中考数学复习必备教案――几何初步及平行线、相交线.

中考数学复习必备教案

几何初步及平行线、相交线

知识点回顾

知识点 1:立体图形与平面图形

1. 常见的立体图形:长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱锥、棱柱等。平面图形:长方形、正方形、三角形、圆等。

2. 主视图、俯视图与左视图 :

(1从物体的 _____观察,看到物体的正面的图形称为主视图.

(2从物体的 ______向下观察,看到物体的顶面的图形称为俯视图.

(3从物体的 _______观察,看到物体的左面的图形称为左视图.

物体的主视图、俯视图与左视图合成为物体的三视图.

(4常见几何体的三视图:

3.几种常见几何体的展开图:

1.圆柱展开图:上、下底面为 ________,侧面是 ________,长方形的长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高。

2.圆锥展开图:底面是 _______,侧面是 ________,扇形的弧长是底面圆的周长。

3.棱柱展开图:上、下底面是 _____________,侧面都是 _________。

4.棱锥展开图:底面是 __________,侧面都是 ________,这些三角形的公共顶点就是棱锥的顶点。

4. 正方体的表面展开图 :

把正方体的表面展开成平面图形后, 有很多种形状, 如果将经过平移、旋转等变化后可以重合的两个图形看成是同一图形,那么正方体的表面展开图共有 11种不同的情况。我们可以将则 11种图形分类:

(1 “一·四·一” 型,中间一行 4个作侧面,两边各 1个分别作上下底面, ? 共有 6种.如图(1——(6 .

(2 “二·三·一” (或一·三·二型,中间 3个作侧面,上(或下边2? 个那行, 相连的正方形作底面,不相连的再下折作另一个侧面,共 3种.如图(7——(9 . (3 “二·二·二”型,成阶梯状.如图(10 .

(4 “三·三”型,两行只能有 1个正方形相连.如图(11 .

例 1、 (2009年内蒙古包头将一个正方体沿某些棱展开后,能够得到的平面图形是(

【解析】本题考查图形的展开与折叠中, 正方体的常见的十余种展开图有关内容,

可将这四

A . (1 (2 (5

(4

(3

(10

(9 (8 (7 (11

(6

个图折叠后,看能否组成正方形,显然只有 C 符合要求。

【答案】 C .

例 2、已知某多面体的平面展开图如图所示,其中是三棱柱的有 ( A 、 1个 B、2个 C、 3个 D、 4个

解析:根据三棱柱的特征判断。

答案:选 A .

例 3、如图,桌面上放着 1个长方体和 1个圆柱体,按下图所示的方式摆放在一起,其左视图是 (

【解析】左视图是从左面去看物体,图中的几何体是一个圆柱和一个长方体组成, 根据圆柱与长方体的三视图可以得出答案.

【答案】 C.

同步检测一:

1. (2009年北京市若右图是某几何体的三视图,则这个几何体是(

A. 圆柱

B. 正方体

C. 球

D. 圆锥

2. (2009

年凉山州一个正方体的平面展开图如图所示,将它折成正方体后“建”字对面是(

A .和

B .谐

C .凉

D .山

3. (2009呼和浩特右图哪个是左面正方体的展开图(

建设和谐凉

山

答案:1. A; 2. D ; 3 .D. 知识点 2:直线、射线、线段

1.直线、线段、射线 :[来源 :学 .

科 . 网 Z.X.X.K] 2.直线、线段公理:

(1 直线公理:_____________________; (2 线段公理:两点之间, ______________;

(3 直线性质:两直线相交, ________________。

例 1. (2007·长沙经过任意三点中的两点共可以画出的直线的条数是( A. 一条或三条 B.三条 C.两条 D.一条

分析:当三点都在同一条直线上时,可以画出一条直线,当三点不在同一条直线上时,根据“两点确定一条直线” ,可以画出三条直线。解:选 A.

例 2. (2008十堰如图, C 、 D 是线段 AB 上的两点,若 CB=4厘米, DB= 7厘米,

且 D 是 AC 的中点,则 AC 的长等于( A . 3厘米 B. 6厘米 C . 11厘米 D. 14厘米

【解析】求 AC 的长关键是求 DC ,而 DC=BD-BC,因为 CB=4厘米, DB= 7厘米, 所以 DC=BD-BC=3厘米,又因为 D 是线段 AC 的中点,所以 AC=2DC=6厘米。【答案】选 B.

例 3. 如图 1. 两面相邻的墙上,分别有两点 A 、 B 。问从 A 到 B 走怎样的路线才能使全长最短 ?

A .

B .

C .

D .

解析:因为这个图不在一个平面内,所以要看出两点距离是不容易的,但只要把图折成图 2,只要在 2图中从 A 到 B 画出一条直线 , 两点之间当然距离最短了。见图

2线 ACB.

同步检测二:

1. 如图 , 从 A 到 B 有 3条路径 , 最短的路径是③ , 理由是

A.因为③是直的

B.两点确定一条直线

C.两点间距离的定义

D.两点之间 , 线段最短

2. 下列说法正确的是 (

A 、两点之间,线段最短 B、射线就是直线

C 、两条射线组成的图形叫做角 D、小于平角的角可分为锐角和钝角两类

3. (2007广西南宁在同一平面内,三条直线两两相交,最多有 3个交点,那么 4条直线两两相交,最多有个交点, 8条直线两两相交,最多有个交点. 【答案】 1.D ; 2.

A ; 3.6, 28.

知识点 2:角

1. 角的两种定义:

①有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角;

②角可以看成一条射线绕它的端点旋转而成的图形。

2. 角的分类:锐角;直角;钝角;平角;周角。

③ 1周角 =__________平角 =_____________直角 =____________.

3. 角的度量、比较及运算。

角的度量是用度、分、秒度量的,在几何中,将周角定为360°, 1°=____′, 1′ =__″, 角度的换算采用 60进制。

4. 角的特殊关系:互为余角、互为补角、对顶角的定义即性质:

如果两个角的和等于 90度,就说这两个角互余,同角或等角的余角相等;如果

____________________互为补角, ________________的余角(补角相等 .

___________________________________叫对顶角,对顶角 ___________.

例 1、若一个角的余角与这个角的补角之比是 2∶ 7,求这个角的邻补角.

例 2、解析:这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念,概念清楚了,问题不难解决.

解:设这个角为α,则这个角的余角为 90°-α,这个角的补角为 180°-α.依照题意, 这两个角的比为 (90°-α ∶ (180°-α=2∶ 7.

所以 360°-2α=630°-7α, 5α=270°,

所以α=54°.从而,这个角的邻补角为

180°-54°=126°.

例 2、 (2009宁德市如图, 已知直线 AB 、 CD 相交于点 O , OE 平分∠ COB ,

若∠ EOB =55o,则∠ BOD 的度数是(

A . 35o

B . 55o

C . 70o

D . 110o

【解析】由 OE 平分∠ COB ,∠ EOB =55o,可得∠ COB=110o;再由∠ COB

和∠ BOD 构成一个平角,可得∠ BOD=70o。

【答案】 C .

同步检测三:

1. (2009四川省资阳市若两个互补的角的度数之比为 1∶

2,则这两个角中较小

.. 角的度数是 _____________.

2. (2009湖南郴州如图,桌面上平放着一块三角板和一把

直尺,小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘,他发现

无论是将三角板绕直角顶点旋转, 还是将三角板沿直尺平移, ∠ 1与∠ 2的和总是保持不变,那么∠ 1与∠ 2的和是 _______度.

3.如图 4-3-30,已知:点 O 是直线 AB 上的一点,

射线 OC 分平角为 1:5两部分, OD 平分∠ BOC 。

(1求∠ BOD 的度数;

(2若∠ DOE=90°,试说明 OE 平分∠ AOC 。

答案:

1.解析:由两个互补的角的度数之比为 1∶ 2,可

设互补的两个角的度数为 x 、 2x ,则 x+2x=1800,解得 x=600.

2.解析:由平角及直角易得∠ 1与∠ 2的和是 90度. B

E C

O

D A

3.解析:因为∠ BOC :∠ AOC=1:5,且∠ BOC 与∠ AOC 互补所以∠ BOC=30°因为 OD 平分∠ BOC 所以∠ BOD=

2

1

×∠ BOC=15°因为∠ BOE=90°

所以∠ COE=90°-15°=75°所以∠ BOE=30°+75°=105°所以∠ AOE=180°-105°=75°所以∠ AOE=∠ COE

知识点 3:相交线、平行线 (一相交线

1. 三线八角:两条直线被第三条直线所截, 构成八个角, 这八个角有三种位置关系①同位角; ②内错角;③同旁内角。

2. 垂直:

_____条直线与已知直线垂直 . ②直线外一点与直线上各点的连的所有线段中, _______________。 3. 两点之间的距离、点与直线的距离:

①连结两点的线段的 ______,叫做这两点间的距离;

②从直线外一点到这条直线的 ___________的长度,叫点到直线的距离。 (二平行线:

1. 定义:______________________________________________.

2. 平行公理:经过已知直线外一点, ____________一条直线与已知直线平行。

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3. 平行线判定与性质 :

(1平行线的性质:两直线平行, ________相等, _______相等, _______互补 . (2平行线的判定:_______相等 , 或 ______相等 , 或 _______互补,两直线平行 .

例 1. (2009年山东省枣庄市如图, 直线 a , b 被直线 c 所截, 下列说法正确的是

A .当 12∠=∠时, a b ∥

B .当 a b ∥时, 12∠=∠

c a b

2

C .当 a b ∥时, 1290∠+∠=

D .当 a b ∥时, 12180∠+∠=

【解析】观察图形知∠ 1的对顶角与∠ 2是同旁内角,根据平行线的性质与判定、对顶角相等,可排除 A 、 B 、 C. 【答案】 D.

例 2. (2009云南省昆明市如图, B 、 A 、 E 三点在同一直线上,请你添加

一个条件, 使 AD ∥ BC . 你所添加的条件是 (不允许添加任何辅助线 .

【解析】由平行线的判定和图形易知∠ EAD=∠ B 、∠ DAC=∠ C 、∠ B+∠BAD=1800

。【答案】∠ EAD=∠ B 、∠ DAC=∠ C 、∠ B+∠ BAD=180°. 例 3. 如图 7,已知∠ 1=∠ D ,∠ 1+∠ A=180°. 可得哪些直线互相平行?请说明理由 .

分析:由条件∠ 1=∠ D ,可知 AD ∥ BC ,又由∠ 1+∠ A=180°,可进一步推出 AB ∥ DC. 理由:因为∠ 1=∠ D (已知 ,

所以 AD ∥ BC (内错角相等,两直线平行 . 又因为∠ 1+∠ A=180°(已知 ,

所以∠ D +∠ A=180°,所以 AB ∥ DC (同旁内角互补,两直线平行 . 同步检测四:

1. (2009年四川遂宁如图 , 已知∠ 1=∠ 2,∠ 3=80O

,则∠ 4=( A.80O

B. 70O

C. 60O

D. 50O

2. (2009湖南省邵阳市如图 ,AB//CD,直线 EF 与 AB 、 CD 分别相交于

E 、

F 两点, EP 平分∠ AEF, 过点 F 作 FP ⊥ EP, 垂足为 P , 若∠ PEF=300

, 则∠ PFC=__________。

3. 如图 8, 给出下列三个论断:A ○ 1EA ∠ B +∠ D=180°; A ○ 2EAAB ∥ CD ; A ○ 3E ABC ∥ DE

。请你以其中两个论断作为已知条件,填入“已知”栏中,

以一个论断作为结论,填入“结论栏中,使之成为一道由已知可得到结论的题目,并说明理由 .

已知,如图 8, ,

结论: .

理由:

.

答案:

1.A.

2.600.

3. 认真观察图形并分析三个论断,考虑到平行线的条件和性质,可得符合题意的有 3种情况,即:A ○

1EA 、A ○ 2EA → A ○

3EA ; A○ 1EA 、A ○

3EA → A ○ 2EA ;A ○

2EA 、A ○ 3EA → A ○

1EA ,可选其中一种即可 . 如:A ○ 1EA 、A ○

2EA → A ○ 3EA 。理由:因为 AB ∥ CD (已知 ,

所以∠ B=∠ C (两直线平行,内错角相等 .

又因为∠ B +∠ D=180°(已知 ,

所以∠ C +∠ D=180°.

所以 BC ∥ DE (同旁内角互补,两直线平行 .

随堂检测:

1. (2009年黄石市一个几何体的三视图如图所示,则此几何

体是(

A .圆锥

B .棱柱

C .圆柱

D.棱台

2. (2009遂宁市一个正方体的表面展开图如图所示,每个面内都标注了字母,如果从正方体的右面看是面 D ,面 C 在后面,则正方体的上面是(

A.面 E

B.面 F

C. 面 A

D.面 B

3.如图 9,已知 AB ⊥ CD ,垂足为 O ,图中∠ 1与∠ 2的关系是(

俯视图主视图左视图

A. ∠ 1+∠ 2=180°;

B. ∠ 1+∠ 2=90°;

C. ∠ 1=∠ 2;

D.无法确定 .

4. 如图 10,直线 a ∥ b ,直线 c 是截线,如果∠ l=50o

,那么∠ 2等于 ( (A 1500

(B 1400

(C 1300

(D 1200

5. 如图 11所示,直线 a ∥ b ,则∠ A=( 度.

6. (2009年重庆如图 12,直线 AB CD 、相交于点 E , DF AB ∥ .若 100AEC ∠=°, 则 D ∠等于( A . 70°

B . 80°

C . 90°

D . 100°

7. 如图 13,直线 a ∥ b ,直线 c 与 a 、 b 相交,若∠ 2=115°,则∠ 1= .

8. 如图 14, AB ∥ CD , EF 分别交 AB 、 CD 于 M 、 N ,∠ EMB = 50°, MG 平分∠ BMF , MG 交于 G. 求∠ 1的度数 .

9. 如图 15, AB ∥ EF , BC ⊥ CD 于 C ,∠ ABC = 30°,∠ DEF = 45°, 则∠ CDE 等于(

A.105°;

B.75°;

C.135°;

D.115°.

10.（2009 年淄博市）如图 16，AB∥CD，AE 交 CD 于点 C， DE⊥AE，垂足为 E，∠A=37o，求∠D 的度数． 1 30°， 2 50°， 11. （2009 年新疆）如图 17，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则 3 的度数等于（ A． 50 °B． 30 °） C． 20° D． 15 °参考答案： 1.C. 2.A. 3.解析：（1）如图 4，由直线AB、CD 相交于点 O，所以∠1 与∠2 是对顶角. 则∠1=∠2 = 28°.（对顶角相等）（2）因为 AB⊥CD，

所以∠AOE＋∠2=90°（垂直的定义）. 又由∠1=∠AOE（对顶角相等），所以∠1＋∠2=90°. 故应选 B. 4.C 5.∠A=22 . 6.B 7.解析：由∠2=115°，则∠3=180°－∠2=180°－115°=65°. 又由 a∥b，所以∠1=∠3 = 65°. 8.解析：因为∠EMB = 50°，所以∠BMF = 180°－∠EMB = 180°－50°=130°. 又由 MG 平分∠BMF，则∠BMG = 0 1 1 ∠BMF = ×130°= 75°. 2 2 因为 AB∥CD，所以∠1=∠BMG =75°. 9. 解析：过

点 C 作 CM∥AB，过点 D 作 DN∥AB. 又由 AB∥EF，所以 AB∥CM∥DN∥EF.

由 AB∥CM，∠ABC = 30°，则∠BCM = 30°. 又由 BC⊥CD，则∠BCD = 90°. 所以∠MCD = ∠BCD－∠BCM= 90°－30°= 60°. 因为 CM∥DN，所以∠MCD =∠1=60°. 因为 DN∥EF，所以∠DEF =∠2= 45°. 因此∠CDE =∠1＋∠2=60°＋45°= 105°. 故

应选 A. 10.53°. 11.C.