2019考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(十六)-7页精选文档

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钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六）

万学海文

在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形．

【方法一】如果幂级数为标准形n n n x a ∑∞=0，则可直接利用公式，由||lim 1n n n a a +∞→=ρ，得收敛半径为ρ1

=R ，收敛区间为),(R R -． 【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如12120220,++∞

=∞=∑∑n n n n

n n x a x a ，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数)(1x u n n ∑∞=，由比值判别法，先求|)

()(|

lim )(1x u x u x n n n +∞→=ρ，再令1)(

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求得收敛区间),(b a 后，再考察数项级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞

=的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是：

（1）一般不能用比值法或根值法判定级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞

=的敛散性．

（2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变．

【例1】下面有四个命题：

①若n

n n x a ∑∞=0的收敛域为],[R R -，则幂级数10

-∞=∑n n n x na 的收敛域为],[R R -． ②设幂级数n n n x a ∑∞

=0在2-=x 处条件收敛，则它的收敛半径2=R ．

③设幂级数n n n n n n x b x

a ∑∑∞=∞=00,的收敛半径分别为21,R R ，则n n n n x

b a )(0+∑∞

=的收敛半径为},min{21R R R =．

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④设0>n a ，且满足),3,2,1(11Λ=<+n a a n n ，则n n a ∑∞=0

收敛．

这些命题中正确的个数是（ ）．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 解 关于命题①，取n n x x a n

n n

n n ∑∑∞=∞==10，其收敛域为[－1，1]，但11

-∞=∑n n n x na 的收敛域为[－1，1），所以①不正确． 关于命题②，设幂级数n

n n x a ∑∞=0的收敛半径为R ．若2>R ，由于对满足R x <||的任意x ，级数n n n x a ∑∞

=0绝对收敛，从而推出n n n a

)2(0-∑∞=绝对收敛，这与已知矛盾；若2||的任意x ，级数n n n x a ∑∞=0发散，从而推出n n n a )2(0-∑∞=发散，也与已知矛盾．因此2=R ，②正确．

关于命题③，当21R R ≠时，},min{21R R R =，于是要考察21R R =的情形．设有两个级数n n n n n x n x n )1(,)211(11-+∑

∑∞=∞=，易求得它们的

第 4 页 收敛半径为121==R R ，但]1)211[(1n n n n x n x n -++∑∞=n n n x 211∑∞==的收敛半径为2=R ，因此③不正确．

关于命题④，这里要注意，对于正项级数n n a ∑∞=0，若极限n n n a a 1lim +∞→存在，且1lim 1<+∞→n n n a a ，则级数n n a ∑∞=0

收敛．但11<+n n a a 与1lim 1<+∞→n n n a a 有本质区别，由11<+n n a a 可能得1lim 1=+∞→n n n a a ，这时比值判别法失效．例如：取n a n 1=，则111<+=+n n a a n n ，但n n a ∑∞=0

发散，因此命题④不正确．

综上所述，可知应选B ．

【例2】设幂级数n

n n x a )1(0+∑∞=的收敛域为（－4，2），则幂级数n n n x na )3(0

-∑∞=的收敛区间为______． 解 设1+=x t ，则由题设知幂级数n

n n t a ∑∞=0的收敛半径为3．由幂级数的性质，级数11-∞

=∑n n n t na 的收敛半径也是3，显然，幂级数n n n t na ∑∞

=0有相同的收敛半径3．