三角函数 正切、余切图象及其性质
正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点]
1．正切函数、余切函数的图象与性质
2．反三角函数的图象与性质
3．已知三角函数值求角
[目的要求]
1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.
2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.
3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.
4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.
[重点难点]
1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角
[内容回顾]
一、正切函数与余切函数图象
由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.
作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”.
若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.
二、正、余切函数的性质
由图象可得:
y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z)
20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z)
20 对称轴；无
注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.
2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:
1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.
y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.
y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数.
y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数.
2．反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.
注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是
（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.
（3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和.
（4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象，有
y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数
20对称轴；无10对称中心非奇非偶
20对称轴；无10对称中心
（0，0）奇函数
20对称轴；无10对称中心非奇非偶
20对称轴；无周期性无无无无
另外:
1．三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π])
arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π))
2．反三角的三角运算
sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])
tan(arctanx)=x (x∈R)cot(arccotx)=x (x∈R)
3．x与-x的反三角函数值关系
arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])
arccos(-x)=π-arccosx (x∈[-1,1])
arctan(-x)=-arctanx (x∈R)
arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)
4．
正切函数的图象与性质
§1.4.3 正切函数的图象与性质 （第二课时） 授课： 徐晓晖 学习目标：使学生能借助正切函数的图象探求其性质.并解决问题并在教学过成中培养学生的 数形结合思想。 学习重点：运用三角函数的图象与性质解题 学习难点：观察图像得正切函数的性质并应用 学习过程： 一、复习、探究 问题1：正切函数图像的作图方法：（1）利用正切线；（2）“三点两线”法，即 )1,4(),1,4(),0,0(ππ-- 和直线2π-=x 及2π =x ，然后向左右两边扩展. 问题2：观察x y tan =的图象，类比x y x y cos ,sin ==的性质，你能得到x y tan =的一些怎样性质？ 二、正切函数的性质 1. 定义域： ? ?????∈+ ≠Z k k x x ,2ππ 2. 值域：R . 当Z k k k x ∈??? ??+ ∈,2,πππ时0yt ，当Z k k k x ∈??? ??-∈,,2πππ时0 y 3. 周期性： π=T 4. 奇偶性：奇函数 对称中心：Z k k ∈?? ? ??,0,2π 渐近线：Z k k x ∈+=,2ππ 5. 单调性：在开区间Z k k k ∈?? ? ??++-,2,2ππππ内，函数单调递增 三、教学精讲 例1.讨论函数?? ? ?? +=4tan πx y 的性质 解析：法一：观察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移 4π单位得到 定义域：? ????? ∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在?? ? ?? +-4,43ππππk k 上是增函数 法二：由学生思考或引导学生类比例5完成 变式训练： 1、 根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围 ①tan 0x > ②tan 0x = ③tan 0x < ④tan x > 答案：①Z k k k ∈??? ??+,2,πππ, ②,{}z k k x x ∈=,π ③Z k k k ∈?? ? ??-,,2πππ, ④Z k k k ∈?? ? ??++,2,3πππ π 2 、求)4 2tan(π-=x y 的定义域及周期 答案：2},,832|{πππ=∈+≠ T z k k x x 例2 比较tan 27π与tan 107 π的大小 解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小 解：tan 107π＝tan 37π ∵0＜27π＜37π＜2π 又∵y ＝tan x 在(0，2 π)上单调递增 ∴tan 27π＜tan 37π，则tan 27π＜tan 107 π 变式训练: 比较)56tan(π与tan (－135π)的大小， 答案：)56tan(π＜ tan (－135 π) 四、巩固练习 1、与函数tan(2)4y x π=+ 的图象不相交的一条直线是（ ）. A ．2π -=x B ．2π =x C ．8π -=x D ． 8π =x 2、函数x y π3tan =的最小正周期是（ ） A 、31 B 、32 C 、π6 D 、π 3 3、函数1tan += x y 的定义域是 . 4、确定函数)23tan(x y -=π 的奇偶性和单调区间. 五、小结：（1）数形结合思想 （2）正切函数的性质
《正切函数的图像与性质》 教案及说明
课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师： 教学目标 （1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单调性及证明． 教学方法 教师启发讲授，学生积极探究． 教学手段 计算机辅助． 教学过程 一、 设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：,2 x k k Z π π≠+ ∈．
(设计意图：,2 x k k Z π π≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2 x k k Z π π≠+∈）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法； （2）利用基本初等函数图像的变换作图． 大家认为应该选择哪种方法呢？ 学生的回答会选择（1）． 教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质． 二、 主动探究，解决问题 （一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域：|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? ． 学生可以迅速解决． 2、 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、 奇偶性：奇函数． 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？
三角函数公式大全(很详细)
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
高中数学 三角函数：正弦、余弦、正切
三角函数：正弦、余弦、正切 (一)复习指导 1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等) 3．理解正切函数在区间)2 π ,2π(- 的单调性． (二)基础知识 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域：都是[]1,1-，对s i n y x =， 当()22x k k Z π π=+∈时，y 取最大值1； 当() 322 x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取 最小值－1。 （3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2 π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω= 。 （4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线 ()2x k k Z π π=+ ∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π?? + ∈ ?? ?，对称轴是直线 ()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴 的交点）。 （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈??? ?单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ 3、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2 x x k k Z π π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ （2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x = cos x +的周期为 2 π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ =-+=-+，|tan |y x =的周期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π?? ??? ()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心 有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ?? -++∈ ??? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不 具有单调性。如下图：
1.4.3正切函数的性质与图象
1.4.3正切函数的性质与图象 教学目的： 知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 教学过程： 一、复习引入： 问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线： ． 下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课： 1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ? ?????∈+≠ z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ?? +=∈≠+∈ ??? 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z π π? ? =∈≠+ ∈ ?? ? 且的一个周期。 π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作tan y x =，x ∈??? ? ?-2,2ππ的图象 说明： （1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π+π?→?k x 时，tan x ?? →+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ 2 ，ππ k x +?→? 2 时，-∞?→? x tan 。 （3）周期性：π=T ； （4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间z k k k ∈?? ? ??++-ππππ2,2内，函数单调递增。 5.讲解范例： 例1比较??? ??- 413tan π与?? ? ??-517tan π的大小解：tan 413tan -=??? ??- π 4π，52tan 5 17tan ππ-=??? ??- ，?? ? ??=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单 调递增， ??->??? ??-->-∴<∴ππππππ 517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan 4tan 即 例2：求下列函数的周期： （1）3tan 5y x π? ? =+ ?? ? 答：T π=。 （2）tan 36y x π?? =- ?? ? 答：3 T π = 。 说明：函数()() tan 0,0y A x A ω?ω=+≠≠的周期T πω = ． 例3：求函数??? ? ? - =33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，所求定义域为? ?? ???∈+≠ ∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 y
三角函数 正切、余切图象及其性质
正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 （2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心 （0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无 另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])
正切三角函数值表
正切函数值表 角度正弦sin 余弦cos 正切tan 0 0 1 1 0.017452406 0.999847695 0.017455065 2 0.034899497 0.999390827 0.034921 3 0.052335956 0.998629535 0.052407779 4 0.069756474 0.9975640 5 0.069926812 5 0.087155743 0.996194698 0.087488664 6 0.104528463 0.994521895 0.105104235 7 0.121869343 0.992546152 0.122784561 8 0.139173101 0.990268069 0.140540835 9 0.156434465 0.987688341 0.15838444 10 0.173648178 0.984807753 0.176326981 11 0.190808995 0.981627183 0.194380309 12 0.207911691 0.978147601 0.212556562 13 0.224951054 0.974370065 0.230868191 14 0.241921896 0.970295726 0.249328003 15 0.258819045 0.965925826 0.267949192 16 0.275637356 0.961261696 0.286745386 17 0.292371705 0.956304756 0.305730681 18 0.309016994 0.951056516 0.324919696 19 0.325568154 0.945518576 0.344327613 20 0.342020143 0.939692621 0.363970234 21 0.35836795 0.933580426 0.383864035 22 0.374606593 0.927183855 0.404026226 23 0.390731128 0.920504853 0.424474816 24 0.406736643 0.913545458 0.445228685 25 0.422618262 0.906307787 0.466307658 26 0.438371147 0.898794046 0.487732589 27 0.4539905 0.891006524 0.509525449 28 0.469471563 0.882947593 0.531709432 29 0.48480962 0.874619707 0.554309051 30 0.5 0.866025404 0.577350269 31 0.515038075 0.857167301 0.600860619 32 0.529919264 0.848048096 0.624869352 33 0.544639035 0.838670568 0.649407593 34 0.559192903 0.829037573 0.674508517 35 0.573576436 0.819152044 0.700207538 36 0.587785252 0.809016994 0.726542528 37 0.601815023 0.79863551 0.75355405 38 0.615661475 0.788010754 0.781285627 39 0.629320391 0.777145961 0.809784033
锐角三角函数的解题技巧
锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．
(四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度
已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．
正切函数的图像和性质-公开课教案
正切函数的图像和性质-公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在 区间（）的单调性. 教学目的 知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇 偶性，单调性，能利用正切 曲线解决简单的问题。 情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表 示，正切函数tan 的定义域是什么？ y x 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？
画正切函数选取哪一段好呢? 画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若 是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体 现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈?? ? ? ?-2 ,2ππ的图象 说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图 象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 tan()tan x x -=-
（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相 互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2 |ππ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数
三角函数最全知识点总结
三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角 轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__， 面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__.
3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与 原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
锐角三角函数-正切教学设计
23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第一课时正切 教学目标 ◆知识与技能 1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。 2.会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3.了解坡度的有关概念。 ◆过程与方法 让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆情感态度 通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。 教学重点： 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 教学难点： 锐角三角函数的概念的理解。 教学准备 多媒体课件制作 教学设计 一、导入新课 导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？陡峭堪比过山车！
不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。 大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数） 二、推进新课 1．交流合作 【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC与A 1C 1 表示水平面，斜 边AB与A 1B 1 分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？ 学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断． 【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1 哪个更陡？你又是如何判断呢？
正切函数的图象与性质(习题)
1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习
A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，
正切函数的图像和性质 公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-
说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：
正弦、余弦、正切函数的图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对
8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间．
三角函数——正弦余弦正切
一、锐角三角函数——正弦、余弦、正切 一、新课教学 （一）、认识正弦、余弦、正切 1、认识角的对边、邻边。（2分钟） 如图，在Rt △ABC 中，∠A 所对的边BC ，我们称为∠A 的对边；∠A 所在的直角边AC ，我们称为∠A 的邻边。 2、认识正弦、余弦、正切 如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。记作sinA 。 sinA ＝ A a A c ∠=∠的对边的斜边、cosA=斜边邻边A ∠、tanA=对边 邻边 注意：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体； 2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。 3、尝试练习： 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和tanB 的值． （二）探究：（1）一个锐角的正弦值与边的长短无关，与锐角的大小有关；锐角越大，正弦值越大，反之亦然。 （2）下面我们来验证一下吧！ 观察图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系 分析：由图可知Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3， 所以有： k AB C B AB C B AB C B ===3 3 3222111，即sinA=k 可见，在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦值与边的长短无关，而与∠A 的度数大 小有关。也即是对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的. (1) C B 4319.3.2 C B
三角函数——正弦余弦正切
1 / 4 一、锐角三角函数——正弦、余弦、正切 一、新课教学 （一）、认识正弦、余弦、正切 1、认识角的对边、邻边。（2分钟） 如图，在Rt △ABC 中，∠A 所对的边BC ，我们称为∠A 的对边；∠A 所在的直角边AC ，我们称为∠A 的邻边。 2、认识正弦、余弦、正切 如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。记作sinA 。 sinA ＝ A a A c ∠=∠的对边的斜边、cosA=斜边邻边A ∠、tanA=对边 邻边 注意：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体； 2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。 3、尝试练习： 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和tanB 的值． （二）探究：（1）一个锐角的正弦值与边的长短无关，与锐角的大小有关；锐角越大，正弦值越大，反之亦然。 （2）下面我们来验证一下吧！ 观察图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系？ 分析：由图可知Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3， 所以有： k AB C B AB C B AB C B ===3 3 3222111，即sinA=k 可见，在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦值与边的长短无关，而与∠A 的度数大 小有关。也即是对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的. （三）例题教学： 【例1】在△ABC 中，∠C=90°． （1）若cosA= 12，则tanB=______;（?2）?若cosA=4 5 ，则tanB=______． 例2、在△ABC 中，∠C 为直角。 （1）已知AC=3， sinA 的值． （2）已知sinB=5 4,求sinA 的值． 解：（1）如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得：() 531422 =-= BC ，∴14 7014 5sin == =AB BC A ； （2）∵sinB=5 4=AB AC ，故设AC=4k ，则AB=5k,根据勾股定理可得：BC=3k ，所以： sinA=53 (1) C B 4 3 19.3.2 A C B C
正切函数图像及性质
第14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y
[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间
考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且 求相应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（ ） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>