等比数列教学设计
等比数列
一教案描述
1.教案的背景
等比数列是另一类重要的特殊数列，研究方向、内容、方法与等差数列类似。首先，归纳出等比数列的定义，再导出等比数列的通项，最后是应用。我在教学设计中，通过创设一系列的问题情境把这些内容有机地串联起来，整个过程如一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的展开，增强创新意识的培养。
教学目标
(1)理解等比数列的定义及通项公式。掌握通项公式的推导方
法
（2）通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。
（3）通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。
2.教学过程设计
2.1创设情境，自学质疑
教师先借助电脑投影几个数列
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③3,3,3,3,3,3,3,…
④243,81,27,9,3,1, , ,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
然后提出下列问题
问题1：①我们已学过等差数列，以上数列哪些是等差数列？②如果不是，那么数列的后一项与前一项又具有怎样的共同特征？③能为这类数列命名吗？
设计意图：是让学生体验类比及从特殊到一般和从一般到特殊的思想方法.这里教师的任务是：展示创设的问题情境，为学生观察、思考、讨论、交流等学习活动提供材料。
2.2合作交流，互动探究
（1）等比数列的定义
问题2：类比等差数列的概念，归纳等比数列的定义
讨论结果：①相邻两项的商是一个常数
②每一项与前一项的比是同一个常数
③从第二项起，后一项与前一项的比是同一个常数
对于这一问题，有了等差数列的基础，学生是可以概括出来的，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要着急地照本宣科或越俎代庖，要相信学生在经历了一番挫折后会逐步完善他们的表达语言，
这样形成的知识更加牢固。最后教师投影出等比数列的定义，标注重
点词语。
（2）对定义的进一步认识
问题3：①指出引例中等比数列的公比。②有没有数列既是等比数
列又是等差数列？举例说明。③能否归纳出这类数列的一般形式？
讨论结果：常数列符合要求，其一般形式a，a，a，…
问题4：数列a，a，a，…既是等差数列又是等比数列吗？公差、
公比各是多少？
设计意图：设法激活学生的思维，让学生进行热烈的讨论，最终
发现等比数列的深层含义，从而理解更深刻，记忆更牢固。
讨论结果：①当a≠0上述数列既是等差数列又是等比数列；当a=0
数列只是等差数列而非等比数列。
②等比数列无零项，即a n≠0
③公比q≠0
问题5：能否用数学式子表示等比数列的含义？
设计意图：这个问题起着承上启下的作用，既能帮助学生更好地
理解等比数列的定义，又为下面等比数列通项公式的推导作好准备。
学生的答案可能会有一些争议，可让学生进行讨论各种写法的优缺点，
让每个学生都能参与知识的形成过程。
讨论结果：①a n+1/a n=q(常数)（n∈N*）
②a n/a n-1=q(常数) (n∈N,n≥2)
③a n+1=a n?q (a n≠0)
（3）等比数列的通项公式
教师进一步启发：式子a n+1/a n=q（n∈N*）给出了第n+1项与第n
项的数量关系，但能否确定一个等比数列？能否求出这个数列的任意
一项？教师继续追问：确定一个等比数列需要几个条件？如何求等比
数列的任意一项，需要研究等比数列的通项公式。
问题6：根据等比数列a n+1/a n=q(常数)(n∈N*)与a n+1=a n?q(a n≠0)，
试用a1和q表示a n
设计意图：其一是让学生体验从特殊到一般和从一般到特殊的思
想方法.从中归纳出等比数列的通项公式，其二是设法激活学生的思维，让学生进行热烈的讨论，最终发现等比数列的通项公式。
讨论结果：①不完全归纳法
a2=a1q, a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3… a n=a1q n-1
②叠乘法
a2/a1=q,a3/a2=q,a4/a3=q…a n/a n-1=q
n-1个式子相乘得：a n/a1=q n-1,所以a n=a1q n-1.
2.3矫正反馈，迁移应用
(A组)
1、已知等比数列{a n}的第m项是a m,公比是q则a n=
2、说出等比数列{a n}中的函数特征
3、求出数列1，3，9，27 …中的a100
(B组)
已知数列{a n}以a1为首项，以q公比的等比数列，判断下列数列是否为等比数列，若是，请给出证明
①{a3n}; ②{a2n-1}；③ {ca n}．
2.4精讲点拨 ,总结反思
（1）本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；
（2）注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
（3）用方程的思想和函数的观点认识通项公式，并加以应用。例：（1）已知数列{a n}的通项公式a n=2n-1,求证：数列{a n}是等比数列（2）在等比数列{a n}中是否有a n2=a n-1a n+1(n≥2),反之成立吗？
二、教案分析
本节课可算是“最普通最平凡”的一节课，如何出新又出彩，确实是不容易的。笔者在平时的教学实践中，孜孜以求的是用科学加艺术的教学方式努力提高课堂教学效率。
（一）教学观念是教学设计的方向盘
突破旧的教学模式，精心设计教学环节，多给学生创新的条件、机遇和氛围，突出知识的发生、形成、探索过程，寓创新意识与课堂教学中是本节教学设计的主旋律。本教案一反常规，在注重知识落实的同时，更注重的是过程，通过一系列问题的创设，将教学内容有机地联系起来.
从这节课的整体效果看，课堂不再是一个封闭系统，也不再拘泥于预先设定的固定不变的模式，课堂更加灵活开放。学生学得轻松，主动参与的热情高涨，课堂变得灵动，变得延展开放。在教师适当的点拨下，学生在力所能及的发现中可以领略到数学的魅力，激发学习兴趣。
从教师的教学理念看，特别注重提高思维能力和创新意识的培养，于是设计出一个又一个富于成果的、有价值的问题给学生以探索的机会，激发创造的热情，从而提高了素质。课堂上，教师需要做的是积极引导学生去探索、去发现。也就是说，规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探索，问题让学生自主解决。让学生在“活动”中学习，在“自主”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，最终达到教学效果的时效性、活力性。
（二）教材是教学设计的主战场
现行教材是由许多教育专家经反复修改、讨论编成的，它的每一项内容乃至每一道题目都有其精心的考虑。当然，编者不可能也无必要把他们的所有想法都写进教材，这就要求我们深入钻研教材，充分发挥教材的潜能。实际教学时，做到既源于课本，又高于课本、活于课本。例如，本教案中对等比数列项的非零性特征就是教材中的隐含条件，如果不把它挖掘出来，对等比数列的理解就会有偏差，就会认为数列a,a,a…是等比数列。所以，教材是知识的载体，它给予我们一个完整的知识框架，教师可以根据学生的具体情况，对教材进行挖掘、加工，有创造性地设计教学过程。
本教案充分挖掘了教材的潜能，站在学生的层面上设计教学过程，把知识点的掌握转化为探索过程，并把探索的领域一次次扩大，一次次深入，这种由浅入深，由表及里的教学设计方案符合学生的一般认识规律。