安徽省芜湖市无为县2018-2019年九年级(上)期末数学试卷 解析版
2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知x＝1是方程x2+px+1＝0的一个实数根，则p的值是（）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
2．如图，把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°后，是（）
A．B．
C．D．
3．已知函数y＝的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（）
A．y随x的增大而增大
B．当x＜0时，必有y＜0
C．函数的图象只在第一象限
D．点（﹣2，﹣3）不在此函数的图象上
4．从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．
5．如图：已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D＝50°，则∠C的度数是（）
A．25°B．40°C．30°D．50°
6．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，
这个花园的最大面积是（）
A．16m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对
7．如图，⊙O的半径为2，△ABC为⊙O内接等边三角形，O为圆心，OD⊥AB，垂足为D．OE ⊥AC，垂足为E，连接DE，则DE的长为（）
A．1 B．C．D．2
8．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）
A．B．C．D．
9．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+3与反比例函数y＝的图象位置可能是（）A．B．
C．D．
10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣
DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）
A．B．
C．D．
二．填空题（共4小题）
11．方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是．
12．如图，正方形ABEF与正方形BCDE有一边重合，那么正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O旋转得到的，则图中点O的位置为．
13．用一个圆心角90°，半径为8cm的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为．
14．2019年元旦前，无为米蒂广场开业期间，某品牌服装店举行购物酬宾抽奖活动，抽奖箱内共有15张奖券，4张面值100元，5张面值200元，6张面值300元，小明从中任抽2张，则中奖总值至少300元的概率为．
三．解答题（共9小题）
15．解方程：x（x﹣3）+6＝2x．
16．已知，反比例函数的图象经过点M（2，a﹣1）和N（﹣2，7+2a），求这个反比例函数解析式．
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于y轴对称图形△A2B2C2，则△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是．
18．已知：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABC，点E对应点C恰在D的延长线上，若BC∥AE．求证：△ABD为等边三角形．
19．现有红色和蓝色两个布袋，红色布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，蓝色布袋中有也三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字2，3，4小明先从红布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从蓝布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）用列表法或树状图表示出两次取得的小球上所标数字的所有可能结果；
（2）若把m、n分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率．
20．为了改善生活环境，近年来，无为县政府不断加大对城市绿化的资金投入，使全县绿地面积不断增加．从2016年底到2018年底，我县绿地面积变化如图所示，求我县绿地
面积的年平均增长率．
21．如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．
（1）直接写出k，m的值；
（2）求梯形ABCD的面积．
22．如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，BC经过圆心O，且交⊙O于点E，∠A＝120°，∠C＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD＝6，求BC的长．
（3）若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为．
23．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面常度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔水面宽度BC＝6米，顶点N距水面4.5米．航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于图中的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）在汛期期间的某天，水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3米，顶部宽4米的巡逻船要路过此处，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．
（2）在问题（1）中，同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过，小船的船顶高出水面1.5米，顶部宽3米，请问小船能否安全通过小孔？并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知x＝1是方程x2+px+1＝0的一个实数根，则p的值是（）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程，即可求出答案．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+px+1＝0得：1+p+1＝0，
即p＝﹣2，
故选：D．
2．如图，把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°后，是（）
A．B．
C．D．
【分析】由旋转的性质可求解．
【解答】解：∵把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°，
∴图形A符合题意，
故选：A．
3．已知函数y＝的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（）
A．y随x的增大而增大
B．当x＜0时，必有y＜0
C．函数的图象只在第一象限
D．点（﹣2，﹣3）不在此函数的图象上
【分析】根据反比例函数的性质对函数的图象所在象限及增减性作出正确判断后再解答．
【解答】解：把（2，3）代入y＝，解得k＝6＞0，
∴函数图象过一三象限，且在同一象限内y随x的增大而减小．
A、错误；
B、当x＜0，必有y＜0，正确；
C、错误；
D、点（﹣2，﹣3）代入函数式，成立，故在函数图象上，错误．
所以选B．
4．从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．
【分析】根据有理数的定义可找出在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．
【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．
故选：C．
5．如图：已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D＝50°，则∠C的度数是（）
A．25°B．40°C．30°D．50°
【分析】由DE∥OA，∠D＝50°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AOD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠C的度数．
【解答】解：∵DE∥OA，∠D＝50°，
∴∠AOD＝∠D＝50°，
∴∠C＝∠AOD＝25°．
故选：A．
6．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，
这个花园的最大面积是（）
A．16m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对
【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选：C．
7．如图，⊙O的半径为2，△ABC为⊙O内接等边三角形，O为圆心，OD⊥AB，垂足为D．OE ⊥AC，垂足为E，连接DE，则DE的长为（）
A．1 B．C．D．2
【分析】过O作OH⊥BC于H，得到BH＝BC，连接OB，由△ABC为⊙O内接等边三角形，得到∠OBC＝30°，求得BC＝2BH＝2，根据垂径定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：过O作OH⊥BC于H，
∴BH＝BC，
连接OB，
∵△ABC为⊙O内接等边三角形，
∴∠OBC＝30°，
∵OB＝2，
∴BH＝OB＝，
∴BC＝2BH＝2，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴DE＝BC＝，
故选：C．
8．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为＝．
故选：A．
9．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+3与反比例函数y＝的图象位置可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：当k＞0时，有y＝kx+3过一、二、三象限，反比例函数y＝的过一、三象限，A正确；
由函数y＝kx+3过点（0，3），可排除B、C；
当k＜0时，y＝kx+3过一、二、四象限，反比例函数y＝的过﹣、三象限，排除D．故选：A．
10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．【解答】解：由题意可得BQ＝x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，
则△BPQ的面积＝BP?BQ，
解y＝?3x?x＝x2；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积＝BQ?BC，
解y＝?x?3＝x；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9﹣3x，
则△BPQ的面积＝AP?BQ，
解y＝?（9﹣3x）?x＝x﹣x2；故D选项错误．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
11．方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是x2﹣x﹣7＝0 ．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是x2﹣x﹣7＝0，
故答案为：x2﹣x﹣7＝0．
12．如图，正方形ABEF与正方形BCDE有一边重合，那么正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O旋转得到的，则图中点O的位置为点B或点E或线段BE的中点．
【分析】由旋转的性质分情况讨论可求解；
【解答】解：∵正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O旋转得到的，
∴若点A与点E是对称点，则点B是旋转中心是点B；
若点A与点D是对称点，则点B是旋转中心是BE的中点；
若点A与点E是对称点，则点B是旋转中心是点E；
故答案为：点B或点E或线段BE的中点．
13．用一个圆心角90°，半径为8cm的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为2cm．
【分析】求出扇形的弧长，此弧长即为圆锥底面圆的周长，据此即可求出圆锥底面半径．【解答】解：扇形弧长为＝4πcm；
设圆锥的底面圆的半径为r，
则r＝4π÷2π＝2cm．
故答案为2cm．
14．2019年元旦前，无为米蒂广场开业期间，某品牌服装店举行购物酬宾抽奖活动，抽奖箱内共有15张奖券，4张面值100元，5张面值200元，6张面值300元，小明从中任抽2张，则中奖总值至少300元的概率为．
【分析】有15张奖券中抽取2张的所有等可能结果数为15×14＝210种，其中中奖总值低于300元的有4×3＝12种知中奖总值至少300元的结果数为210﹣12＝198种，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：从15张奖券中抽取2张的所有等可能结果数为15×14＝210种，
其中中奖总值低于300元的有4×3＝12种，
则中奖总值至少300元的结果数为210﹣12＝198种，
所以中奖总值至少300元的概率为＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
15．解方程：x（x﹣3）+6＝2x．
【分析】先去掉括号，再把2x移到等号的左边，再根据因式分解法即可求解．
【解答】解：x（x﹣3）+6＝2x，
x2﹣3x+6﹣2x＝0，
x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3．
16．已知，反比例函数的图象经过点M（2，a﹣1）和N（﹣2，7+2a），求这个反比例函数解析式．
【分析】根据了反比例函数图象上点的坐标特征得到2（a﹣1）＝﹣2（7+2a），解得a ＝﹣2，则可确定M点的坐标为（2，﹣3），然后设反比例函数解析式为y＝，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝﹣6．
【解答】解：根据题意得2（a﹣1）＝﹣2（7+2a），
解得a＝﹣2，
所以M点的坐标为（2，﹣3），
设反比例函数解析式为y＝，
则k＝2×（﹣3）＝﹣6，
所以反比例函数解析式为y＝﹣．
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于y轴对称图形△A2B2C2，则△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是关于x 轴对称．
【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△A2B2C2，进而根据图形位置得出△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是关于x轴对称．
故答案为：关于x轴对称．
18．已知：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABC，点E对应点C恰在D的延长线上，若BC∥AE．求证：△ABD为等边三角形．
【分析】由旋转的性质可得∠ACB＝∠E，AC＝AE，可得∠E＝∠ACE，由平行线的性质可得∠BCE+∠E＝180°，可得∠E＝60°，则可求∠BAD＝60°，可得结论．
【解答】解：由旋转知：△ADE≌△ABC，
∴∠ACB＝∠E，AC＝AE，
∴∠E＝∠ACE，
又BC∥AE，
∴∠BCE+∠E＝180°，
即∠ACB+∠ACE+∠E＝180°，
∴∠E＝60°，
又AC＝AE，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠CAE＝60°
又∠BAC＝∠DAE
∴∠BAD＝∠CAE＝60°
又AB＝AD
∴△ABD为等边三角形．
19．现有红色和蓝色两个布袋，红色布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，蓝色布袋中有也三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字2，3，4小明先从红布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从蓝布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）用列表法或树状图表示出两次取得的小球上所标数字的所有可能结果；
（2）若把m、n分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（m，n）在函数y ＝的图象上的概率．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，
（2）利用m，n的值确定满足y ＝的个数，根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：（1）所有可能情况如下表，且它们的可能性相
n
2 3 4
m
1 （1，2）（1，3）（1，4）
2 （2，2）（2，3）（2，4）
3 （3，2）（3，3）（3，4）
由列表知，（m，n）有9种可能；
（2）由（1）知，所有可能情况有9种，其中满足y＝的有（2，3）和（3，2）两种，∴点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率为．
20．为了改善生活环境，近年来，无为县政府不断加大对城市绿化的资金投入，使全县绿地面积不断增加．从2016年底到2018年底，我县绿地面积变化如图所示，求我县绿地面积的年平均增长率．
【分析】根据图表可知2016年底城市绿地面积300公顷，2018年底城市绿地面积363公顷，设年平均增长率是x，则2017年的绿地面积是300（1+x），2018年的绿地面积是300（1+x）（1+x），即可列出方程解答．
【解答】解：设这两年年平均增长率为x，则
300（x+1）2＝363，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不符合实际意义，舍去）
∴x＝0.1＝10%，
答：年平均增长率为10%．
21．如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．
（1）直接写出k，m的值；
（2）求梯形ABCD的面积．
【分析】（1）直接把点P（6，2）代入解析式求解即可；
（2）分别根据函数解析式求出点D，C的坐标，从而得到梯形的上底，下底和高，求出梯形的面积．
【解答】解：（1）k＝12，m＝﹣4．（2分）
（2）把x＝2代入y＝，得y＝6．∴D（2，6）．
把x＝2代入y＝x﹣4，得y＝﹣2．∴A（2，﹣2）．
∴DA＝6﹣（﹣2）＝8．（4分）
把x＝3代入y＝，得y＝4．∴C（3，4）．
把x＝3代入y＝x﹣4，得y＝﹣1，∴B（3，﹣1）．
∴BC＝4﹣（﹣1）＝5．（6分）
∴．（7分）
22．如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，BC经过圆心O，且交⊙O于点E，∠A＝120°，∠C＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD＝6，求BC的长．
（3）若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为16．
【分析】（1）连接OD、DE，根据圆内接四边形的性质得到∠OED＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，求得∠ODC＝∠BOD﹣∠C＝90°，又点D在⊙O上，于是得到结论；（2）由（1）知：∠ODC═90°又∠C＝30°，设OD为x，则OC为2x，根据勾股定理即可得到结论；
（3）连接BD，OA，根据已知条件推出当四边形ABOD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大，当OA⊥BD时，四边形ABOD的面积最大，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD、DE，
∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠OED＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOD＝2∠OED＝120°，
∴∠ODC＝∠BOD﹣∠C＝90°，又点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠ODC═90°又∠C＝30°，
∴，
设OD为x，则OC为2x，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
即x2+36＝（2x）2，
∴x＝±2，
又x＞0，
∴x＝2，
∴BC＝OB+OC＝3x＝；
（3）解：连接BD，OA，
∴∠DBE＝，
∵BE＝8，
∴BD＝4，
∵∠C＝30°，∠CDO＝90°，OD＝4，
∴CD＝4，
∴S四边形ABCD＝S四边形ABOD+S△CDO，
∵S△COD4×＝8，
∴当四边形ABOD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大，
∴当OA⊥BD时，四边形ABOD的面积最大，
∴四边形ABCD的最大面积＝4×4+8＝，
故答案为：16．
23．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面常度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔水面宽度BC＝6米，顶点N距水面4.5米．航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于图中的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）在汛期期间的某天，水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3米，顶部宽4米的巡逻船要路过此处，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．
（2）在问题（1）中，同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过，小船的船顶高出水面1.5米，顶部宽3米，请问小船能否安全通过小孔？并说明理由．