大学物理

第二章 流体力学基础

2.1如右图所示的装置中，液体在水平管道中流动， 截面B 与

大气相通。试求盆中液体能够被吸上时 h 的 表达式（设S A ,S B 分别为水平管道 A 、B 出的界面积， Q 为秒流量，C 与大气相通，P c =P o ） 根据水平管道中的伯努利方程以及连续性原理

P

A - V A P

B 2 V B

S

A A S

B V

B

Q

，

P B

P

1 2 1

可以求得截面

A

处液体的压强P A 旳2 Q （

S B

2.2变截面水平管宽部分面积

S 1=0.08cm 2,窄部分的面积

S 2=0.04cm 2，两部分的压强降落时 25Pa ,求管中宽部流体的流动的速度。已知液体的密度为

1059.5Kg/m -3

解：应用连续性原理和水平流管的伯努利方程

P 1 2 V 12 P 2 1 V 2

S 1

V

1

S 2V 2

V i 0.125m / S

P 1 P 2

25Pa

1059.5Kg/m 3

应用水平管道中的伯努利方程知

2 V 2

P

4220

3 3.1cm

汞 g 13.6 103 9.8

2.4半径为0.02m 的水管以0.01m 3s -1的流量输送水，水温为 20C 。问（1 ）水的平均流速是

当 P A P O

gh 即h

1 2 1

亦（S A

1、

Sj ）时，盆中的液体能够被吸上来。

2.3如右图所示，水管的横截面积在粗处为

40cm 2,

细处为10cm 2,水的流量为3 10 3m 3s 1求：（1） 水在粗处和细处的流速。（2 ）两处的压强差。（3） U 型管中水银的高度差。 解：1代表粗处，2代表细处 根据连续性原理：

Q S 1V 1 S 2V 2得

V

1

0.75m/s V 2

Q S2

3.0m/s

水银柱的高度差

多少？ （ 2）流动是层流还是湍流？（ 3）要确定管中流体的最大速度，这些数据是否足够?

vd

5

该体系的雷诺数R

3.17 105

2600为湍流

2.5由于飞机机翼的关系，在机翼上面的气流速度大于下面的速度，在机翼上下面间形成压 强差，因而产生

使机翼上升的力。假使空气流过机翼是稳定流动，空气的密度不变，为

1.29kg/m 3,如果机翼卜面的气流速度为

100m/s , 求机翼要得到

1000Pa 的压强差时，机翼上

面的气流速度应为多少？

解：柏努利方程为

c 1

2

P — W 2

gh 1 F 2

1 2

2

v2

gh 2

由于h 忤h 2,则

P 1 1

2

2

v

1

1 2

P 2 v 2

2

-P

P 2

2

(v ； v 2)

所以

v 2 J 妙—^2

Q J

2 1000

1002 107m/s 2

勺

1

Y 1.29

2.6自来水管与细管间的压强差为

105Pa ,主管和细管的横截面积各为

0.1m 2和0.2m 2,问管子

中水的流量是多少？ 解：1代表主管，2代表细管

运用水平管道中的伯努利方程以及连续性原理

1 2 1

2 5

P

2 v 2 2 v 1

a

，Q &出 S 2V 2

P

1 （S L 1）v 2

得P 2

（

S 2

1）v

1，代如数据得到v 1 8.16m/s

3 1

流量 Q S 1v 1 0.816m 3s 1

2.7 一根长水管，直径为 15cm ，其中充满水，水管的狭细部分直径为

7.5cm ，如果在15cm

直径部分，水的流速为 1.2m/s ，求（1）狭细部分水的流速；（2）以m 3/s 为单位表示出水的

流量。

解：1代表粗部分，2代表细部分 根据连续性原理有 Q ?V 1 S 2V 2

解：平均流速v

7.96m/s

(2)v

二

(R 2

4

Q —

8 l

r 2)

V max

-P R 2 4 I

R 4

2Q

R 2

V max

0.01 2 3.14 0.022 15.92( m S 1)

4 3 1

(2) Q S 1V 1 S 2V 2 2.1 10 4

m 3

s

2.8为了使救火水管中的水流可射达竖直高度为

20m ，问和水管连接的总水管中需要的计示

压强是多少？

运用伯努利方程，设 1表示最高点，2表示总水管处，将总水管处作为零势能点，有

F 0 gh P 2，代入数据得

5

P 2 2.973 105

Pa

2.9在水管的某一点水的流速为

1m/s ，计示压强为3 105Pa ，如果沿水管到另一点，这一

点比第一点高度降低了 20cm ，第二点处水管的横截面积为第一点的二分之一，求第二点处 的计示压强。 解：设第二点处为零势能点，则运用伯努利方程

5

带入数据得P 2

3.035 105Pa

2.10在一个横截面积为 10cm 2的水平管内有水流动，在管的另一端横截面积缩为

5cm 2o L

这两截面处的压强差为 300Pa ,问一分钟内从管理流出的水是多少立方米。

运用伯努利方程和连续性原理

4 3

1

代入数据得 V 1 0.775m/s , Q 3.875 10 4m 3s 1

3 1

一分钟的流量是 q Q 60 0.0232m s

2.11从一水平管中排水的流量是

0.004m 3/s 。管的横截面为 0.01m 2处的绝对压强为 1.2

x 105Pa o 问管的截面积缩为多少时，才能使压强减少为

1.0X 105Pa?

解：对于水平管，其柏努利方程为

因为

v 1

Q

,v 2

s 1

Q S 2

所以

2 v

2

2(R P 2)

v ； 2(P P 2) Q 2

得到⑴V2以

d

2

1

4.8cms

P 1

V 12

gh P 2

2

解：$ 5cm

S 2 10cm 2

P 300Pa

Q 吕旳 S 2V 2

S12

S2Q Q0.0044

6 31 10 4m v2

2(P1

P2) Q2

20.2

1052

0.004

S12 1.01030.012

2.12 —个顶部开口的圆筒型容器，高为20cm,直径为10cm。在圆筒的底部中心开一横截面积为1.0cm2的小圆孔，水从圆筒顶部以140cm3/s的流量有水管注入圆筒，问圆筒中的水面可以升到多大的高度？

解：水上升到最大高度时应为小孔排水量与入水来量等时，所以小孔的流速为

Q 140 10 6 v

s 1.0 10 4

小孔流速为v.2gh，所以

2 h —

2g

1.42

0.1m 2 9.8

2.13 一个四壁竖直的大开口水槽，其中盛水，水深为H。在槽的一侧水下深h处开一小孔。

（1）射出的水流到地面时距槽底边的距离是多少？（2）在槽壁上多高处再开一小孔，能使

射出的水流具有相同的射程？（3）要想得到最大的射程，小孔要开在水面以下多深处，最

大射程为多少？

解：水从小孔中流出后呈现平抛运动，水流处小孔后获得的水平速度为

v 2gh

（1）选区任何的一个小水质元，该质元流出小孔后作平抛运动，根据自由落体原理, 水质元在空中的运动时间

2(H h)

射出的水流到地面时距槽底边的距离

s vt 4h(H h)

（2）设在槽壁上距离水面h处再开一小孔，能使射出的水流具有相同的射程，则s vt v t h 2 Hh Hh h20

得h H h或h h （舍去）

（3）由（1）知

1.4m s

2gh

其中

是液体的密度, 是气体的密度

2 9.8 0.1

1.0 10

3

1.3

38.83m/s

2.17自来水主管与范丘里流量计咽喉管间的压强差为 m 2

和0.05m 2，问管子中水的流量是多少？ 解运用伯努利方程和连续性原理

105Pa,主管和细管的横截面积各为

0.1

V 1

Q ,V 2

S 1

P2 1 v2

Q_ S 2

时，s 可以取到最大值，为 s=H

2

2.14 一圆筒中的水高为 H ，底面积为S i ,筒的底部有一面积为 S 2的小孔。问筒中的水全部 流尽需要多长时

间？

解：在水桶中距离出示水面深度为

h 的地方去厚度为dh 的一层水体积元，这层水的流速可

以看成是相等的。则该体积元的水流尽需要的时间为

dt ,根据质量守恒原理得

dt 、2gh S 2

S i dh

等式两边积分

t H

dt 也 dh

0 o S

2

，2gh

筒中的水全部流尽需要的时间为为

面5.0m 处有一小孔，求水从此孔流出的速率? 解：对水箱的上部和小孔处运用伯努利方程

38.7m/ s

2.16在比多管中，用水作为压强计的液体，装在飞机上，

用以测量空气的流速。如果水柱的

最大高度差为0.1m ，问能测出空气的最大流速是多少？空气的密度是

1.3 Kg/m 3。

解：用比多管测量气体的流速公式为

2.15贮有水的封闭大水箱，箱的上部引入气压为

8.0 5

10 Pa 的压缩空气。箱的侧壁上距水

P i

gh P 0 2

2

v 2

代入

P 8.0 105

Pa F 0 1.0 105Pa ，

5m 等数据得

v

max