江苏省高等数学竞赛题(本科一级)

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）

一．填空题（每题5分，共40分）

1.a =，b =时，2lim arctan 2

x ax x x bx x p +=--2. a =，b =时()ln(1)1x

f x ax bx =-++在0x ?时关

于x 的无穷小的阶数最高。

3.2420

sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为

5.设222,x

z x y =-则(2,1)n n z

y ??=

6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则

arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则

()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò=

8.幂级数1

n n nx ￥

=?的和函数为，收敛域为。二．（8分）设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明：数列{}n x 收敛，并求其极限

三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证

/

1

max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a ＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面

2）求旋转曲面S 所围成立体的体积

五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子

A 定义为

(),u u A u x y x y

抖=+抖1）求(())A u A u -；2)利用结论1）以,y x y x

x h ==-为新的自变量改变方程22

2222220u u u

x xy y x x y y 抖?++=抖抖的形式

六．（8分）求2

6001lim sin()t t

x t dx xy dy

t +?蝌七．（9分）设222:1(0)x y z z S ++=?的外侧，连续函数

222(,)2()()()((,)2)z z z f x y x y x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy S

=-+++++-

蝌求(,)

f x y 八．（9分）求2

3(3)

()(1)(13)x x f x x x -=--的关于x 的幂级数展开式