复数及数域的扩充知识点
第三章 复数及数域的扩充
1．概念：
(1) z =a +bi ∈R ?b =0 (a,b ∈R )?z=z ?z 2≥0；
(2) z =a +bi 是虚数?b ≠0(a ,b ∈R )；
(3) z =a+b i 是纯虚数?a =0且b ≠0(a,b ∈R )?z ＋z ＝0（z≠0）?z 2<0；
(4) a +b i=c +di ?a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )；
2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R )，则：
(1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ；
(2) z 1.z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ；
(3) z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2
222+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论：
(1) i i 2)1(2±=±；
(2) i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i (3) z z z z z 111=
?=?= ⑷;11;11i i
i i i i -=+-=-+ 4．运算律：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m m m mn n m n m n m ∈=?==?+
5．共轭的性质：⑴2121)(z z z z ±=± ；⑵2121z z z z ?= ；⑶2121)(
z z z z = ；⑷z z =。 6．模的性质：⑴||||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-；⑵||||||2121z z z z =；⑶||||||2121z z z z =；⑷n n z z ||||=； 考点：复数的运算
★1．复数z=
（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 ★2、设i 是虚数单位，复数
i ai -+21为纯虚数，则实数a 为 (A)2 (B) -2 (C) 21- (D)2
1 ★3、若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +?=
A ．13i +
B ．33i +
C ．3i -
D ．3 ★4．复数
512i i =-
A ．2i -
B ．12i -
C ． 2i -+
D ．12i -+ 22i i -+i
复数知识点归纳(可编辑修改word版)
精心整理 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② i2=-1；这样方程x2=-1 就有解了，解 为x =i 或x =-i 2、复数的概念 （1）定义：形如a +bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。全体复数所成的集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示，即z =a +bi (a，b∈R) 对于复数的定义要注意以下几点： ① z =a +bi (a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2）分类： 例题：当实数m 为何值时，复数(m - 5m + 6) + (m2- 3m)i 是实数？虚数？纯虚数？ 二、复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知(x +y - 3) + (x - 4)i = 0 求x, y 的值 三、共轭复数 a +bi 与c +di 共轭?a =c, b =-d (a, b, c, d ∈R) _ _ z =a +bi 的共轭复数记作z =a -bi ，且z ?z =a2+b2 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 页脚内容
精心整理 页脚内容 a 2 + b 2 2、复数的几何意义 → 复数 z = a + bi 与复平面内的点Z (a , b ) 及平面向量OZ = (a , b ) (a , b ∈ R ) 是一一对应关系（复数的实质 是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数 z = (m 2 - 8m +15) + (m 2 - 5m -14)i 的点 ①位于第三象限；②位于直线 y = x 上 → → → → （2）复平面内 AB = (2,6) ，已知CD // AB ，求CD 对应的复数 3、复数的模： → 向量OZ 的模叫做复数 z = a + bi 的模，记作 z 或 a + bi ，表示点(a , b ) 到原点的距离，即 z = a + b i = ， z = z 若 z 1 = a + bi ， z 2 = c + di ，则 z 1 - z 2 表示(a , b ) 到(c , d ) 的距离，即 z 1 - z 2 = 例题：已知 z = 2 + i ，求 z -1+ i 的值 五、复数的运算 （1） 运算法则：设 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ① z 1 ± z 2 = a + bi + c + di = (a + c ) + (b + d )i ② z 1 ? z 2 = (a + bi ) ? (c + di ) = (ac - bd ) + (bc + ad )i ③ z 1 z 2 = (a + bi ) = (c + di ) (a + bi )(c - di ) (c + di ) ? (c - di ) = (ac + bd ) + (bc - ad )i c 2 + d 2 （2） 几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出 的平行四边形 OZ 1ZZ 2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 六、常用结论 （1） i ， i 2 = -1， i 3 = -i ， i 4 = 1 求i n ，只需将n 除以 4 看余数是几就是i 的几次例题： i 675 = （2） (1+ i )2 = 2i ， (1- i )2 = -2i （3） (- 1 ± 3 i )3 = 1 ， ( 1 ± 3 i )3 = -1 2 2 2 2 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x 2＋x ＋1＝0 没有解.( ) (a - c )2 + (b - d )2
数系的扩充和复数的引入教学设计
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
减数分裂知识点归纳
减数分裂和有性生殖知识点归纳 一、减数分裂的概念 1、范围：凡是进行有性生殖的生物； 2、时期：在从原始的生殖细胞发展到成熟的生殖细胞的过程中； 3、特点：细胞连续分裂两次，而染色体只复制一次； 4、结果：新产生的生殖细胞中的染色体数目比原始生殖细胞中的数目减少了一半。 （注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂，又可进行减数分裂） 二、减数分裂的一般过程（动物） 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ：联会、四分体（非姐妹染色单体交叉、互换）减数第一次分裂（Ⅰ）中期Ⅰ：四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ：同源染色体分离（非同源染色体自由组合） 数末期Ⅰ：染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ：（对二倍体生物而言，已无同源染色体）减数第二次分裂（Ⅱ）中期Ⅱ：非同源染色体排在赤道板上 后期Ⅱ：着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ：DNA数目再减半 三、精子的形成过程 四、卵细胞的形成过程 五、精子、卵细胞产生过程的异同： 1、相同点：①都是性细胞（配子）②都经减数分裂产生 2、不同点：①卵原细胞两次分裂为不均质分裂（极体均质），精原细胞的分裂为均质分裂； ②1个卵原细胞产生1个卵细胞，1个精原细胞产生4个精子；
③精子的形成需变形，卵细胞的形成不变形。 六、配子种类（只考虑非同源染色体的自由组合，不考虑交换） （1）可能产生精子的种类：2n种 1个精原细胞（2）实际产生精子的种类：2种 （含n对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生的两个精子是相同的） 1个雄性个体（含n对同源染色体）产生精子的种类：2n种 （1）可能产生卵细胞的种类：2n种 1个卵原细胞（2）实际产生卵细胞的种类：1种 （含n对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） 1个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞的种类：2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 有丝分裂与减数分裂曲线的区别： 有丝分裂：起点与终点（染色体或DNA）数目相同； 减数分裂：起点（染色体或DNA数目）是终点的两倍。 DNA与染色体曲线的区别： DNA曲线有斜线（间期复制），染色体曲线没有斜线。 如图，BC段和JK段为斜线，则该图为DNA变化曲线； 曲线起点为A和I，终点为G和P， 则A→G为减数分裂，I→P为有丝分裂，G→I为受精作用。 如图，图中没有斜线，因此为染色体变化曲线； 起点为A和E，终点为E和K， 则A→E为有丝分裂，E→K为减数分裂， 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三看识别法（二倍体生物） 一看同源→有同源染色体：有丝分裂和减数第一次分裂，无同源染色体：减数第二次分裂 二看特殊行为→有联会或同源染色体分离等特殊行为的是减数第一次分裂， 没有特殊行为的是有丝分裂 三看是否均等分裂→均等：初（次）级精母细胞或第一极体 不均等：初（次）级卵母细胞 九、同源染色体的特点 ①来源：一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对（即联会）
高中数学必备知识点 复数知识点的归纳
2013高中数学必备知识点复数知识点的归纳 复数在数学领域中起着举足轻重的地位，学好复数，自然而然也变得尤为重要。以下是关于复数的一些基本知识，让我们一起来了解下吧。 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数）我们将复数z=a+bi中的实数a 称为复数z的实部（real part)记作Rez=a 实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b. 已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = ?1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即（a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 除法法则 复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即 (a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ），则 z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1） 用心爱心专心- 1 -
八年级数学数据分析知识点归纳与例题
八年级数学《数据的分析》知识点归纳与经典例题 1．解统计学的几个基本概念 总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。 2.平均数 当给出的一组数据，都在某一常数a 上下波动时，一般选用简化平均数公式' x x a =+，其中a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;?当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。 3.众数与中位数 平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。 4.极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。 5.方差与标准差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是 s 2 = 1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ]； 方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。 【能力训练】 一、填空题：
1．甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示： 2.甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm ， 它们的方差依次为S 2甲=，S 2乙=，S 2 丙=.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是__ __机床。 3.一组数据：2，-2，0，4的方差是 。 4．在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比。初三(3)班将本班50篇学生调查报告得分进行整理(成绩均为整数)，列出了频率分布表，并画出了频率分组 频率 ～ ～ ～ ～ ～ 合计 1 根据以上信息回答下列问题: (1)该班90分以上(含90分)的调查报告共有________篇； (2)该班被评为优秀等级(80分及80分以上)的调查报告占_________%； (3)补全频率分布直方图。 5．据资料记载，位于意大利的比萨斜塔1918～1958这41年间，平均每年倾斜1.1mm ；1959～1969这11年间，平均每年倾斜1.26mm ，那么1918～1969这52年间，平均每年倾斜约_________(mm)(保留两位小数)。 6.为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业，在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表: 区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 降雨量(mm) 10 12 13 13 20 15 14 15 14 14 则该县这10个区域降雨量的众数为________(mm)；平均降雨量为________(mm)。 7.一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为________。 8．下图显示的是今年2月25日《太原日报》刊登的太原市2002年至2004年财政总收入完成情况，图中数据精确到1亿元，根据图中数据完成下列各题： (1)2003年比2002年财政总收入增加了_______亿元； (2)2004年财政总收入的年增长率是_______；(精确 到1％) (3)假如2005年财政总收入的年增长率不低于2004年 甲包装机 乙包装机 丙包装机 方差 （克2 ） 31．96 7．96 16．32 根据表中数据，可以认为三台包装机 中， 包装机包装的茶叶质量最稳 定。
复数域阶乘
复数域阶乘 按阶乘的新定义 对于数n ，所有绝对值小于或等于n 的同余数之积。称之为n 的阶乘，即n! 对于复数应该是指所有模n 小于或等于│n │的同余数之积。。。 对于纯复数我们有 ()m 441!i !(k )i !m m n x x n =+=∏ ()m 1i !i !(k )i !m m n x x n =+=∏ ()m 331-i !i !(k )i !m m n x x n =+=∏ ()m 221-!i !(k )i !m m n x x n =+=∏ 但是对于非纯虚数，我们如何定义它 Z=a+bi 首先我们要认识纯虚数及实数的阶乘特点，就是它们的模是等差数列，每一级相差均为1 如此，虚数z 的实，虚部必须满足模的等差数列 即 k k Z a bi n k ib =+=-=+z k 0arcsin !!n b i n k Z n e -∑ = k a =
k k 0 0!!cos arcsin sin arcsin n n b b Z n i n k n k ππ??????=+ ? ? ?--??????∑∑ 如果 0k a ==则变成了纯虚数阶乘了，如果bk=0,则变成了实数阶乘。。。，如此复数阶乘其实是n 为半径的园内经向点的乘积…… 如此如果z 沿径向取阶乘，设与x 轴夹角为α， ()(cos sin )k Z n k i αα=-+ !!(cos sin )!i n Z n n i n n e ααα=+= 到处复数阶乘基本拓展完毕，当然复数阶乘，也可以不沿直线取阶乘，但是沿曲线取阶乘计算会非常复杂，不沿直线取阶乘就按以下公式计算： k k 00!!cos arcsin sin arcsin n n b b Z n i n k n k ππ??????=+ ? ? ?--??????∑∑
英语数词X知识点总结及经典习题(含答案)含答案解析
英语数词X知识点总结及经典习题(含答案)含答案解析 一、初中英语数词 1．There are ________________ months in a year. My birthday is in the ________________ month. A. twelve; twelve B. twelfth; twelfth C. twelve; twelfth D. twelfth; twelve 【答案】 C 【解析】【分析】句意：一年有12个月，我的生日在第12个月。名词复数months前是基数词，twelve是基数词，the定冠词后是序数词，twelfth是序数词，故选C。 【点评】考查数词，注意名词复数前是基数词，定冠词后是序数词的用法。 2．_________ of the teachers are women in our school. A. Two third B. Two threes C. Two thirds D. Two 【答案】 C 【解析】【分析】句意：在我们学校三分之二的老师是女老师。表达分数时，分子用基数词，分母用序数词，分子大于1时，分母用复数。三分二，二是分子，所以用基数词two，三是分母，所以用序数词third，分子二大于一，所以分母third用复数thirds，所以三分之二用two thirds，故选C。 【点评】考查分数表达，注意平时识记其表达规则。 3．There are people in Dale's family. They live on the floor. A. five; nine B. fifth; nine C. five; ninth D. fifth; ninth 【答案】 C 【解析】【分析】句意：在戴尔的家里有五个人。他们住在九楼。基数词放在名词前修饰名词，表示数量，因此用five；序数词放在floor前面表示顺序，因此用ninth，故选C。【点评】此题考查数词。注意基数词和序数词的使用规则。 4．—How handy books are there on the shelf？ —Well. I think there are books. A. two hundred and forty-six B. two hundreds and forty C. two hundred fourteen 【答案】 A 【解析】【分析】句意：——书架上有多少本书？——嗯，我认为有246本书。表示数量246时，百位与十位之间要用and连接，且hundred被具体数字修饰时，用单数形式。故答案选A。 【点评】考查数学词表达，注意平时识记几百几十几的表达。 5．Our country is nearly years old. We'll celebrate its birthday on October 1, 2019 around
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结 数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。下面是小编整理的数学分析知识点总结，欢迎来参考！ 从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。 我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法
设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课： （1）矩阵理论 （2）随机过程 （3）信息论与编码 （4）现代数字信号处理 （5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。 （6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。 大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课：物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课：中级微观经济学（数学）中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！ 正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习
最新复数知识点归纳学习资料
复数【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 2、复数的概念 （1a ，b∈R)a叫做，b叫做 。 a，b∈R) 对于复数的定义要注意以下几点： a ，b∈R) ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2）分类： 例题： 二、复数相等
也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 三、共轭复数 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数的几何意义 的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数 例题：（1 （2 3、复数的模：
→ OZ 的模叫做复数bi a z +=z bi a +),(b a =z 22b a bi a +=+，z z = 若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值 五、复数的运算 （1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2221 )()()()() )(()() (d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋ OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 六、常用结论 （1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i 求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题：=675i （2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=- （3）1)2321 (3=±-i ，1)2321(3 -=±i
最新数系的扩充和复数的概念教案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
减数分裂知识点总结
高二生物减数分裂知识点 一、减数分裂得概念 1、范围:凡就是进行有性生殖得生物； 2、时期：在从原始得生殖细胞发展到成熟得生殖细胞得过程中; 3、特点:细胞连续分裂两次,而染色体只复制一次; 4、结果:新产生得生殖细胞中得染色体数目比原始生殖细胞中得数目减少了一半。 （注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂,又可进行减数分裂） 二、减数分裂得一般过程(动物) 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ:联会、四分体(非姐妹染色单体交叉、互换) 减数第一次分裂(Ⅰ)中期Ⅰ:四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ:同源染色体分离（非同源染色体自由组合) 数末期Ⅰ:染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ:(对二倍体生物而言，已无同源染色体) 减数第二次分裂(Ⅱ) 中期Ⅱ：着丝点排在赤道板上 后期Ⅱ:着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ:DNA数目再减半 三、精子得形成过程 四、卵细胞得形成过程 五、精子、卵细胞产生过程得异同: 1、相同点:①都就是性细胞(配子）②都经减数分裂产生 ２、不同点:①卵原细胞两次分裂为不均质分裂(极体均质),精原细胞得分裂为均质分裂; ②1个卵原细胞产生１个卵细胞,１个精原细胞产生4个精子; ③精子得形成需变形,卵细胞得形成不变形。 六、配子种类(只考虑非同源染色体得自由组合,不考虑交换) （1)可能产生精子得种类:２n种 １个精原细胞(2)实际产生精子得种类:2种 (含ｎ对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生得两个精子就是相同得) １个雄性个体(含n对同源染色体）产生精子得种类:2n种 （1)可能产生卵细胞得种类:2ｎ种 1个卵原细胞(2)实际产生精子得种类:１种 (含ｎ对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） １个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞得种类:2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三瞧识别法(二倍体生物) 九、同源染色体得特点、判断程序 １、特点:①来源:一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对(即联会) 2、判断程序
(完整版)复数知识点归纳及习题
复数 一．知识网络图 二．复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会. 三．复数中的重点 (1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. (2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容. (3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. （4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法. 四．基础知识
1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 (1) z =a +bi ∈R ?b =0 (a,b ∈R )?z=z ? z 2≥0； (2) z =a +bi 是虚数?b ≠0(a ,b ∈R )； (3) z =a+b i 是纯虚数?a =0且b ≠0(a,b ∈R )?z ＋z ＝0（z≠0）?z 2<0； (4) a +b i=c +di ?a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )； 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1） 2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 12 1 z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）| || ||| 2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则； 复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R )，则： (1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ； (2) z 1.z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ； (3) z 1÷z 2 = =-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c a d bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ; 几个重要的结论： (1) i i 2)1(2±=±(2) i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i (3) z z z z z 1 11= ?=?=。；⑷;11;11i i i i i i -=+-=-+ 运算律：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m m m mn n m n m n m ∈=?==?+ 共轭的性质：⑴2121)(z z z z ±=± ；⑵2121z z z z ?= ；⑶2 121)( z z z z = ；⑷ z z =。 模的性质：⑴||||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-；⑵||||||2121z z z z =；⑶| || ||| 2121z z z z =；⑷
减数分裂知识点总结
高二生物减数分裂知识点 一、减数分裂的概念 1、范围：凡是进行有性生殖的生物； 2、时期：在从原始的生殖细胞发展到成熟的生殖细胞的过程中； 3、特点：细胞连续分裂两次，而染色体只复制一次； 4、结果：新产生的生殖细胞中的染色体数目比原始生殖细胞中的数目减少了一半。（注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂，又可进行减数分裂） 二、减数分裂的一般过程（动物） 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ：联会、四分体（非姐妹染色单体交叉、互换）减数第一次分裂（Ⅰ）中期Ⅰ：四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ：同源染色体分离（非同源染色体自由组合）数末期Ⅰ：染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ：（对二倍体生物而言，已无同源染色体）减数第二次分裂（Ⅱ）中期Ⅱ：着丝点排在赤道板上 后期Ⅱ：着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ：DNA数目再减半 三、精子的形成过程 四、卵细胞的形成过程
五、精子、卵细胞产生过程的异同： 1、相同点：①都是性细胞（配子）②都经减数分裂产生 2、不同点：①卵原细胞两次分裂为不均质分裂（极体均质），精原细胞的分裂为均质分裂； ②1个卵原细胞产生1个卵细胞，1个精原细胞产生4个精子； ③精子的形成需变形，卵细胞的形成不变形。 六、配子种类（只考虑非同源染色体的自由组合，不考虑交换） （1）可能产生精子的种类：2n种 1个精原细胞（2）实际产生精子的种类：2种 （含n对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生的两个精子是相同的）1个雄性个体（含n对同源染色体）产生精子的种类：2n种 （1）可能产生卵细胞的种类：2n种 1个卵原细胞（2）实际产生精子的种类：1种 （含n对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） 1个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞的种类：2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三看识别法（二倍体生物） 九、同源染色体的特点、判断程序 1、特点：①来源：一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对（即联会） 2、判断程序
初一全程英语知识点总结及练习
初一全程英语知识点总结及练习 初一年级(上）?【知识梳理】?Ｉ. 重点短语?1.Ｓit dowｎ2．on duty 3．i ｎＥnglisｈ 4.have a ｓeａt ５. at hｏme 6. look lｉke 7.lｏoｋat 8．ｈave a ｌook ９．coｍｅon 10. at ｗoｒk11．at scｈｏｏl 12. puｔoｎ １3. lｏok aｆｔeｒ14. get up １5．go sｈopｐing IＩ．重要句型 1. hｅlp ｓb. do sth. 2. Whａｔａbout…?3．Let’ｓdo sｔh． 4. It’s tim ｅto do sth. 5．Ｉt’s tｉme foｒ… 6. Wｈat’s…? It is…/ Ｉｔ’s…７. Whｅre is…? I t’s…． 8. Ｈow oｌd ａｒｅyou？Ｉ’m….9. Ｗhat cｌass ａrｅyou iｎ？I’m in….10. Wｅlｃomｅｔｏ…． 11. Ｗhaｔ’s …plｕｓ…? It’s….12. I thｉｎk…13. Wｈo’s this? This iｓ….?１4.Whaｔcan ｙｏu ｓｅe？Iｃan see…．15. There is(are) …． 1６．Ｗhatｃoloｕr is it （are tｈｅy)?It’s (They’rｅ）…１７．Wh ｏse …is this？Iｔ’s….?１８. Wｈat tiｍe ｉs it? Iｔ’s…. ＩII.重要语法 1.动词ｂｅ的用法;２. 人称代词和物主代词的用法；3. 名词的单复数和所有格的用法;4.冠词的基本用法;5. Tｈｅreｂe句型的用法。 【名师讲解】?1．ｉｎ/on 在表示空间位置时,iｎ表示在某个空间的范围以内，ｏn表示在某一个物体的表面之上。?2．ｔhiｓ/ｔｈat/tｈeｓe/those?(１)this常常用来指在时间、地点上更接近讲话人的人和事,thesｅ是this的复数形式。ｔhat常常用来指在时间、地点上离讲话人更远一点的人和事,thｏse时tｈat的复数形式。(2）在打电话的用语中,thｉs常常指的是我,tｈat常常指的是对方。?3. Therｅbe/hａve Theｒe be "有",其确切含意为"某处或某时存在某人或某物。＂其结构是:Tｈeｒe be +某人或某物+ 表示地点或时间的状语。Thｅreｂｅ后面的名词实际上是主语,be 动词的形式要和主语在数上保持一致，ｂｅ动词后面的名词是单数或不可数名词时用is，名词是复数时用ａre。总之，Ｔhere be结构强调的是一种客观存在的＂有＂。ｈaｖe表示"拥有，占有，具有",即：某人有某物（sb. ha ｖe / haｓstｈ．)。主语一般是名词或代词，与主语是所属关系。 4. look/ｓeｅ／watch?(1)ｌｏoｋ表示“看、瞧”，着重指认真看，强调看的动作,表示有意识地注意看,但不一定看到，以提醒对方注意。单独使用是不及物动词,如强调看某人/物,其后接介词at,才能带宾语。(2)sｅe强调“看”的结果，着重的是look这个动作的结果，意思是“看到”，ｓｅe是及物动词,后面能直接跟宾语。（３)wａtｃh“观看，注视”,侧重于场面，表示全神贯注地观看、观察或注视某事务的活动,强调过程,常用于“看电视、看足球、看演出”等。 5. put on／/ in ?puｔon意为“穿上，戴上”。主要指“穿上”这一动作, 后面接表示服装、鞋帽的名词。in 是介词，表示“穿着”强调状态。在句中可以做定语、标语和状语。 6．hｏuｓe/ homｅ／famiｌy?house ：“房子”,指居住的建筑物; Home:“家”,指一个人同家人共同经常居住的地方；Family: “家庭“，“家庭成员”。?7．fine，
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
复数域在图像处理中应用
摘要 图像分割，正如字面上所理解的，对图像信息进行分块，并取得自己所需要的那一块。图像分割是图像分析处理的重要环节。为了能更好的理解与分析，和处理图像，尤其是自己感兴趣的那一块，我们离不开图像分割。它将原始图像，通过目标识别，匹配，提取，测量参数后，找到处理的根本对象所在。 如何在图像中表现出其是否是均匀的、是粗糙的又或者是细致的？为了区分图像，我们引入图像纹理特征，它是图像的本身属性。在灰度的变化过程中，通过统计变化，空间中，图像的纹理特征也发生相应的改变。由此可知，纹理特征是指图像内所含有的，一定区域内的，按一定规律形成的或者周期排列的，小形状区域块。 傅里叶变换，就如同处理信号，把图像从“空域”变为“频域”。在一幅图像中，其细节以及纹理特征信息在频谱图的高频率部分呈现出；低频部分代表了图像的轮廓信息。若我们将一幅精细的图像通过低通滤波器变换，那么图像经过变换后的结果就剩下了轮廓。这与信号处理的基本思想是相通的。我们就可以用滤波器来恢复噪点恰巧位于图像的某个特定“频率”范围内的图像。 本文主要是对图像进行傅里叶变换分析并对比Gabor变换和脊波变换。 关键词：图像处理，傅里叶变换，复数域，纹理特征
ABSTRACT Image segmentation refers to the image into various characteristics of the region and extract the target of wich we are interest in.The first step to understand and analysis a image is to make a image segment, the need for image object extraction, measurement and it makes the expression of the target feature extraction, parameter measurement of the original image is the foundation of the image analysis and understanding. Texture refers to the shapes that exist within a certain range of the image,usually is very small,semi-periodic or regular arrangement of the pattern. For same phenomenon, texture is used in image interpretation of meticulous and rough.Texture is one of the main features of image processing and pattern recognition.The texture feature is the image gray level changes,such changes and statistics will be concerned.Image texture features reflect the properties of the image itself,contribute to the distinction between images. As one-dimensional signal processed,Fourier transform trans the image from the "airspace" to"frequency".For a picture,high-frequency part represents the image detail and texture information;low-frequency part represents the outline of the image information.For example,a fine image processed with a low pass filter,then filtering the result to the rest of the silhouette.This is the basic idea of the signal processing are interlinked.If the image is subject to a noise just in a specific "frequency" range,it can pass through the filter to restore the original image. This article is mainly for image Fourier transform analysis and process with Matlab. KEY WORDS：Image process, Fourier transform, Complex Unit,texture feature,