03功和能题

第三章 功和能

3-1一质点在几个力同时作用下的位移为Δr =5i +8j -9k (m)，其中某个力为恒力f =2i +3j -2k (N)，求这个力在过程中所作的功. 解：()()52985232=-+?-+=??=k j i k j i r f A J

3-2如图所示，一质点在坐标平面内作圆运动，所受外力中某一力f =y 2i +(x -R )2j （SI ），问当该质点自原点o 运动到a 点的过程中f 所作的功是多少?

解：在质点位移 j i r y x d d d += 的微过程中，力f 所作的元功d A 为

()y R x x y A d d d 2

2

-+=??=r f

因为质点在由方程 ()x R y R -+=2

22 决定的圆周上运动，所以 ()[]

()

y y R x R x R A d d d 222

2-+--=

质点自o 点运动到a 点的过程中所作的功为

()[]

()

30

2220

2

2

3

4R y y R x R x R

A A R

=

-+--=

=???d d d

3-3一物体按规律x =At 2在空气中作直线运动，式中A (＞0)为常量，t 为时间，若空气对物体的阻力正比于物体的速度，阻力系数为k ，求物体由x =0运动到x =L 的过程中，阻力所作的功.

解：按题意物体所受阻力可写为

f kv k

dx

dt

kAt k Ax x =-=-=-=-22 阻力所作的功为

x x A k x f A L

L

x d 2d 0

?

?-===23

213

4

kA -

3-4一地下蓄水池，面积为50m 2，贮水深度为1.5m.假定水平面低于地面的高度是5.0m.问要将这池水全部吸到地面，需作多少功?若抽水机的效率为80%，输入功率为35kW ，则需要多少时间可以抽完?

解：将示意图中离地面h 深d h 厚的一层水吸到地面，外力需作的功d A 为

()()h S m h

Sgh gh m A d d d d d ρρ===

()610211023.422

1

d 1

00

?=+=

=

∴?+h h h Sg h Sgh A h h h ρρ J

N A t

N 出出入

=

=η

23

6

1051.110

3580.0102.4?=???==∴入出N A t η s

y o

x

a

R

图3-2

3-5如题图，将原长l 0=6.0cm 的弹性皮筋装在间距

AB=2a =8.0cm 的刚性支架上，这时皮筋张力T 0=4.0N.今在

AB 中点处沿垂直于AB 的方向加一外力缓慢地将皮筋拉成折线ACB ，已知AC=BC ，OC=b =3.0cm ，皮筋质量可略，由功的定义求拉伸皮筋的过程中外力作的功.

解：把整根皮筋看作两根弹簧，每根弹簧的劲度系数可以求出。

由 T k a l 002=-?

?

??

，得 400=k N/m

如图建立y 轴，在皮筋中点位移d y 的过程中，外力F 应作功

y T A d cos 2d α=

式中：cos α=+y

a y 22

，??? ??

-+=2022l y a k T ；

12.0d 22220022=+??? ?

?

-+=∴?y y a y l y a k A b

J

3-6如图所示，一子弹水平地射入一静止在光滑水平桌面上的木块，二者一起平动.已知子弹射入木块的深度为s 0，子弹在木块中达到相对静止的过程中木块位移为s ′，木块对子弹的平均阻力为F 0.分别以木块、地面为参考系，求此过程中 (1)阻力对子弹作了多少功? (2)子弹对木块作了多少功?

(3)这对作用力反作用力作功之和. 解：

(1) 木块为参照系：-F S 00 , 地面为参照系：()-+'F S S 00; (2) 木块为参照系： 0 , 地面为参照系：S F '0;

(3) 木块为参照系：-F S 00 , 地面为参照系：-F S 00。

3-7证明：一对作用与反作用力所作的总功，与参考系的选择无关.

证明：图中，f 1 , f 2表示m m 12,之间的一对相互作用力，因此有f 1 = - f 2。设在微过程中m m 12,相对于某参照系的位移为d r 1,d r 2，则在此参照系中算

得这一对力所做元功之和为：

()12

221222112

1r f r r f r f r f d d d d d d d d -=--=?+?=+=A A A

式中12r d 为质点1对质点2的位移，显然这与参照系的选择无关。 ?

?-=∴122r f d A

A B

C O a b 图3-5

图3-6

s'

s 0

r 2 2

B

O

也与参照系选择无关。证毕。

3-8某质点的质量m =0.2kg ，其运动方程为 x =4+3t 2

y =9t (SI) z=10

求t =5s 到t =10s 这段时间内，合外力对这个质点所作的功. 解：

解法一：由运动方程有

s

m d d .d d ,d d ,

s

m

d d 2t t

x

t z

t y

t x

60062

22

22

2====又

?????=====∴21

21

2

1

2105

10726212121x x t t x x x x t t t v x x F A .d .d .d .d J

解法二：由运动方程可得t 时刻质点速度为

81362

2

22+=??

? ??+??? ??+??? ??=t t z t y t x v d d d d d d

令v v 510,分别代表质点在t t ==510,时的速率，则由动能定理有

()2

52102

1v v m A -=合 =2.7×102 J

3-9质量为m 的雪撬从四分之一圆周的圆弧坡上

由静止滑下，并在水平地面上滑行一段距离s 后停下来(如图).设雪橇和地面间摩擦系数为常量，雪橇到达

水平面A 点时的速度为v ，圆弧的半径为R . 求摩擦

力的功和摩擦系数μ. 解：从圆弧坡上滑下 mgR =A μ 1+

2

2

1mv 在水平地面上滑行 2

2

1mv =μmgs = A μ 2 ∴ 摩擦力的功= mgR

μ =gs

v 2

3-10一轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定在A 点，一端连一质量为m 的物体，靠在光滑的半径为a 的圆柱体表面上，弹簧原长为AB. 在变力F (沿切线方向)作用下，物体极缓慢地沿表面从位置B 移到C ，求力F 所作的功.

(1) 用功的定义作； (2) 用动能定理作. 解：

(1) 由于物体沿表面运动极其缓慢，可认为物体受力平衡。 在切向有 F mg f =+cos α 又f ka =α

()2

20

2

1θθαααθ

θka mga a ka mg A F +

=+=?=∴??sin d cos d S F (2)质点运动中动能增量为零。所以由动能定理有 A A A A A F N f G 合=+++=0

F C

B

A

O

a θ

图3-10

图 3-9

而 A N =0, A mga G =-sin θ, ()A k a f =-12

2

θ

∴=--=+

A A A mga ka F G f sin θθ12

22

3-11把竖直挂着的质量为m 、长度为L 的均匀铁链的下端缓慢对折回来和上端挂在一起，要作多少功?

解：显然对折后铁链的质心上升了L 4

，对铁链地球系统用功能原理有

A E mg L 外重==?4

3-12 二质点的质量各为m 1，m 2．当它们之间的距离由a 缩短到b 的过程中，万有引力所做的功等于多少？

解：一对力的功与参考系无关，取坐标如图

A =

??)

()

(d b a r F 2=r r m m G

b

a

d ?-2

2

1 =Gm 1m

2 ??? ?

?-a b 11

3-13河中的水流速度为v ，某人以力F 拉住在河水中的船，使船相对于岸不动.以地面

为参考系，人对船所做的功率是多少？以流水为参考系，人对船所做的功率又是多少？ 解：以地面为参考系 N =F ·v 船=0

以流水为参考系

N =F ·v 船′= F ·v = F ·v

3-14一弹簧原长l 0＝0.10m ，劲度系数k ＝50N ·m -1，其一端固定在半径为R ＝0.10m 的半圆环的端点A ，另一端与一套在半圆环上的小环相连．求：在把小环由半圆环中点B 移到另一端C 的过程中，弹簧的拉力对小环所作的功．

解：设弹簧的伸长量为l 弹簧力 F = -kl r 0

A =

??--?-=?0

22l R l R l kl d d (C)

(B)

r F =kR 2

(12-

)

=50×0.102×(12-) J = -0.21 J

3-15一柔软纤细匀质的绳子，总长为l ，放在光滑的桌面上，其一端下垂伸入桌面上光滑的小孔内，长度是a .假定开始时绳子是静止的，问在下面两种情况下，绳子全都掉进小孔时的速度是多少？

(1)在桌面上的绳子是伸直的；

m

m

12

v

图 3-19

(2)在桌面上的绳子是紧靠在小孔旁边堆放着. 解：设单位长度的质量为λ

(1) 如图，当下落到x 时，绳子受外力的合力为

F =λgx i 有： λgx =λl

t

v d d gx d x =lv d v 积分得： gx 2

l a

=lv 2

v 0

v =

)(22

a l l

g - (2) 如图，当下落到x 时，绳子受外力的合力为

F =λgx i 有： λgx =

t

xv d )

d(λ 注意到：此时受力的只是下落的部分绳子，以它为研究对象m= λx ，是个变质量问题，故用此式。

移项 λgx d t =λd(xv ) 配方 gx 2d x =xv d(xv )

??=lv

l

a

xv xv x gx

2

)d(d

)(33

232a l l

g v -=

分析：此题的前一问，在运动过程中系统的机械能守恒，可以用来解题：

E 1=2

a ag ?-λ E 2=2

2

12lv l lg λλ+-

由E 1=E 2 得 v =

)(22

a l l

g - 而在第二问中，由于绳子在下落过程中总有一小段绳子的速度从0变为v ，也就是说，存在冲击过程，机械能不守恒，不能用机械能守恒定律来解题。

3-16一质量为m 的地球卫星，沿一圆轨道运动，离开地面的高度等于地球半径的二倍(即2R ).试以m , R ，引力恒量G 0，地球质量M E 表示出： (1)卫星的动能；

(2)卫星在地球引力场中的引力势能；

(3)卫星和地球系统的总机械能. 解：

(1) 卫星在地球引力的作用下绕地球作圆周运动，它的动力学方程为：

r

v m F 2

=引力

，

l-a

x

l-a 0 a

x

令 r R =3，则 ()

G mM R m v R E mv G mM R

E K E

022

20

33126=∴== (2) 按定义，引力势能为 E G mM r G mM R

p E E =-

=-003 (3) E E E G mM R G mM R G mM R

k p E E E

=+=-=-000636

3-17小球的质量为m ，沿着光滑的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图所示.设小球的初

速为零，问： (1) 要使小球沿圆形轨道运动一周而不脱离轨道，小球最

低应从多高的地方滑下?

(2) 如果小球由H =2R 的高度滑下，小球在何处离开轨道? 解：(1) 在圆周的最高点处m 的速率为v, 则其动力学方程为

N mg m v R

+=2

又，m 与地球系统的机械能守恒，所以有 mgH mg R mv =+

212

2

m 不脱离轨道，应有N ≥0, 解出v gR 2

≥。 代入上式得到

H R R R ≥+

=2252

即最低应从而2.5R 的高度滑下，才能使小球运动不脱离轨道。 (2) 设m 位于θ处离开轨道，离开时速率为v 。则有

mg m v R

sin θ=2

m 与地球系统机械能守恒给出

()mg R mg R R mv 21

2

2=++sin θ 解得 sin ,θ=23 s i n

θ=∴=h R h R 2

3

即小球将在R R R +=235

3

处离开轨道。

3-18如图所示，质量为m 的物体放在光滑水平面上，

物体的两边分别与劲度系数为k 1和k 2(k 1≠k 2但相差不太悬殊) 的二轻弹簧相连.今在右边弹簧的末端用力F 向右拉，问

(1)k 2的右端极缓慢地向右拉过l ，F 作的功为多少?

(2)k 2的右端快速拉过l 便不动，F 作的功为多少? (3)在(2)的情况下，物体的最大动能为多少? 解：(1) 设k 2的右端移过l 时，k k 12、各伸长了l l 12、, 则有 l l l 12+=

图3-13

H R m

F

m

k k 1

2

图3-14

因为拉动是极缓慢的过程, 故m 受合力应为零，即l l 12、还应满足方程 k l k l 1122= 对k k m 12、、系统应用功能原理有 A k l k l F =

+121

2

112222 联立上述三个式子可得： ()

A k k k k l F =+12

1222

(2) 在k 2右端快速拉动过程中m 尚未有明显位移，可以认为k 1无形变，所以对k 2用

功能原理有

A k l F =

1

2

22

(3) k 2右端启动之后，k k m 12、、系统的机械能应该守恒，而当m 处于力的平衡状态

时其动能应为最大，此时系统的势能则为 E k k k k l P min =

+121212

2

而系统的总机械能应为E k l =12

22

∴=-=-+=+E E E k l k k k k l k k k l K P m a x m i n 12121222121222

2

12

2

3-19如图,一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度h 处，该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为k ，不考虑空气阻力，并取坐标原点o 为势能零点，求:

(1) 重力势能及弹性势能之和取极小值时，弹簧被压缩的位置； (2) 物体最大的动能. 解：(1) m k 、、地球系统在压缩x 时势能为

E kx mgx p =

-122 令??E x

kx mg p =-=0 得x mg

k 1=时E p 取极值；容易验证此乃极小值。

(2) 由该系统机械能守恒得mgh E kx mgx k =+-12

2，当x mg k 1=时E p 最小，则E k 最大，

k

g m mgh mgx kx mgh E k 2212

2121+

=+-=∴max

3-20 如图所示，A 点是一单摆的悬点，在A 点的正下方B 点处有一固定的钉子. AB 的距离为d ，单摆的摆长是l .试证明：为了使摆球从水平位置放下后摆绳能够以钉子为中心绕一圆周轨道旋转，则d 至少应等于0.6l .

解：在以B 为圆心的小圆最高点m 受力如图，速率为v ；其动力学方程为

()

T mg m

v

l d +=-2

m 与地球系统机械能守恒，所以有

h

o

x

m 图3-15

d

l

图3-16

()mgl mv mg l d =

+-12

2

α 令T =0，则()v g l d 2=-；将此代入上式得

()()l l d l d =

-+-1

2

2 整理后得 35l d =, ∴==d l l 3

5

06. 即d 至少等于06.l 。证毕。

3-21一特殊弹簧，力的规律为F =-Dx 3, 式中D 为常量，x 为端点离开平衡位置的位移.

(1) 缓慢地将端点从平衡位置o 拉至x ，外力要作多少功? (2) 若选在平衡位置o 的势能为零，问x 处的势能是多少? 解：(1)(

)

4

34

1Dx x Dx A A x

F =

--=-=?d 外 。 (2)对弹簧用功能原理有 ()()()A E E x E E x P P P P 外==-=?0

()∴==

E x A Dx P 外1

4

4 3-22一质点在某保守力场中的势能为E Ｐ=

4r

a

，其中r 为质点与坐标原点之间的距离，a 为大于零的常量，求作用在质点上的该保守力的大小及方向.

解：因为E P 仅为r 的函数，所以此保守力必可表示为F =F r r 0 (r 0为r 方向上的单位矢量)。保守力F 作功与势能变化d E P 的关系应为

P E d d -=?r F

54r

a

r E F P r =-=∴d d 方向沿矢径r 的正向 写成矢量式有

r F 64r

a =