数阵图讲义

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321 776655443322117654321a

首先我们观察下图：

图中有4个大圆，每个圆周上都有四个数字，神奇的是，每个圆周上的四个数字之和都等于20。不信，你就算算。

上面这幅图就是数阵图。

把给定的一些数按一定的要求或规律填在特定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图。数阵图绚丽迷人，变化多端，引人入胜。常见的主要有三种：（1）辐射型（2）封闭型（3）复合型。一般说来，数阵图主要讨论以下两个问题：

（1） 满足某种条件的填法是否存在；

（2） 在填法存在的情况下，把待定的数字补充完整。

这一讲我们学习辐射型数阵图。

【例1】 把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8。

【分析与解】这是辐射型数阵图。你可能觉得这道题太简单了，七拼八凑就会写出正确答案。可是，你明

白其中的道理吗？下面我们就一起来探索其中的道理，只有弄清其中的道理，才可能解答更复杂巧妙的数阵图问题。

中间方格的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“中心数”。用字母a 表示。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于8。所以横行的三个数之和加上竖列的三个数之和为（8＋8=）16，即（1＋2＋3＋4＋5）＋a =8＋8，整理得：15＋a =16。

为什么还要加上a 呢？因为 a 是中心数，相加时一共被加了两次，其余各数均被加了一次。在计算1＋2＋3＋4＋5时已计算了一次，所以最后还要加上a 。

解得：a =1

求出了中心数。其余各数就好填了。如图所示。

【例2】 把1～7这七个数分别填入下图的各个方格内，使每条线段上三个○内数的和相等。

654321c b a 【分析与解】首先，我们分析一下，这七个○内的数中，哪几个数是关键？由图我们看到，在计算每条线段上三个数的和的过程中，都要用到中心数。另外，还要知道每条线段上三个数的和是几。所以，确定中心数和每条线段上三个数的和是解答本题的关键。

为此，我们设图中的中心数为a ，每条线段上三个○内数的和为k ，则

3k=（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＋2a

3k=28＋2a

下面，我们利用上面得到的关系式3k=28＋2a 来确定中心数a 的值。

因为等式左边是3k ，无论k 是多少，3k 一定是3的倍数，所以等式右边也是3的倍数。观察3k=28＋2a ，28除以3余1，则2a 除以3余2，经过尝试，a=1或4或7。

（1）当a=1时，得

k =（28＋2×1）÷3

k =10

这就是说，这个数阵如果以1为中心数，那么，每条线段上三个○内数的和是10。

这样，我们就可以把1填入原来图形的中心○内，然后把其余六个数，两个两个地组合在一起，使它们的和为9。

因为，2＋7=3＋6=4＋5=9

所以，我们把每组两个数填入原图中每条线段的两个○内，就得到了这个题的第一个基本解，如图所示。

（2）当a=4时，得k =12

这样，我们又可以得到一个基本解，如图所示。

（3）当a=4时，得k =14

这样，我们还可以得到又一个基本解，如图所示。

如果我们把这三个基本解，除中心数以外的数进行旋转或内外对调，又可得其它形式的解。但我们今后解题时，只要求求出基本解。

【点评】本题数阵图特点是：从一个中心出发，向外作了三条射线，而且每条线段上的数之和都相等。这样的数阵图就叫做辐射型数阵图。

填辐射型数阵图的关键是确定中心数a 与每条线段上几个○内数的和k 。解题的主要步骤是：

（1） 找出a 与k 的关系式；

（2） 通过a 、k 关系式中余数的讨论，确定中心数a 值。

（3） 根据a 的值，利用a 、k 关系式求出k 的值，然后试验填数阵图。

【例3】 把1～6这六个数分别填入下图的六个圆圈中，使三角形三条边上三个圆圈内数字的和都相等。

【分析与解】 因为三个顶点上的数在求和时，都用了两次，我们用a 、b 、c 表示这三个数。每条边上三个数的和用k 表示，三条边的总和就是3k 。并且有：

3k=1＋2＋3＋4＋5＋6＋a ＋b ＋c

3k=21＋a ＋b ＋c

因为等式左边是3k ，一定是3倍数，所以等式右边的结果也一定是3的倍数。观察21＋a ＋b ＋c ，21是3的倍数，则a ＋b ＋c 的和一定也是3的倍数。下面来讨论a ＋b ＋c 的取值范围，它至少是1＋2＋3=6，至多是4＋5＋6=15。

把a ＋b ＋c 的结果代入到3k=21＋a ＋b ＋c ，则3k 的最小值是27，最大值是36，所以k 的最小值是9，最大值是12。

选择当k=9时，a ＋b ＋c=6，则a 、b 、c 是1、2、3。把1、2、3填入三个顶点的圆圈中，每边中间的

121110

98765

4321

a

数可用和（9）减去另两个数就可以求出。

例4：把1～12这12个数填入下图圆圈中，使正方形每边上四个数的和都相等并且尽可能小。

【分析与解】 解题的关键是抓住中心数进行分析，我们用字母a 、b 、c 、d 表示顶点上的4个数。

可知4k=1＋2＋……＋12＋（a ＋b ＋c ＋d ），即 4k=78＋（a ＋b ＋c ＋d ）

因为等式左边是4k ，一定是4的倍数，则等号右边的结果也一定是4的倍数。因为78除以4余2，则（a ＋b ＋c ＋d ）的和除以4也余2，只有这样余数相加的和才能是4的倍数。

a ＋

b ＋

c ＋

d 的最小值是1＋2＋3＋4=10，最大值是9＋10＋11＋12=42。下面我们选择最小值进行讨论。当a ＋b ＋c ＋d=10；则4k=78＋10=88，可以算出k=22。

将1、2、3、4填入四个顶点中，用每边四个数的和22减去每边上已填入的两个数的和，依次得出各边所缺的两个数的和；由于还剩5、6、7、8、9、10、11、12这些数未填，分别组成每边所缺的部分填入圆圈中，可以得到解答。

【配套练习】 将1～8这八个数分别填入下图的8个○内，使每个大圆上五个数的和都是21。

【分析与解】本题的关键是要先确定两个圆周上交叉点上的两个○内的数。我们用字母a 、b 表示交叉点上的两个数。可知：

（1＋2＋……＋8）＋a ＋b=21×2，

所以a ＋b=42－36=6。

在已知的八个数1～8中只有1和5，2和4这两组数的和是6。每个大圆上另外三个数之和均为21－6=15。

如果a ，b 分别为2和4，那么剩下的六个数1，3，5，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有：1＋6＋8=15和3＋5＋7=15。

故有上图的填法。

如果a ，b 分别为1和5，那么同样可以得到如图的填法。

例5 将1至8这八个数填入下图方方格中，使每一横行、每一竖列三个方格中数的和都等于14。

分析与解：在本题中，中心数只有一个，用a 表示。一共有一个竖行、两个横行，每行的和设为k ，所有行的总和就是3k 。并且有：

3k=1＋2＋3＋……＋7＋8＋a

3k=36＋a

从前面的学习中已经知道，3k 一定是3的倍数，所以36＋a 也一定是3的倍数；36是3的倍数，因

765432176543217654321 7

654

32

1 87

65432187654321

876543

21

此a 也应该是3的倍数。

a 可以是3、6。

如果a=3，则k=13；如果a=6，则k=14。

这样，得到两种填法：

例6 将1至7这七个数填入下面圆圈中，使每条边上三个数的和相等，两个三角形三个顶点上圆圈内数的和也相等。

分析与解一：设中心数为a ，相等的和为k 。

（1＋2＋3＋……＋7）×2＋a ＝5k

56＋a ＝5k

a ＝4，则k ＝12

当中心数为4时，将其余的六个数1，2，3，5，6，7分成两组（1，5，6）；（2，3，7）填写在两个三角形三个顶点上圆圈内。

分析与解二：用前面学过的方法，可以填得下面三种情况，使每条边上三个数的和都相等。

在第一幅中，除公共数1以外，其余六个数的和是27，如果要使两个三角形顶点圆圈内数的和相等，

则每个三角形三个顶点内数的和是27÷2=13.5，这是无法办到的。

同样的分析，第三幅图中除公共数7以外，其余六个数的和是21，而21÷2=10.5，显然无法填出符合条件的数阵。

第二幅图中除公共数4外，其余各数的和是24，24÷2=12，即三角形三个顶点中三个数的和是12。 练习：将例题中的“1至7”换成“2至8”，其余条件不变，你能找出符合条件的填法吗？

例7 把1至8这八个数分别填入下图中的圆圈内，使每个正方形四个角及每条对角线上四个数的和均等于18。

分析与解：因为1＋2＋3＋……＋8=36，图中有两个正方形，所以每个正方形四个数字的和为18。同样，每条对角线上四个数之和也是18，四个数的和是18的有：2＋4＋5＋7=18，1＋3＋6＋8=18，2＋3＋5＋8=18， 1＋4＋6＋7=18等几种，因此，该题有多种填法。上面是其中的一种，你还有别的填法吗？

配套练习：把1至7这七个数填在下图中的圆圈内，使图中每个大圆和每条直线上的三个数之和都相等。

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