中考二次函数解决利润应用题
中考数学挑战满分知识点
二次函数应用题
题型一、与一次函数结合
销售总利润=利润×销售量
（利润=售价-成本）
1.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).
(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要
每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元
（1）y=w（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，
则y=﹣2x2+120x﹣1600．
由题意，有，解得20≤x≤40．
故y与x的函数关系式为：y=﹣2x2+120x﹣1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；
（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x=30时，y有最大值200．
故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；
（3）当y=150时，可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150，
整理，得x2﹣60x+875=0，
解得x1=25，x2=35．
∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x2=35不合题意，应舍去．
故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元
2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．
(1)试求y与x之间的关系式；
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润每月的最大利润是多少
解：（1）依题意设y=kx+b，则有
所以y=-30x+960（16≤x≤32）．
（2）每月获得利润P=（-30x+960）（x-16）=30（-x+32）（x-16） =30（-x2 +48x-512）
=-30（x-24）2 +1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少
解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0）.由所给函数图象得
??
?=+=+3015050130b k b k 解得 ???=-=1801b k
∴函数关系式为y ＝－x ＋180.
(2)W ＝(x －100) y ＝(x －100)( －x ＋180) ＝－x2＋280x －18000 ＝－(x －140) 2＋1600
当售价定为140元, W 最大＝1600.
∴售价定为140元/件时,每天最大利润W ＝1600元
某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y （元/千克）与采购量x （千克）之间的函数关系图象如图中折线AB ﹣﹣BC ﹣﹣CD 所示（不包括端点A ）．
（1）当100＜x ＜200时，直接写y 与x 之间的函数关系式： y=﹣+8 ．
O
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润
考
点：
二次函数的应用
分析：（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可；
（3）根据（2）中所求得出，﹣（x﹣150）2+450=418求出即可．
解答：解；（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，
，
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣+8；
故答案为：y=﹣+8；
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤100时，W=（6﹣2）x=4x，
当x=100时，W有最大值400元，
当100＜x≤200时，
W=（y﹣2）x
=（﹣+6）x
=﹣（x﹣150）2+450，
∵当x=150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；
（3）∵418＜450，
∴根据（2）可得，﹣（x﹣150）2+450=418
解得：x1=110，x 2=190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，利用数形结合以及分段讨论得出是解题关键．
5.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：
若日销售量y是销售价x的一次函数．
⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的
函数关系式；
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元此时每日销
售利润是多少元
某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图
象．
（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为60x2，其中自变量x的取值范围是0≤x≤；
（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口
（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．
考
点：
二次函数的应用；一次函数的应用
分析：（1）设函数的解析式为y=ax2，然后把点（1，60）代入解析式求得a的值，即可得出抛物线的表达式，根据图象可得自变量x 的取值范围；
（2）设需要开放x个普通售票窗口，根据售出车票不少于1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可；
（3）先求出普通窗口的函数解析式，然后求出10点时售出的票数，和无人售票窗口当x=时，y的值，然后把运用待定系数法求解析式即可．
解答：解：（1）设函数的解析式为y=ax2，
把点（1，60）代入解析式得：a=60，则函数解析式为：y=60x2（0≤x ≤）；
（2）设需要开放x个普通售票窗口，由题意得，80x+60×5≥1450，
解得：x≥14，
∵x为整数，
∴x=15，
即至少需要开放15个普通售票窗口；
（3）设普通售票的函数解析式为y=kx，
把点（1，80）代入得：k=80，
则y=80x，
∵10点是x=2，
∴当x=2时，y=160，
即上午10点普通窗口售票为160张，
由（1）得，当x=时，y=135，
∴图②中的一次函数过点（，135），（2，160），设一次函数的解析式为：y=mx+n，
把点的坐标代入得：，
解得：，
则一次函数的解析式为y=50x+60．
点评：本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解析式，培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决．
某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：
销售单价x（元/
件）
…55 60 70 75 …
一周的销售量y
（件）
…450 400 300 250 …
（1）直接写出y与x的函数关系式：y=﹣10x+1000
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元
考
点：
二次函数的应用．3718684
分析：（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．
解答：解：（1）设y=kx+b，
由题意得，，
解得：，
则函数关系式为：y=﹣10x+1000；
（2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，
∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）当购进该商品的贷款为10000元时，
y==250（件），
此时x=75，
由（2）得当x≥70时，S随x的增大而减小，
∴当x=70时，销售利润最大，
此时S=9000，
即该商家最大捐款数额是9000元．
点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
题型二、寻找件数之间的关系（一）售价为未知数
1．某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元出售，那么一个星期可售出100件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即当销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润最大利润是多少
设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，
整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360，
∵-10＜0，
∴开口向下，
故当x=24元时，y有最大值为360元．
2．某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）。
⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
⑵求y与x之间的函数关系式；
⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大最大利润为多少
（1）每个面包的利润为（x-5）角，卖出的面包个数为160-20（x-7）=300-20x （2）y=（x-5）（300-20x）其中5≤x≤15
（3）y=-20x2+400x-1500，
当x＝
400
?2×(
?20)
＝10时，y最大，此时最大利润y=500（角）．
3．青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元∕天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房
间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大
设每天的房价为60 + 5x元，则有x个房间空闲，已住宿了30－x个房间．
于是度假村的利润y=（30－x）（60 + 5x）－20（30－x）
法二设每天的房价为x元，利润y元满足=(X-20)(30-(X-60)/5)
法三设房价定为每间增加x元，利润y元满足=
（二）涨价或降价为未知数
1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高比装修前的日租金总收入增加多少元
设每间房的日租金提高x个5元，日租金总收入为y元，则由一间客房的日租金每增加5元，则客房每天出租数会减少6间，可得日租金为（50+5x）元，房间数为（120-6x）间，
，可得y=（50+5x）（120-6x），即y=-30（x-5）2+6750，
设每间房的日租金提高x元 Y=（50+X）（120-6x/5）
2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y 与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少
3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元
4、某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大最大利润是多少
三、考虑二次函数的范围
1．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．
（1）求一次函数y kx b =+的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元
2、某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件.市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件.设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件.（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大每星期的最大利润是多少
3. （本题满分10分）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；
（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元