2020年吉林省中考数学试卷和答案解析
2020年吉林省中考数学试卷
和答案解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）﹣6的相反数是（）
A．6B．﹣6C．D．
解析：根据相反数的定义，即可解答．
参考答案：解：﹣6的相反数是6，故选：A．
点拨：本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）
A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×108解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
参考答案：解：11090000＝1.109×107，
故选：B．
点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，
它的左视图为（）
A．B．C．D．
解析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
参考答案：解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，
所以左视图是选项A，
故选：A．
点拨：本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是掌握简单组合体的三视图的定义，注意：从左边看得到的图形是左视图．4．（2分）下列运算正确的是（）
A．a2?a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a
解析：根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对各选项计算后利用排除法求解．
参考答案：解：A、a2?a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
点拨：本题考查了整式的运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的
关键．
5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）
A．85°B．75°C．65°D．60°
解析：先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
参考答案：解：如图所示，
∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，
∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
故选：B．
点拨：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）
A．54°B．62°C．72°D．82°
解析：运用圆内接四边形对角互补计算即可．
参考答案：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，
故选：C．
点拨：本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
解析：直接把公因式a提出来即可．
参考答案：解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
点拨：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
8．（3分）不等式3x+1＞7的解集为x＞2．
解析：移项、合并同类项、系数化为1即可得答案．
参考答案：解：3x+1＞7，
移项得：3x＞7﹣1，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2，
故答案为：x＞2．
点拨：此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤．
9．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．
解析：根据一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac即可求出值．
参考答案：解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．
所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．
故答案为：13．
点拨：本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为（240﹣150）x＝150×12．
解析：设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差×快马出发的时间＝慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
参考答案：解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：（240﹣150）x＝150×12．
故答案为：（240﹣150）x＝150×12．
点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，
正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（3分）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
解析：根据垂线段的性质解答即可．
参考答案：解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
点拨：本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
12．（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝10．
解析：利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．
参考答案：解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∴DF＝2BD＝2×5＝10．
故答案为10．
点拨：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．
解析：根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△ADE ∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．
参考答案：解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为，
∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，
故答案为：．
点拨：本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．
解析：利用SSS证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，即可求得∠ABC＝60°，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AC，且AO＝CO，进一步求得∠ACB＝60°，即可求得∠BCD＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得OB，然后根据弧长公式求得即可．
参考答案：解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
∴BD⊥AC，且AO＝CO，
∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴BD＝2CD＝2，
在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，
∴OD＝CD＝，
∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，
∴的长为：＝，
故答案为．
点拨：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．解析：根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可．
参考答案：解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2﹣1
＝3a．
当a＝时，
原式＝3．
点拨：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值．
16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．
解析：根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有A 卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
参考答案：解：根据题意列表如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A
卡片的有5种情况，
∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．
点拨：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．
解析：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据时间＝总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
参考答案：解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，
根据题意得：＝，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝18．
答：乙每小时做12个零件．
点拨：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD
＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB 同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．
解析：由DE∥AC，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A，又BD＝CA，DE＝AB，利用SAS即可证明△DEB≌△ABC．
参考答案：证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A．
在△DEB与△ABC中，
，
∴△DEB≌△ABC（SAS）．
点拨：本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB 关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
解析：（1）根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN 与AB对称即可；
（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ 与AC对称；
（3）根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．
参考答案：解：（1）如图①，MN即为所求；
（2）如图②，PQ即为所求；
（3）如图③，△DEF即为所求．
点拨：本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）
解析：设AB与DE交于点F．在Rt△ADF中，利用三角函数定义求出AF，即可得出答案．
参考答案：解：设AB与DE交于点F，如图所示：
由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，
∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），
∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；
答：塔AB的高度约27m．
点拨：本题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B 在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求k的值．
（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．
解析：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
参考答案：解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，
∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数y＝的解析式为y＝，
∵D为OC中点，OD＝2，
∴OC＝4，
∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，
可得y＝2，
∴点B的坐标为（4，2），
∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．
点拨：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将
收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）
减压方式A B C D E
人数463785
表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E
人数21331
表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）
减压方式A B C D E
人数65261310
根据以上材料，回答下列问题：
（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．
（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．
解析：（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行；
（2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占，因此估计总体600人的是采取室内体育锻炼减缓压力的人数．
参考答案：解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．
（2）600×＝260（人），
答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．
点拨：本题考查样本估计总体的统计方法，理解选取样本的原则是正确判断的前提．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为3L，机器工作的过程中每分钟耗油量为0.5L．
（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
解析：（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据（2）中的函数解析式，令函数值为30÷2，即可得到相应的x的值．
参考答案：解：（1）由图象可得，
机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），
机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5
（L），
故答案为：3，0.5；
（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，，
解得，，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35（10＜x≤60）；（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，
当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．
点拨：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．
【探究】求证：四边形AGHD是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为56．
【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为72．
解析：【探究】先由平行四边形的性质得AE∥GF，DC∥AB，进而得四边形AGHD是平行四边形，再结合邻边相等，得四边形AGHD 是菱形；
【操作一】这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和实际为平行四边形ABCD和平行四边形AEFG的周长和，由此求得结果便可；
【操作二】证明△AMD≌△AMG得∠AMD＝∠AMG＝90°，解Rt△ADM得DM，再证明四边形DCFG为矩形，由矩形面积公式求得结果．
参考答案：解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，∴AE∥GF，DC∥AB，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AD＝AG，
∴四边形AGHD是菱形；
【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2