中考必会几何模型：手拉手模型(含答案)

手拉手模型

模型手拉手

如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α．

结论：连接BD、CE，则有△BAD≌△CAE．

模型分析

如图①，

∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC．

∵∠BAC＝∠DAE＝α，

∴∠BAD＝∠CAE．

在△BAD和△CAE中，

AB AC

BAD CAE

AD AE

∠=∠

﹐

图②、图③同理可证．

（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．

（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．

模型实例

例1如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：（1）AG与CE是否相等？

（2）AG与CE之间的夹角为多少度？

解答：

图①

图②

图③

2018年中考常见几何模型分析

中考直通车·数学广州分册第八章专题拓展第24讲常见几何模型

【考点解读】常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。几何模型类型较多，综合性强，属于中考中重点但同样是难点的一个考点。【考点分析】 2011年考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。 2014年考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质 2016年本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。【模型介绍】手拉手模型： 1、【条件】如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结 AE 与CD ，【结论】（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H , BH 平分AHC ∠

C D A B F E C D 2、【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。【结论】（1）CDE ADG ???是否成立？（2）AG =CE （3）AG 与CE 之间的夹角为 90 （4）HD 是否平分AHE ∠？旋转模型：一、邻角相等对角互补模型【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ?∠=∠= 【结论】45ACB ACD BC CD ? ∠=∠=+= ① ② 二、角含半角模型：全等角含半角要旋转：构造两次全等 F E D C B A G F E D C B A A C D E A C D E F

中考数学几何模型能力共顶点模型(解析版)

中考数学几何模型2：共顶点模型共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论：（1）BCD ACE ?△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC =∠DAE =90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE ．（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由；（2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．

变式练习>>> 1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）求证：BD=AE．（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.

变式练习>>> 2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF. (1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；

中考数学专题训练旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?????? ?? ?? ??? ???? ? ????????等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α?<

【练2】（2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．

例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：相似模型

中考必考几何模型（猿辅导）最新讲义

相似模型模型1：A、8模型已知∠1＝∠2 结论：△ADE∽△ABC 模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型实例【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证： 1 2 OF OE OD OA OC OB ===．解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴ 1 2 DE BC =．，DE//BC ∴△EOD∽△COB（8模型）∴ 1 2 OE DE OC BC ==．同理： 1 2 OF OA =， 1 2 OD OB =． ∴ 1 2 OF OE OD OA OC OB ===．

证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴ 1 2 GF BF AD BC ==． ∵AD＝CD， ∴ 1 2 GF AD =．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型） ∴ 1 2 OF GF OA AD ==．同理 1 2 OE OC =， 1 2 OD OB =．∴ 1 2 OF OE OD OA OC OB ===．【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AF DF ＝2，求 HF BG 的值．解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A ∴ 1 2 HD DF HF AB AF FB ===，∴HD＝1．5a， 1 3 FH BH =，∴FH＝ 1 3 BH ∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴ 1.53 24 HG HD a GB EB a ===，∴ 4 7 BG HB = ∴BG＝4 7 HB，∴ 1 7 3 412 7 BH HF BG BH == 跟踪练习： 1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．

中考数学几何专题之手拉手模型(初三数学)

手拉手模型【课堂导入】什么是手拉手相似基本图形？与手拉手全等的基本图形类似，手拉手相似要比手拉手全等更具有一般性。在上面右侧的四个图形中，每一个图形中都存在两对相似三角形，△ADE∽△ABC， △ADB∽△AEC，这两对相似三角形是可以彼此转化的。

【例1】已知：△ABC，△DEF 都是等边三角形，M 是 BC 与 EF 的中点，连接 AD，BE. （1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出 AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1 中的△DEF 绕点M 顺时针旋转（0o≤≤90o）角，如图2 所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；【例2】以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．点E、F、M 分别是AC、CD、DB 的中点，连接FM、EM． ①如图 1，当点D、C 分别在 AO、BO 的延长线上时 F M E M ②如图2，将图1 中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转60度角，其他条件不变，判断 F M的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； E M

【例3】如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点 E，F 分别是线段 BC， AF=_______． AC 的中点，连结 EF．（1）线段B E 与A F 的位置关系是_______， BE （1）中的结论是（2）如图2，当△CEF 绕点C顺时针旋转α时（0°＜α＜180°），连结A F，BE，否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【例4】如图 1，在四边形 ABCD 中，点E、F 分别是AB、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．（1）求证：AD=BC．（2）求证：△AGD∽△EGF．（3）如图2，若AD、BC 所在直线互相垂直，求E F A D的值．

初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 O B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC= ∠BOA O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2 O C O C D E O A B C D E O C D

（2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

中考数学必会几何模型：半角模型

半角模型已知如图：①∠2=1 2 ∠AOB；②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′. （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 模型实例例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN．（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．

证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ．在△ADE 和△ABM 中， ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM ． ∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°．在△AMN 和△AEN 中， ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ． ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ．即EN AD 2 1 MN AH 21?=?．又∵MN=EN ， ∴AH=AD ．即AH=AB ．

(完整版)中考数学常见几何模型简介

初中几何常见模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等（1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。（3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）

模型三：对角互补模型（1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时：以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。（2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）：原结论变成：①； ②； ③；可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？

初中几何经典模型总结(手拉手模型)

初中几何经典模型总结（手拉手模型）模型可以让同学更快的进入到几何之中，产生兴趣。也是近来学习初中几何不可或缺的一种重要方法。下面给大家介绍一种经典几何模型---手拉手模型，这也是历年数学中考常考的几何压轴题型之一。手拉手模型的概念:1、手的判别：判断左右：将等腰三角形顶角顶点朝上，正对读者，读者左边为左手顶点，右边为右手顶点。2、手拉手模型的定义：定义: 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手）例如：3、手拉手模型的重要结论三个固定结论:结论1:△ABC≌△AB'C'(SAS)BC=B'C'（左手拉左手等于右手拉右手）结论2：∠BOB'=∠BAB'（用四点共圆证明）结论3: AO平分∠BOC'（用四点共圆证明）例题解析：类型一共顶点的等腰直角三角形中的手拉手例1：已知：如图△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°．求证：BD=CE．分析：要证BD=CE可转化为证明△BAE≌△CAD，由已知可证 AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，因为∠BAC ∠CAE=∠EAD ∠CAE，即可证∠BAE=∠CAD，符合SAS，即得证．解答：证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC ∠CAE=∠EAD ∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，

AB=AC,∠BAE=∠CAD，AE=AD∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BD=CE．类型二共顶点的等边三角形中的手拉手例2：图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形。(1)如图1，求证：AD=CE；(2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.①求证：∠CFA=60°；②求证：CF BF=AF.分析：（1）如图1，利用等边三角形性质得：BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，再证∠ABD=∠CBE，根据SAS 证明△ABD≌△CBE得出结论；（2）①如图2，利用（1）中的全等得：∠BCE=∠DAB，根据两次运用外角定理可得结论； ②如图3，作辅助线，截取FG=CF，连接CG，证明△CFG 是等边三角形，并证明△ACG≌△BCF，由线段的和得出结论．解答：证明：(1)如图1，∵△ABC与△BED都是等边三角形，∴BD=BE,AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABC ∠CBD=∠DBE ∠CBD，即∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE 中，AB=AC∠ABD=∠CBEBD=BE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD=CE，(2)①如图2,由(1)得：△ABD≌△CBE， ∴∠BCE=∠DAB，∵∠ABC=∠BCE ∠CEB=60°，∴∠ABC=∠DAB ∠CEB=60°，∵∠CFA=∠DAB ∠CEB，∴∠CFA=60°，②如图3,在AF上取一点G,使FG=CF,连接CG,∵∠AFC=60°， ∴△CGF是等边三角形，∴∠GCF=60°，CG=CF，∴∠GCB ∠BCE=60°，∵∠ACB=60°，∴∠ACG ∠GCB=60°， ∴∠ACG=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，

初中几何专项——手拉手模型

E A D B C E A D B C E D C B A 图3图21图 O H G A B C D M P D E C B A 手拉手模型模型手拉手如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE= 。结论：△BAD ≌△CAE 。模型分析手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。模型实例例1．如图，△ADC 与△GDB 都为等腰直角三角形，连接AG 、CB ，相交于点H ，问：（1）AG 与CB 是否相等？（2）AG 与CB 之间的夹角为多少度？ 3．在线段AE 同侧作等边△CDE （∠ACE<120°），点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点。求证：△CPM 是等边三角形。

F E C B A H D E C B A 1．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在 BC上，且AE=CF。（1）求证：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数。 2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点 H．证明：（1）AE=DC；（2）∠AHD=60°；（3）连接HB，HB平分∠AHC。

B A D C P E 3图B D A E C 图21 图P D E C B A 3．将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图①方式放置，∠A=90°，AD 边与AB 边重合，AB=2AD=4。将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°<α>180°），BD 的延长线交CE 于P 。（1）如图②，证明：BD=CE ，BD ⊥CE ；（2）如图③，在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长。

几何辅助线之手拉手模型初

手拉手模型教学目标: 1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点 2：掌握手拉手模型的应用知识梳理： 1、等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：；；导角核心： 2、等腰直角三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：；；导角核心： 3、任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；

核心图形：核心条件：；；典型例题：例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC 例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ， AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD 于点E. （1）如图1，猜想∠QEP=_______°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

中考数学专题训练几何题中用旋转构造“手拉手”模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标： 1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征． 2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题． 3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教学重难点： 1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等． 2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．三、教学过程： 1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆（8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？生：绕点B 逆时针旋转60°得到． 2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转．师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转． H G F E D C B A

3.小题热身图1 图2 图3 1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．

几何辅助线之手拉手模型(初三)

手拉手模型教学目标: 1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点 2：掌握手拉手模型的应用知识梳理： 1、等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：；；导角核心： 2、等腰直角三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：；；导角核心： 3、任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；核心图形：核心条件：；；

典型例题：例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC 例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC A 例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？ F 例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

中考数学九大几何模型标准版

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

中考数学几何专题——手拉手模型一

手拉手模型一、手拉手模型 1.手的判别：人站在等腰三角形顶角的位置，张开双臂，左手边的腰为左手，右手边的腰为右手。 2.手拉手模型的定义：两个等顶角的等腰三角形组成的图形，且顶角的顶点为公共顶点。（顶角相等、等腰三角形、共顶点）条件模型结论特殊结论 △ABC与△CDE是等腰三角形，且 ∠ACB=∠DCE (1) D ACD@D BC E (SSS) (2)AD=BE (左手拉左手，右手拉右手) (3)DBHA=DBCA (4)HC平分DAHE △ABC与△CDE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°(5)S D BCD=S D ACE (6) BD2+AE2=AB2+DE2 正方形ACBP与正方形CEQD是正方形

△ABC 与△CDE是等边三角形(5)D ACM@D BCN D DCM@D ECN (6) CM=CN (7)D CMN是等边三角形 (8)MN∥AE，CD∥AB, CB∥DE (9) BH+CH=AH DH+CH=EH 二、手拉手模型的变形：（两三角形相似，且对应角共顶点）条件模型结论 D BAC∽D DAE,且DDAE=DBAC (1)D BAD∽D CAE(两边对应成比例且夹角相等) (2) BD CE = BA CA (3) DBHC=DBAC 【巩固练习】 1、如图所示，若△ABC、△ADE都是正三角形，试比较线段BD与线段CE的大小.

2、如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（） 3、如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？ 4、问题情境：如图1，已知△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=2，CD=CE=1，点D在

中考必会几何模型：角平分线四大模型

角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA 模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE. ∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2. （2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC 证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F， ∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF 又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）

练习 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180° 证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°, ∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C ∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180° 2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝. 解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP， PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质) ∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80° ∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM ∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50° 模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA 模型分析

中考常见几何模型分析与总结(含答案)

C D A B F E C D 初中几何经典模型【模型介绍】手拉手模型： 1、【条件】如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结 AE 与CD ，【结论】（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为?60 （4）AE 与DC 的交点设为H , BH 平分AHC ∠ 2、【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。【结论】（1）CDE ADG ???是否成立？（2）AG =CE （3）AG 与CE 之间的夹角为 90 （4）HD 是否平分AHE ∠？旋转模型：一、邻角相等对角互补模型【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ?∠=∠= 【结论】45ACB ACD BC CD ?∠=∠=+=① ②

二、角含半角模型：全等角含半角要旋转：构造两次全等【条件】：如图，点分别是正方形的边上的点，，连接；【结论】（1）AFE AGE △△? （2）；一线三等角模型: 【条件】一条直线同一侧三个相等的角（如图）；【结论】CDE ABC ∽△△ 1、锐角形一线三等角 2、直角形一线三等角 F E D C B A G F E D C B A A B C D E A B C D E F E F 、ABCD BC CD 、45EAF ∠=?EF EF BE FD = +

3、钝角形一线三等角【真题拾遗】 1．（2014?广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2?S△EFO=b2?S△DGO．其中结论正确的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2016?广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论： ①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5 其中正确的结论是．

八年级假期复习几何基本模型之-手拉手模型

几何基本模型之手拉手模型 1.如图，△ ADC与△ GDB都为等腰直角三角形，连接相等？（2）AG与CB之间的夹角为多少度？ AG CB相交于点H,问：（1）AG与CB是否 2.如图，直线AB的同一侧作△ ABD^R^ BCE都为等边三角形，连接AE CD二者交点为H。求证: (1)△ABE^A DBC ( 2) AE=DC (3)Z DHA=60 ; ( 4)A AGB^A DFB ( 5)A EGB^A CFB (6)连接GF, GF// AC ( 7)连接HB HB平分Z AHC 3?如图，△ ABD与△ BCE都为等边三角形，连接AE与CD延长AE交CD于点 H .证明：（1）AE=DC（2）Z AHD=60 ; （3）连接HB HB平分Z AHC 模型手拉手 E D ADE是等腰三角形, 例题：如图，△ ABC是等腰三角形、△AB=AC AD=AE Z BAC2 DAE求证:△BAD^A CAE 模型练习 n D C B

4 . 在线段AE 同侧作等边△ CDE (/ACEV120 )，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点。求证：△ CPM 是等边三角形。 5 .如图：BE 丄AC , CF 丄 AB , BM=AC , CN=AB 。求证：(1) AM=AN ; ( 2) AM 丄AN 。 6.如图，已知等边三角形 ABC 中，点D, E , F 分别为边AB AC BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△ DMF 为等边三角形(点M 的位置改变时，△ DMr 也随之整体移动). (1) 如图①，当点 M 在点B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明由； (2) 如图②，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，(1)的结论中EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由； (3) 若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断( 1)的结论中EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由. A D