与平面平行的证明 1) 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 （三）平面与平面平行的证明 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P α b a β α a β αα ∥?a β ∥a ?a b α β a b a =??βαβ α∥b a ∥?b ∥a b a α α ??α ∥a ?
α β?⊥a a β α⊥ ?1) 直线与平面垂直的性质： 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 2) 利用平面与平面垂直的性质推论： 如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。 （二）直线与平面垂直的证明 1) 判定定理： 2) 平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 （三）平面与平面垂直的证明 平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 β α⊥?l a a l ⊥?=?⊥α βαβ αl b l a b a l ⊥⊥??=?⊥βαβαβαb a ⊥?α α ⊥?b a a b ⊥?α a b α⊥???? ? ???l b l a l A b a b a ⊥⊥=?? αα β α a l a α β
高中数学经典例题及跟踪训练 空间垂直关系的证明
高中数学经典例题及跟踪训练 空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ； （2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心 （三角形三条中线的交点）． 【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，， 由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． 1 A II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=， 且四棱锥P-ABCD 的体积为 8 3 ，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）326+． 【解析】分析：（1）由AB AP ⊥，AB PD ⊥，得AB ⊥平面PAD ；（2）设AB x =，则四棱锥 P ABCD -的体积 311 33 P ABCD V AB AD PE x -= ??=，解得2x =，可得所求侧面积． 解析：（1）由已知90BAP CDP ==?∠∠，得 AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ?平 面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． （2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ． 由（ 1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥， 可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知 可得AD = ，PE x = ．故四棱锥 P ABCD -的体积 311 33 P ABCD V AB AD PE x -=??=．由题设得 318 33 x =，故2x =．从而2PA PD ==， AD BC ==，PB PC ==．可得四 棱 锥 P A B - 的 侧面积为 112 2 PA PD PA AB ?+?