(完整版)题型五二次函数与几何图形综合题

目录

题型五二次函数与几何图形综合题 (2)

类型一与特殊三角形形状有关 (2)

类型二与特殊四边形形状有关 (8)

类型三与三角形相似有关 (18)

类型四与图形面积函数关系式、最值有关 (23)

类型五与线段、周长最值有关 (29)

题型五二次函数与几何图形综合题

类型一与特殊三角形形状有关

针对演练

1. (’16原创)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积；

（3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标.

2. （’15长沙模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（-2,3），顶点为N

（-1, 43

3

），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线解析式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标.

3. （’16原创）如图，抛物线y = -1

2

x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴

交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

4. 如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.

（1）写出A、B两点的坐标；

（2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P.

①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；

③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.

答案

1. 解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 的对称轴为112

b

x =-=-?， 解得b =2，∵抛物线过点C （0,3），∴c =3， ∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；

（2）由抛物线y =-x 2+2x +3，令y =0得，-x 2+2x +3=0， 解得x 1=-1,x 2=3，∴点A （-1,0），点B （3,0）， 当x =1时，y =-12+2+3=4,∴点D 的坐标为（1,4）. 如解图，过D 作DM ⊥AB 于M ，则OM =1，DM =4， ∴S 四边形ABDC =S △AOC +S 四边形OMDC +S △BMD =12AO ·OC +12（OC +MD ）·OM +12BM ·DM =12×1×3+12×（3+4）×1+12×4×2 =9.

（3）设点P 的坐标为（t ,0），则PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t )2， ∴BC 2=32+32=18， 若△PBC 是等腰三角形，

则有①PC 2=PB 2，即t 2+9=(3-t )2，解得t =0，此时点P 的坐标为（0,0）； ②PC 2=BC 2，则t 2+9=18，解得t =3（舍）或t =-3，此时点P 的坐标为（-3,0）； ③PB 2=BC 2则(3-t )2=18，解得t =3+32或t =3-32， 此时点P 的坐标为（3+32,0）或（3-32,0）. 2. 解：（1）由抛物线的顶点为N （-1,

43

），故设抛物线的顶点式为y =a (x +1)2+

43

， 将点M （-2,

3）代入解析式得，

a ×(-2+1)2+

3=3，

解得a =3

-

,

∴抛物线的解析式为y = -3 (x +1)2+3

.

即y =2.

（2）对于抛物线y =2-，令y = 0,

得3-

2-3

-x ， 解得x 1=1,x 2=-3，

∴点A （1,0），点B （-3,0），

令抛物线x =0,得y

∴点C 的坐标为（0,

.

∴AB 2=42=16,AC 2=12)2=4,BC 2=32)2=12, ∴AB 2=AC 2+BC 2, ∴△ABC 是直角三角形.

(3)由抛物线顶点N （-1,

）知抛物线的对称轴为x =-1， 设点Q 的坐标为（-1,t ），

则BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t )2=t 2-+4，BC 2=12. 要使△BQC 是直角三角形，

(ⅰ) 当∠BQC ＝90°，则BQ 2+QC 2=BC 2,

即4+t 2+t 2-+4=12，

解得t 1

=

2

+2,t 2

=2

-Q 的坐标为（-1

，2

+2

）或（-1

，2

-2

）；

（ⅱ）当∠QBC ＝90°，则BQ 2+BC 2=QC 2，

即4+t 2+12=t 2

-+4，解得t

=-Q 的坐标为（-1，

-； （ⅲ）当∠BCQ = 90°时，则QC 2+BC 2=BQ 2，

即t 2

-+4+12=4+t 2，解得t

=Q 的坐标为（

-1, . 综上，当△QBC 是直角三角形时，点Q 坐标为（-1

，

2

），（-1，

± 3. 解：（1）∵点A （-1,0），C （0,2）在抛物线上，

∴1022m n n ?--+=???=?，解得322

m n ?=???=? ∴抛物线解析式为y =-

12x 2+3

2

x +2； （2）△ACD 是等腰三角形. 理由：∵抛物线y =-12x 2+32x +2的对称轴为直线x =3

2

，

∴点D （3

2,0），

∵A （-1,0），C （0,2）， ∴AC

AD =1+

32=5

2

,CD

52=，

∴AD =CD ≠AC ，

∴△ACD 是等腰三角形；

（3）令抛物线y =-12x 2+3

2x +2=0，得x 1=-1,x 2=4,

∴点B 的坐标为（4,0），则BC

= 取BC 的中点为S ，则点S 的坐标为（2,1）；

设点P（3

2

,t），

则PS =1

2

BC 5(2-

3

2

)2+(t-1)2=5，

解得t119

,t2

19

∴存在这样的点P，其坐标为（3

2

193

2

，

19

）.

4.解：（1）当y=0时，x2-4x+3=0，

∴x1=1，x2=3，

即：A(1，0),B(3，0);

（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标都为2；（Ⅱ）都经过A(1，0),B(3，0)两点；

②存在实数k，使△ABP为等边三角形.

∵y=kx2-4kx+3k=k（x-2）2-k,

∴顶点P（2，-k）.

∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB = 2，

要使△ABP为等边三角形，必满足|-k|=3，∴k=±3；

③线段EF的长度不会发生变化.

∵直线y=8k与抛物线L2交于点E、F两点，

∴kx2-4kx+3k=8k,

∵k≠0,∴x2-4x+3=8,

∴x1=-1，x2=5，

∴EF =x2-x1=6，

∴线段EF的长度不会发生变化且EF＝6.

类型二与特殊四边形形状有关

针对演练

1. 抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，点D在x轴的正半轴. （1）求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由.

2. 如图，已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点D在第二象限，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使AC =2BC，连接OA，OB，BD和AD.

（1）若点A的坐标为（-4,4），求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，求直线BD的解析式；

（3）是否存在b、c使得四边形AOBD是矩形，若存在，直接写出b与c的关系式；若不存在，说明理由.

3. 如图，已知直线y =4

3

-x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB

的中点，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过O、A两点，且其顶点的纵坐标为

4 3 -.

(1)分别写出A、B、C三点的坐标；

(2)求抛物线的函数解析式；

(3)在抛物线上是否存在点P，使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4. （’15毕节16分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.第4题图

（1）求抛物线的解析式;

（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积;

（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由.

5. (’15黄冈14分)如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

（1）求OE的长；

（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；

（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，DP =DQ；（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

1. 解:（1）把A (0,2),B (3,2)代入y =x 2+bx +c ,得

2932c b c =??

++=?，解得3

2b c =-??=?， ∴抛物线的解析式为：y =x 2-3x +2, 当y =0时，x 2-3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)、(2,0). （2）存在.

理由：∵A (0，2)，B (3，2)， ∴AB ∥x 轴，且AB =3,

要使A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形， 则只要CD =AB =3.

①当C 点坐标为（1，0）时，D 坐标为（4，0）； ②当C 点坐标为（2，0）时，D 坐标为（5，0）.

∴存在点D ，使以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，D 点的坐标为（4，0）或（5，0）.

2. 解：（1）∵CA ∥x 轴，点A 的坐标为（-4,4）， ∴点C 的坐标为（0,4）， 将点A 与点C 代入y =-x 2+bx +c 得

16444b c c --+=??

=?，解得4

4b c =-??=?， ∴抛物线的解析式为y =-x 2-4x +4； （2）∵AC =2BC ，∴BC =2， ∴点B 的坐标为（2,4），

由抛物线y =-x 2-4x +4得顶点D 的坐标为（-2,8），

设直线BD 的解析式为y =kx +m ，

则2824k m k m -+=??+=?，解得16k m =-??=?，

∴直线BD 的解析式为y =-x +6.

（3）存在，b 与c 的关系式为b c .

【解法提示】∵点C 的坐标为（0，c ），抛物线的对称轴为x =2

b

＜0，即b ＜0，AC ∥x 轴，

∴点A 的坐标为（b ,c ），

∵AC =2BC ，∴点B 的坐标为（-2

b

,c ），

则AB 的中点坐标为（4

b

,c ），

若四边形AOBD 是矩形， 则需①OD 的中点坐标为（4

b

,c ）；②OD =AB ， 由①得点D 的坐标为（4

b

,2c ）， 由②得(

32

b )2=(4b )2

+(2c )2，整理得2c 2=b 2，

∵c ＞0，b ＜0,

∴b c .

3. 解：（1）令y =0，即-4

3x +8=0，得x =6,∴A 点坐标为（6，0），

令x =0,则y =8，∴B 点坐标为（0，8）， ∴C 点坐标为（3，4）.

（2）∵点C 在抛物线的对称轴上，

∴抛物线顶点坐标为（3，-4

3

）.

依题意有036604

933c a b c a b c ?=??++=??++=-??,解得427890

a b c ?=??

?

=-???=?

?,

∴抛物线的函数解析式为248

279

y x x =-； （3）存在.

∵∠AOB ＝90°，A （6，0）、B （0，8）， ∴22226810AB OA OB =+=+=, ∵C 是AB 的中点，

∴OC =1

2AB =BC =5,

∵OB =8,

∴OB ＞OC ，且OB ＞BC ，

∴当以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形时，OB 是菱形的对角线， 连接PC ，则OB 是PC 的垂直平分线， ∴点P 与点C 关于y 轴对称， ∵C （3，4）， ∴P （-3，4），

把点P （-3，4）代入抛物线解析式248

279

y x x =-得： 当x ＝-3时，y ＝

427×（-3）2-8

9

×（-3）＝4， ∴点P （-3，4）在抛物线上.

故在抛物线上存在点P ，使以O 、P 、B 、C 为顶点的四边形是菱形，且点P 的坐标是（-3，4）.

4. 解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （-1,0），B (3,0),

∴抛物线的解析式为y ＝（x +1）(x -3)＝x 2-2x -3；……………………（4分）

（2）∵抛物线y ＝x 2-2x -3=(x -1)2-4， ∴点M 的坐标为（1,-4）. ∵点M 与点M′关于x 轴对称，

∴点M′的坐标为（1,4），…………………………………………………（6分） 设直线AM′的解析式为y =kx +m ， 将点A （-1,0），点M′(1，4)代入得，

4

k m k m -+=??

+=?，解得22k m =??=?， ∴直线AM′的解析式为y ＝2x +2，…………………………………………（8分） 将直线AM′与抛物线y ＝x 2-2x -3联立得

2

22

23

y x y x x =+??=--?，解得1110x y =-??=?，22512x y =??=? ∴点C 的坐标为（5,12），……………………………………………………（10分） 又∵AB =3-（-1）＝4，

∴S △CAB =1

2×4×12＝24. ……………………………………………………（12分）

（3）∵四边形APBQ 是正方形， ∴PQ 垂直且平分AB ，且PQ =AB ，

设PQ 与x 轴交点为N ，则PN =1

2AB ＝2,

∵抛物线的对称轴为x ＝1，

∴点P 的坐标为（1,2）或（1，-2）. …………………………………（13分） 设过A 、B 两点的抛物线的解析式为y =a (x +1)(x -3)，

将点（1,2）代入得a =-1

2，

此时抛物线解析式为y =-12 (x +1)(x -3)=- 12x 2+x +3

2；………………（15分）

将点（1，-2）代入得a =1

2

，

此时抛物线解析式为2113

(1)(3)222y x x x x =+-=--.……………………（16分）

5. 解:(1)∵四边形OABC 为矩形，

∴BC ＝OA ＝5，OC ＝AB ＝4，∠COA ＝90°，

又∵△CED 是△BCD 沿直线CD 折叠得到的，点B 的对应点为点E ， ∴CE ＝BC ＝5，

在Rt △COE 中，OE 2＝CE 2-OC 2， ∴OE ＝2254-∴OE ＝3. ………………………………………………………………………(2分) （2）设AD =m ,

则DE =BD =4-m .∵OE ＝3， ∴AE ＝OA -OE ＝5-3＝2.

在Rt △ADE 中，AD 2+AE 2=DE 2,即m 2+22=(4-m )2,

∴m ＝32，

∴D （-3

2，-5）. ………………………………………………………………（4分）

又∵C （-4，0），O （0，0），

∴设过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式为y =ax (x +4)，

∴-5＝-32a ·（-3

2+4），

∴a ＝43

，

∴经过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式为y =43x 2+16

3x . …………………（6分）

（3）①由于运动时间为t 秒，则EQ ＝t ，CP ＝2t ， 如解图①，∵△BCD 沿直线CD 折叠得到△ECD , ∴BD ＝DE , 若DP ＝DQ ，

则Rt △P BD ≌Rt △QED （HL ）,

∴PB＝QE,即CB-CP＝EQ. ∴5-2t＝t,

解得t＝5

3 .………………………………………………………………………(8分)

（4）（ⅰ）如解图②，当M点在对称轴右侧，即为M1点，M1N∥CE且M1N =CE时，四边形ECNM 1为平行四边形，过M 1作M1F垂直对称轴于点F，则△M1FN ≌△COE，∴FM1＝OC，∵对称轴为直线x＝-2，

∴此时，点M1的横坐标为2，

对于y =4

3

x2+

16

3

x，当x＝2时，y=16，

∴点M1的坐标为（2，16）. ………………………………………………(10分) (ⅱ)如解图③，当M点在对称轴左侧，即为M2，M2N∥CE

且M 2N =CE时，四边形ECM 2N为平行四边形，过M 2作M

2

F垂直对称轴于点F，则△M 2FN ≌△COE，

∴FM 2＝OC，

∵对称轴直线x＝-2，

∴此时，点M 2的横坐标为-6.

对于y =4

3

x2+

16

3

x，当x＝-6时，y=16，

∴点M 2的坐标为（-6，16）. ………………………………………………(12分) （ⅲ）如解图④，当M点在抛物线的顶点上，即为点

M 3，CN∥M 3E且CN = M 3E时,四边形EM 3CN为平

行四边形,CE与NM 3相交于点O′，则O′为线段CE的

中点，

又∵点M 3在对称轴上，则M 3的横坐标为-2，

对于y =4

3

x2+

16

3

x，当x＝-2时，y=-

16

3

，

∴点M 3的坐标为（-2，-16

3

）.

综上所述，当点M的坐标为（2，16）、（-6，16）、（-2，-16

3

）时，以M,N,C,E

为顶点的四边形为平行四边形. ……………………………………………(14分)

类型三与三角形相似有关针对演练

1. （’15黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-1

6

x2+bx+c

过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.

(1)求b、c的值；

(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；

(3)是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.

2. （’15常德模拟）已知抛物线y =ax2-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与

y轴交于点C，对称轴为x =1，顶点为E，直线y =-1

3

x+1交y轴于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：△BCE∽△BOD；

（3）点P是抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？

答案

解：（1）由抛物线y =-1

6

x 2+bx +c 过点A （0，4）和C （8，0）可得，

∴4164806c b c =???-?++=??,解得564

b c ?

=???=?

故b 的值为5

6，c 的值为4；………………………………………………（3分）

（2）∵∠AOP ＝∠PEB ＝90°，∠OAP ＝∠EPB ＝90°-∠APO ，

∴△AOP ∽△PEB ，则2OA AP

PE PB ==,

∵AO =4,P （t ,0）,

∴PE =2,OE =OP +PE = t +2, 又∵DE =OA =4,

∴点D 的坐标为（t +2,4）,

∴点D 落在抛物线上时，有-16(t +2)2+5

6

(t +2)+4=4,

解得t =3或t =-2, ∵t ＞0, ∴t =3.

故当t 为3时，点D 落在抛物线上；…………………………………………（6分） （3）存在，理由：

由（2）知△AOP ∽△PEB ，

则2OP AP BE PB ==， ∵P (t ,0),即OP ＝t .

∴BE ＝2t

.

①当0＜t ＜8时， 若△POA ∽△ADB ，则

OP AO

AD BD

=

，