初中数学三角形易错题汇编及答案

初中数学三角形易错题汇编及答案

一、选择题

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）

A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间．

【详解】

∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），

∴OA＝2，OB＝3，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22

=

2+313

∴AC＝AB13，

∴OC132，

∴点C132，0），

<<，

∵3134

<<，

∴11322

即点C的横坐标介于1和2之间，

故选：B．

【点睛】

本题考查了弧与x轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．

2．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（）

A．16cm B．21cm 或 27cm C．21cm D．27cm

【答案】D

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．

【详解】

解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；

当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键．

3．下列命题是假命题的是（）

A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16

C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限

D．若关于x的一元一次不等式组

213

x m

x

-≤

?

?

+>

?

无解，则m的取值范围是1

m￡

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；

B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；

C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；

D. 若关于x的一元一次不等式组

213

x m

x

-≤

?

?

+>

?

无解，则m的取值范围是1

m￡，正确，是真

命题；

故答案为：B

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．

4．如图，在ABC

?中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，

20

DAE

∠=o，则BAC

∠的度数为( )

A ．70o

B ．80o

C ．90o

D ．100o

【答案】D

【解析】

【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,在由等边对等角，根据三角形内角和定理求解.

【详解】

如图所示：

∵DM 是线段AB 的垂直平分线，

∴DA=DB,B DAB ∠=∠ ,

同理可得：C EAC ∠=∠ ,

∵ 20DAE ∠=o ，180B DAB C EAC DAE ?∠+∠+∠+∠+∠=，

∴80DAB EAC ?∠+∠=

∴100BAC ?∠=

故选：D

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

5．如图，在ABC V 中，AB AC =，点E 在AC 上，ED BC ⊥于点D ，DE 的延长线交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（ ）

A ．AE CE =

B ．12DE

C BAC ∠=∠ C ．AF AE =

D ．1902

B BA

C ∠+∠=? 【答案】A

【解析】

【分析】 由题意中点E 的位置即可对A 项进行判断；

过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2=

12BAC ∠，易得ED ∥AG ，然后根据平行线的性质即可判断B 项；

根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可判断C 项；

由直角三角形的性质并结合∠1=

12BAC ∠的结论即可判断D 项，进而可得答案． 【详解】

解：A 、由于点E 在AC 上，点E 不一定是AC 中点，所以,AE CE 不一定相等，所以本选项结论错误，符合题意；

B 、过点A 作AG ⊥B

C 于点G ，如图，∵AB =AC ，∴∠1=∠2=

12BAC ∠， ∵ED BC ⊥，∴ED ∥AG ，∴122DEC BAC ∠=∠=

∠，所以本选项结论正确，不符合题意；

C 、∵E

D ∥AG ，∴∠1=∠F ，∠2=∠AEF ，∵∠1=∠2，∴∠F =∠AEF ，∴AF A

E =，所以本选项结论正确，不符合题意；

D 、∵AG ⊥BC ，∴∠1+∠B =90°，即1902

B BA

C ∠+

∠=?，所以本选项结论正确，不符合题意．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．

6．如图，在Rt ABC ?中，90BCA ∠=?，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；

(3)CG EG =；(4) BF BC =中，一定成立的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B

【解析】

【分析】 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD ；只有△ABC 是等腰直角三角形时AD=CD ，CG=EG ；利用“角角边”证明△BCE 和△BFE 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC ．

【详解】

∵EF ∥AC ，∠BCA=90°，

∴∠CGE=∠BCA=90°，

∴∠BCD+∠CEG=90°，

又∵CD 是高，

∴∠EFD+∠FED=90°，

∵∠CEG=∠FED （对顶角相等），

∴∠EFD=∠BCD ，故（1）正确；

只有∠A=45°，即△ABC 是等腰直角三角形时，AD=CD ，CG=EG 而立，故（2）（3）不一定成立，错误；

∵BE 平分∠ABC ，

∴∠EBC=∠EBF ，

在△BCE 和△BFE 中，

EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠?????

＝＝＝，

∴△BCE ≌△BFE （AAS ），

∴BF=BC ，故（4）正确，

综上所述，正确的有（1）（4）共2个．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．

7．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（ ）

A ．9 cm

B ．10 cm

C ．11 cm

D ．12 cm

【答案】B

【解析】

【分析】 由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．

【详解】

解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,

∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，

∴DM=

12

CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中，

OD2=DM2+OM2即R2=42+(R-2)2,

解得：R=5,

∴直径AB的长为:2×5=10cm．

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

8．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8

ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．

【详解】

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为：1

2

ab＝

1

2

×8＝4，

∴根据4×1

2

ab＋（a﹣b）2＝52＝25，

得4×4＋（a﹣b）2＝25，

∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，

∴a﹣b＝3（舍负），

故选：C．

【点睛】

本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．

9．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）

A ．32

B ．5

C ．4

D ．31

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】 由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，

若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．

∴∠AOC=180°－∠ACO －∠CAO=90°．

在等腰Rt △ABC 中，AB=6，则AC=BC=32．

同理可求得：AO=OC=3．

在Rt △AOD1中，OA=3，OD 1=CD 1－OC=4，

由勾股定理得：AD 1=5．故选B ．

10．如图，正方体的棱长为6cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ）

A ．9

B ．310

C ．326+

D ．12

【答案】B

【解析】

【分析】 将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．

【详解】

解：如图，22(36)3310++=．

故选：B ．

【点睛】

此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．

11．如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12

AB )为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．已知CDE △的面积比CDB △的面积小4，则ADE V 的面积为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】A

【解析】

【分析】 由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，根据三角形中线的性质可得S △CDA =S △CDB ，根据△CDE 的面积比△CDB 的面积小4即可得答案．

【详解】

由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，

∴CD 为AB 边中线，

∴S △CDA =S △CDB ，

∵△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，

∴S △ADE =S △CDA -S △CDE =S △CDB -S △CDE =4．

故选：A ．

【点睛】

本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形

分成两个面积相等的三角形；熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．

12．如图，在□ABCD 中，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．下列结论中：①DE ＝DF ；②AG ＝GF ；③AF ＝DF ；④BG ＝GC ；⑤BF ＝EF ，其中正确的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B

【解析】

【分析】 由AAS 证明△ABF ≌△DEF ，得出对应边相等AF=DF ，BF=EF ，即可得出结论，对于①②④不一定正确．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，AB=CD ，即AB ∥CE ，

∴∠ABF=∠E ，

∵DE=CD ，

∴AB=DE ，

在△ABF 和△DEF 中，

∵===ABF E AFB DFE AB DE ∠∠??∠∠???

， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ），

∴AF=DF ，BF=EF ；

可得③⑤正确，

故选：B ．

【点睛】

此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

13．如图,在ABC ?中,90C ∠=?,2AC =,点D 在BC 上,5AD =ADC 2B ∠=∠,则BC 的长为（ ）

A ．51-

B ．51+

C ．31-

D ．31+

【答案】B

【解析】

【分析】 根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即5BD AD ==

，在Rt △ADC 中根据勾股定理可得DC=1，则BC=BD+DC=51+.

【详解】

解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角

∴∠ADC=∠B+∠DAB

∵ADC 2B ∠=∠

∴∠B=∠DAB

∴5BD AD ==

在Rt △ADC 中，由勾股定理得：22DC 541AD AC =

-=-=

∴BC=BD+DC=51+

故选B

【点睛】 本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.

14．如图为一个66?的网格，在ABC ?，A B C '''?和A B C ''''''?中，直角三角形有（ ）个

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】

【分析】 根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．

【详解】

设网格的小正方形的边长是1，

由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，

ABC ?的三边分别是：AB=10，AC=5 ，BC=5； 由于()()()222

5510+=， 根据勾股定理的逆定理得：ABC ?是直角三角形； '''A B C ?的三边分别是：''A B =10， ''B C =5 ，''AC =13； 由于()()()22210513+?，

根据勾股定理的逆定理得：'''A B C ?不是直角三角形；

A B C ''''''?的三边分别是：A B ''''=18，B C ''''=8 ，A C ''''=26；

由于()()()222

18826+=， 根据勾股定理的逆定理得：A B C ''''''?是直角三角形；

因此有两个直角等三角形；

故选C ．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．

15．在直角三角形中，自锐角顶点引的两条中线为10和35，则这个直角三角形的斜边长是( )

A ．3

B ．23

C ．25

D ．6

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，利用勾股定理解答即可．

【详解】

设AC =b ，BC =a ，分别在直角△ACE 与直角△BCD 中，根据勾股定理得到：

2

222 10

235,2a b b a ???+=? ????????+= ?????

两式相加得：2236a b +=，

根据勾股定理得到斜边36 6.==

故选:D.

【点睛】

考查勾股定理，画出图形，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

16．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ??≌；③DC BE ⊥；正确的有（ ）个

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】

【分析】 利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=?，则ADC BAE ∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS ”可证明DAC BAE ???，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=?，于是可对③进行判断．

【详解】

解：AD AB ⊥Q ，AE AC ⊥，

90DAB ∴∠=?，90EAC ∠=?，

DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠，

即ADC BAE ∠=∠，所以①正确；

在DAC ?和BAE ?中，

DA AB DAC BAE AC AE =??∠=∠??=?

，

()DAC BAE SAS ∴???，所以②正确；

ADC ABE ∴∠=∠，

∵∠AFD=∠MFB，

DMB DAB

∴∠=∠=?，

90

∴⊥，所以③正确．

DC BE

故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

17．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是()

A．有一边相等的两个等边三角形

B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形

C．周长相等的两个三角形

D．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

A.根据全等三角形的判定，可知有一边相等的两个等边三角形全等，故选项A不符合；

B.根据全等三角形的判定，可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故选项B 不符合；

C.根据全等三角形的判定，可知周长相等的两个三角形不一定全等，故选项C符合；

D.根据全等三角形的判定，可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故选项B不符合.

故本题应选C.

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为( )

A．30°B．45°C．36°D．72°

【答案】A

【解析】

∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A，

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，

∴∠A=36°.

故选A.

19．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；

②AO=CO=

1

2

AC；③△ABD≌△CBD，

其中正确的结论有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D

【解析】

试题解析：在△ABD与△CBD中，

{

AD CD

AB BC

DB DB

=

=

=

，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

故③正确；

∴∠ADB=∠CDB，

在△AOD与△COD中，

{

AD CD

ADB CDB

OD OD

=

∠=∠

=

，

∴△AOD≌△COD（SAS），

∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，

∴AC⊥DB，

故①②③正确；

故选D．

考点：全等三角形的判定与性质．

20．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（）

A．45°B．30 °C．15°D．60°

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．

【详解】

解：∵ABCD是长方形，

∴∠BAD=90°，

∵∠BAF=60°，

∴∠DAF=30°，

∵长方形ABCD沿AE折叠，

∴△ADE≌△AFE，

∴∠DAE=∠EAF=1

2

∠DAF=15°．

故选C．

【点睛】

图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．