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等差、等比数列基础练习题及答案
一、选择题
1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1，
，若数列 { a n }
的前 n 项和为 S n 2013
）
，则 S 的值为（
A. 2013
B. 671
C. -671
D.
2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1=
，
a 1= ，则 a 2017=（ ）
A.
B.
C.
D.
3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为
（
）
A. 2
B. 3
C. 2017
D. 3033
4. 已知正项数列 { a n } 满足
，若 a 1=1，则 a 10=
（
）
A. 27
B. 28
C. 26
D. 29
5. 若数列
{a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（
）
A. 2
B.
C. -1
D. 2018
6. 已知等差数列 { a n n 6 3
7 ）
} 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（
A. 49
B. 42
C. 35
D. 28
7. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2
-10x+16=0 两根，则
a 2+a 1007+a 2012=（
） A. 10
B. 15
C. 20
D. 40
8. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5，
则 k=（）
A.2
B.3
C.4
D.5
9.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（）
A. 45
B. 46
C. 47
D. 48
10.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（）
A. 66
B. 55
C. 44
D. 33
二、填空题
1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式
a n=______．
2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么
a n=______．
3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______．
4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n
=______．
5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n
= } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N
______ ．
6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ．
7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．
三、解答题
1.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且=1（n∈N+）．
（1）求数列 { a n} 的通项公式；
（2）设（n∈N+），求的值．
2.数列 { a n} 是首项为 23，第 6 项为 3 的等差数列，请回答下列各题：
（Ⅰ）求此等差数列的公差 d；
（Ⅱ）设此等差数列的前 n 项和为 S n，求 S n的最大值；
（Ⅲ）当 S n是正数时，求 n 的最大值．
3.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2
（n∈N*）．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 { S n} 的前 n 项和 T n．
4.已知数列 { a n} 具有性质：① a1为整数；②对于任意的正整数 n，当 a n为偶数时，；当a n为奇数时，．
（1）若 a1=64，求数列 { a n} 的通项公式；
（2）若 a1，a2，a3成等差数列，求 a1的值；
（3）设（m≥3且 m∈N），数列 { a n n
} 的前 n 项和为 S ，求证：.
等差、等比数列基础练习题答案
【答案】 ( 选择题解析在后面 )
1. D
2. C
3. A
4. B
5. A
6. B
7. B
8. C 9. B 10. D
12. 2n 13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-1
16. - 17. 18. 81
19.解：（ 1）当 n=1，a1= ，
当 n＞1，S n+ a n=1，S n-1+ a n-1=1，
∴a n- a n-1 =0，
即 a n= a n-1，
数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，
∴a n= ．
（2）S n=1- a n=1-（）
n，∴b
n=n，
∴==-，
∴=1-+-+ +- =1- = ．
20. 解：（Ⅰ）由 a1=23，a6=3，所以等差数列的公差 d= ；（Ⅱ）= ，
因为 n∈N*，所以当n=6 时 S n有最大值为78；
（Ⅲ）由，解得 0＜n＜．
因为 n∈N*，所以 n 的最大值为 12．
21.解：（Ⅰ）列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-
n+1n+1
②-①得： a n+1=2a n，
即：（常数），
当 n=1 时， a1=S1=2a1-2，
解得： a1=2，
所以数列的通项公式为：，
（Ⅱ）由于：，
则：，
=，
=2n+1-2．
-2-2- -2，
=2n+2-4-2n．
22. 解：（1）由，可得，，，，，
，a9
=0，，
即{ a n} 的前 7 项成等比数列，从第8 起数列的项均为 0．
（2 分）
故数列 { a n} 的通项公式为．（ 4 分）（2）若 a1
=4k（k∈Z）时，
，，
由 a1，a2，a3成等差数列，可知即 2 （2k ）=k+4k，解得 k=0，故a1=0；
若 a1=4k+1（k∈Z）时，，，
由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k）=（4k+1）+k，解得 k=-1，故 a1=-3；（ 7 分）
若 a1=4k+2（k∈Z）时，，，
由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+2）+k，解得 k=0，
故 a1=2；
若 a1=4k+3（k∈Z）时，，，
由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+3）+k，解得 k=-1，故 a1=-1；
∴a1的值为 -3 ，-1，0，2．（ 10 分）
（3）由（m≥3），可得，，
，
若，则 a k是奇数，从而，
可得当 3≤n≤m+1 时，成立．（ 13 分）又，a m+2=0，
故当 n≤m 时， a
n＞0；当
≥
（ 15 分）n m+1 时， a n=0．
故对于给定的m，S n的最大值为 a1+a2++a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3 -1）+ +（21-1）=（2m+2m-1+2m-2++21）
-m-3=2m+1-m-5，
故．（18分）
1. 解：∵数列 { a n} 满足 a1=a2=1，，∴从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为a3n-2
a3n-2 +a3n-1+a3n
=cos =cos（2nπ- ）=cos（- ）=cos =-cos =- ，
∵2013 ÷3=671，即 S2013正好是前 671 组的和，
∴S2013=- ×671=-．
故选 D．
由数列 { a n 12
} 满足 a =a
=1，，知从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为 a3n-2，由
a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =- ，能求出 S2013．
本题考查数列的递推公式和数列的前n 项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．
2. 解：∵a n+1=，a1=，∴- =1．
∴数列是等差数列，首项为2，公差为 1．
∴=2+2016=2018．
则 a2017= ．
故选： C．
a n+1=，a1=，可得- =1．再利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），
∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2 ×2016+1=2
由 a2017=S2017-S2016，代值计算即可．
本题考查了数列的递推公式，属于基础题．
4. 解：∵
2 2
，∴a n+1 -2a n a n+1 +a n =9，
∴（a n+1-a n）2=9，
∴a n+1-a n=3，或 a n+1-a n=-3，
∵{ a n} 是正项数列， a1=1，
∴a n+1-a n=3，即 { a n} 是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，
∴a10=1+9×3=28．
故选 B．
由递推式化简即可得出{ a n} 是公差为 3 的等差数列，从而得出 a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．
5. 解：数列 { a n} 满足： a1=2，a n+1=，则a2== ，
a3= =-1a4==2
a5= = ，a6= =-1．a7==2．
故选： A．
利用数列的递推关系式，逐步求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．
6.解：∵等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，2a6=a3+6，
∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，
∴=42．
故选： B．
由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数
列的前 n 项和公式能求出S7．
本题考查等差数列的前7 项和的求法，是基础题，解题时要认真
审题，注意等差数列的通项公式和前n 项和公式的合理运用．
7. 解：∵a1，a2013为方程 x2-10x+16=0 的两根
∴a1+a2013=10
由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007
∴a2+a1007+a2012=15
故选： B
由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．
本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10 是关键．
8. 解：已知数列 { a n} 的前 n 项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，
n=1 满足 a n，
∴a n=2n-4，
∵它的第 k 项满足 2＜a k＜5，即 2＜2k-4＜5，解得 3＜k＜4.5，因
为 n∈N，
∴k=4，
故选 C；
先利用公式 a n=求出 a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k 的值．
本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式
a n=的合理运用，属于基础题．
9.解：∵a k=a1+a2+a3+ +a10，
∴a1+（k-1）d=10a1+45d
∵a1=0，公差 d≠0，
∴（k-1）d=45d
∴k=46
故选 B
由已知 a k=a1+a2+a3++a10，结合等差数列的通项公式及求和公式
即可求解
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属
于基础试题
10.解：由等差数列的性质可得： 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即 a1+a11=6．
则 S11
=
×
=11 3=33．
故选： D．
利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.解：由 S n=n2+n，得
a1=S1=2，
当 n≥2时，
a n=S n-S n-1=（n2+n）-[ （n-1）2+（n-1）]=2n．
当 n=1 时上式成立，
∴a n=2n．
故答案为： 2n．
由数列的前 n 项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得 a n，验证首项后得答案．
本题考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，是基础题．
13.解：由 = （n∈N*），可得 a2n+1=a n?a n+2，∴数列
{ a n} 为等比数列，
∵a1=1，a2= ，
∴q= ，
∴a n= ，
故答案为：
由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{ a n}为
等比数列，求出公比，即可得到通项公式
本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．
14.解：∵对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，
∴取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，
∴数列 { a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，
∴a n=-2-2（n-1）=-
2n．∴a3=-6，
∴数列 { a n} 前 10 项的和 S10= =-110．
故答案分别为： -6；-110．
对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，可得数列 {a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．
本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 解：在数列 { a n}中，由，
可知数列是公差为 2 的等差数列，又a1=1，
∴a n=1+2（n-1） =2n-1；
由，
可知数列是公比为 2 的等比数列，又a1=1，
∴．
故答案为： 2n-1；2n-1．
由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为 2 的等差数列，由，可知数列是公比为 2 的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．
本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．
16.解：由题意， a n+1-a n= - ，利
用叠加法可得 a n-a1=1- = ，
∵a1=-1，
∴a n=- ，
故答案为 - ．
由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得结论．
本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．
17. 解：数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），
可知数列 { } 是等差数列，首项为，公差为：5．
可得 = +5（n-1），
解得 a n═．
故答案为：．
判断数列 { } 是等差数列，然后求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算
能力．
18.解：等差数列 { a n} 中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，
∴3a4=33，3a6=21；
∴a4=11，a6=7；
数列 { a n} 前 9 项的和：
．
故答案为： 81．
根据等差数列项的性质与前n 项和公式，进行解答即可．
本题考查了等差数列项的性质与前n 项和公式的应用问题，是基础题目．
19.（1）根据数列的递推公式可得数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，
（2）根据对数的运算性质可得 b n=n，再根据裂项求和即可求出答案
本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化
能力，属于中档题．
20.（1）直接利用等差数列的通项公式求公差；
（2）写出等差数列的前 n 项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由 S n＞0，且 n∈N*列不等式求解 n 的值．
本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．
21.（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用．
22. （1）由，可得{ a n}的前7项成等比数列，从第8 起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n} 的通项公式即可；
（2）对 a1进行分类讨论：若 a1=4k（k∈Z）时；若 a1=4k+1
（k∈Z）时；若 a1=4k+2（k∈Z）时；若 a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出 a1的值；
（3）由（m≥3），可得 a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当 3≤n≤m+1 时，成立，又当 n≤m 时，a n＞0；当 n≥m+1 时，a n=0．故对于给定的 m，S n的最大值为 2m+1-m-5，即可证出结论．
本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数
的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．
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等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项： （1）如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（ （2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n
6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式
新课标高考数学题型全归纳：等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题
等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）
等差等比数列练习题及答案
等差 、 等比数列练习 一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ，则前n 个奇数项的和为（ ） A ．)1(32+-n n B ．)34(2-n n C ．2 3n - D ． 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二．填空题 1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = . 2、等差数列{}n a 中，若2 32n S n n =+，则公差d = . 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是
(完整word版)等差等比数列综合练习题
等差数列等比数列综合练习题 一．选择题 1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比2 1 =q ，那么它的前5项的和5S 的值是（ ） A ． 231 B ．233 C ．235 D ．2 37 3. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（ ） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项 6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则 d c b a ++22等于（ ） A ．1 B ．21 C ．4 1 D ．81 7.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a ?=+=则 20 10 a a =( ) A.2 3 B.32 C.23或 32 D.23-或 32 - 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且
7768,b a b b ==则( ) A.2 B. 4 C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10 D. 9 11.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( ) A. d<0 B. 110s > C.120s < D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则 1 4 a a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题 13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=?a a ，则5a =__________ 15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=L ,则 ()101102200lg x x x +++=L ________ 17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________
等比数列知识点总结与典型例题(精华word版)
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：
等差等比数列知识点梳理及经典例题
A 、等差数列知识点及经典例题 一、数列 由n a 与n S 的关系求n a 由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段 函数的形式表示为1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?。 〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。 分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。 解答：（1） （2） …… 累乘可得， 故 （3）
二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。 （1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列； （2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2 n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差 数列。 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2 n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{ 1 n S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。 分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g → 1n S 与1 1n S -的关系→结论； （2）由 1 n S 的关系式→n S 的关系式→n a
(完整word版)等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档
A 、等差数列知识点及经典例题 一、数列 由n a 与n S 的关系求n a 由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段 函数的形式表示为1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?。 〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。 分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。 解答：（1） （2） …… 累乘可得， 故 （3）
二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。 （1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列； （2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2 n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等 差数列。 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2 n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{ 1 n S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。 分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g → 1n S 与1 1n S -的关系→结论； （2）由 1 n S 的关系式→n S 的关系式→n a 解答：（1）等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =1 1a =2 为首项，以2为公差的等差数列。
等差等比数列专项训练(经典题型)
等差等比数列专项训练 走进高考 1、2018北京理（9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公 式为__________． 2、2018北京文（15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求12e e e n a a a +++L . 3、2018全国1卷理4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =， 则3a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 4、2018全国1卷理14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则 6S =________． 5、2018全国1卷文17．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 6、2018全国2卷文理17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 7、2018全国3卷文理17．等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m 8、2018上海6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若a 3=0，a 8+a 7=14，则S 7= 。 9、2018天津 设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n N *∈，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n S 的前n 项和为()*∈n T n N ， （i ）求n T ； （ii ）证明2 21()22()(1)(2) 2n n k k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑ .
等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点 （一）知识归纳： 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 （常数） ，则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1 1k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 2131 2,,则 组成公差为n 2d 的等差数列； 2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为 偶数时这个结论不成立） ⑤若}{n a 是等比数列，
等差等比数列专项训练(经典题型)
等差等比数列专项训练 走进高考 1、2018北京理（9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公 式为__________． 2、2018北京文（15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求12e e e n a a a +++L . 3、2018全国1卷理4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =， 则3a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 4、2018全国1卷理14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则 6S =________． 5、2018全国1卷文17．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 6、2018全国2卷文理17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 7、2018全国3卷文理17．等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m 8、2018上海6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若a 3=0，a 8+a 7=14，则S 7= 。 9、2018天津 设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n N *∈，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n S 的前n 项和为()*∈n T n N ， （i ）求n T ； （ii ）证明2 21()22()(1)(2) 2n n k k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑ .
等差数列等比数列经典习题总结
数列及等差数列经典习题总结 1.（2010·安徽高考文科·Ｔ5）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( A ) （A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 2.（2010·福建高考理科·Ｔ3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。若111a =-， 466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ A ） A.6 B.7 C.8 D.9 3.（2010·广东高考理科·Ｔ4）已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。若2312a a a ?=， 且4a 与27a 的等差中项为54 ，则5S =( C ) A ．35 B.33 C.31 D.29 4.（2010·辽宁高考文科·Ｔ14）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3=3，S 6 =24，则a 9= 15 . 5.（2010·辽宁高考理科·Ｔ16）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n a n 的最小值为______21/2__. 重点讲解： 1、形如1n n a a pn --=，求n a 常用迭加法。 等比数列 1.（2010·辽宁高考文科·Ｔ3）设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432,s a =- 2332s a =-,则公比q = ( B ) (A)3 (B)4(C)5(D)6 2.（2010·辽宁高考理科·Ｔ6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =( B ) （A ）152 (B)314 (C)334 (D)172 3.（2010·浙江高考理科·Ｔ3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52 S S =（ D ）
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等差数列等比数列综合练习题 一．选择题 1. 已知 a n 1 a n 3 0 ，则数列 a n 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2. 等比数列 { a n } 中，首项 a 1 8 ，公比 q 1 ，那么它的前 5 项的和 S 5 的值是（ ） A ． 31 ． 33 2 ． 35 ． 37 C 2 B 2 D 2 2 3. 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 S 7=35，则 a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列 { a n } 中， a 1 3a 8 a 15 120,则 2a 9 a 10 （ ） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列 a n 的通项公式为 a n 3n 2 28n ，则数列 a n 各项中最小项是 （ ） A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项 6. 已知 a ， b ， c ， d 是公比为 2 的等比数列，则 2a b 等于（ ） 2c d A ．1 B ． 1 ． 1 ． 1 2 C 4 D 8 7.在等比数列 a n 中, a 7 ? a 11 6, a 4 a 14 5, 则 a 20 ( ) a 10 A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 2 或 3 3 2 3 2 3 2 8.已知等比数列 a n 中, a n >0, a 2a 4 2a 3a 5 a 4 a 6 25 ,那么 a 3 a 5 =( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列 a n 中 ,有 2a 3 a 7 2 2a 11 0 ,数列 b n 是等比数列 ,且
等差等比数列经典例题以及详细答案
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 等差等比数列综合应用 二. 重点、难点 1. 等差等比数列综合题 2. 数列与其它章节知识综合 3. 数列应用题 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-22)32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 182+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38= d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、950
[例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ， 21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 109=q ∴ 1)10 9(2-?=n n b 不等式10 921601)(2121??-≤++?+m a a m m m )1(1816)399123936(2 1+??-≤-+-?m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用 【典型例题】 ［例1］一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列, 等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为a d,a,a d (a d) (a d) (a 4)2 (a d)(a 2 d 32) a 2 a d2 2 a2 8a 16(1) (a2d2) 2 32(a d) a (2) 2 a 8a 16 32 32d 2 a 2 3a 4d 0代入（1) d 2 8 1 -(4d 2) 3 16 3d ； 2 32d 64 0 (3d 8)(d 8) 0 8 26 ① d 8 a 10 ②d a 3 9 此三数为2、16、18或-、10、50 9 9 9｛b n｝所有项和为20，求: （1）求a n,b n 2印3d 768 a n 6n 399 20 9 10 不等式2声)n1 1 m(a m 1 a 2m ) 160 如果再把这个 ［例2］等差数列｛a n｝中，印393 ,a2 a3 768 ,{g}是等比数列，q (0,1) ,b1 2 , （2）解不等式?步a2m 160b 2 10
1m(6m 393 12m 399) 16 18 (m 1) 2n 1 n 1 2n 2 2 3 2 2 9m 2 396m 16 18 (m 1) 0 2 m 12m 32 0 T n 中共2n 1个数，依次成等差数列 2n1 3 22n 2 3 2n 2 (m 4)(1 m 8) 0 m {4 ,5,6,7 ,8} [例 3] { a n }等 差，{b n } ，等 比, a 1 b 1 0 , a 2 b 2 0 , a 1 解: a 2 b 2 a 1 d a 1 q ? d a 1 (q 1) b n a n n 1 a 1 (n 1)d ad(q n1 1) (n 1)(q a h [(q 1)(q n2 n 3 q 1) (n 1)(q 1)] a h (q 1)[(q n2 1) (n 1)] a h (q 1)[(q n2 1) / n (q 3 1) ' (q 1) (1 1)]* q (0,1) q 1 0 i q n 1 0 ? * 0 q (1, )q 1 0 n q 1 0 ? * 0 1)] a 2,求证：a n b n (n 3) [例4] (1)求 T n ； (2) S n T n ，求 S n 。 解: 48 a s a 9 a 15 a 1 d 21 T |~T n1共有数1 2 2n 二T n 的第一个为a 2n 1 21 (2n1 1) ??? T n 2n 1 (2n 23) 丄(2" 1) (2n 1 2 1) 2
等差等比数列知识点梳理及经典例题
A、等差数列知识点及经典例题 一、数列 由 n a与 n S的关系求 n a 由 n S求 n a 时，要分n=1 和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段 函数的形式表示为1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 。 〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a的通项公式。 分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用 n a与 n S的关系求解。 解答：（1） （2） ……累乘可得， 故 （3）
二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。 （1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列； （2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2 n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等 差数列。 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2 n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{ 1 n S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。 分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g → 1n S 与1 1n S -的关系→结论； （2）由 1 n S 的关系式→n S 的关系式→n a
等差等比数列经典习题
等差等比数列习题 一 数列的概念 1． 已知* 2 ()156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为____________. 2．在数列{}n a 中，11 ++=n n a n ，且S ｎ＝9，则n ＝_____________. 3.设数列{}n a ，c nb na a n += ，其中a 、 b 、 c 均为正数，则此数列 （ ） A 递增 B 递减 C 先增后减 D 先减后增 4．设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++ ，已知11T =，24T =， （1）求数列{}n a 的首项和公比； （2）求数列{}n T 的通项公式. 5.若数列 {} n x 满足1l g 1 l g n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++= ,则 ()101102200lg x x x +++= _____________________ 二 等差数列和等比数列 1．判断等差等比数列的方法： ()2,1≥=--n d a a n n 或()1,1≥=-+n d a a n n {}n a ?是等差数列 ()0,2,1≠≥=-q n q a a n n 或()0,1,1≠≥=+q n q a a n n {}n a ?是等比数列 例：数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2{}n a 、2{}n a 是等比数列；②{ln }n a 是等差数 列；③1 {}n a 、{||}n a 是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠是等比数列。正确的命题 是 。 2．等差等比数列的两个重要性质： ①若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ ； 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a = ②n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列 ； n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列 例 ：若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个 数列有 项。