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教版高一数学必修一知点

【一】

一、集合及其表示

1、集合的含：

“集合” 个首先我想到的是上体育或者开会老常喊的“全体集合”。数学上的“集合”和个意思是一的，只不一个是一个是名而已。

所以集合的含是：某些指定的象集在一起就成一个集合，称集，其中每一个

象叫元素。比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称个集合的元素。

2、集合的表示

通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a， b ，c}。 a、 b、 c 就是集合 A 中的元素，作a∈ A，相反， d 不属于集合A，作 dA 。

有一些特殊的集合需要：

非整数集 (即自然数集 )N 正整数集N* 或 N+

整数集 Z 有理数集Q 数集 R

集合的表示方法：列法与描述法。

①列法： {a,b,c ??}

② 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。如{xR|x-3>2},{x|x-3>2} ，{(x,y)|y=x2+1}

③言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

例：不等式 x-3>2 的解集是 {xR|x-3>2} 或 {x|x-

3>2} ：描述法表示集合注意集合的代表元素

A={(x,y)|y=x2+3x+2} 与 B={y|y=x2+3x+2} 不同。集合 A 中是数元素(x，y)，集合 B 中只有元素y。

3、集合的三个特性

(1)无序性

B={2,1}，集合A=B。

指集合中的元素排列没有序，如集合A={1,2}，集合

例：集合A={1,2}，B={a,b}，若 A=B，求 a、 b 的。

解：，A=B

注意：有两解。

(2)互异性

指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示{2}

(3)确定性

集合的确定性是指成集合的元素的性必明确，不允有模棱两可、含混不清的情况。

二、集合的基本关系

1.子集， A 包含于 B，：，有两种可能

(1)A 是 B 的一部分，

(2)A 与 B 是同一集合， A=B， A、B 两集合中元素都相同。

反之 :集合 A 不包含于集合B,作。

如：集合 A={1,2,3} ，B={1,2,3,4}， C={1,2,3,4}，三个集合的关系可以表示，，B=C。A是

C 的子集，同 A 也是 C 的真子集。

2.真子集 :如果 AB, 且 AB 那就集合 A 是集合 B 的真子集，作 AB(或BA)

3、不含任何元素的集合叫做空集，记为

4、有 n 个元素的集合，含有2n 个子集，Φ。Φ是任何集合的子集。

2n-1 个真子集，含有2n-2 个非空真子集。如

A={1,2,3,4,5}，则集合 A 有25=32 个子集，25-1=31 个真子集，25-2=30 个非空真子集。

例：集合共有个子集。(13 年高考第 4 题，简单 )

练习： A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，请问 A 集合有多少个子集，并写出子集， B 集合有多少个

非空真子集，并将其写出来。

解析：

集合 A 有 3 个元素，所以有23=8 个子集。分别为：① 不含任何元素的子集Φ;②含有1 个元素的子集{1}{2}{3};含③有两个元素的子集{1,2}{1,3}{2,3};含有④三个元素的子集{1,2,3}。

集合 B 有 4 个元素，所以有24-2=14 个非空真子集。具体的子集自己写出来。

此处这么罗嗦主要是为了让同学们注意写的顺序，数学就是要讲究严谨性和逻辑性的。

一定要养成自己的逻辑习惯。如果就是为了提高计算能力倒不如直接去菜场卖菜算了，

能飞速提高的，那学数学也没什么必要了。

三、交集、并集、补集

这个是高考的重点，但是一般题目较简单。

1.交集：

绝对

由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集 .记作A∩B(读作 "A 交B")，即A∩B={x|x∈A，且 x∈ B}.

如集合 A={1,2,3} ，集合 B={2,3,4},则 A∩B={2,3}。

例：已知集合则(11 年高考第 1 题，简单 )

练习：

(2014 北京 )已知集合，则()

答案： C

解析：，所以 {0,2}

2、并集

由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作"A 并 B") ，即 A∪B={x|x ∈A，或 x∈ B}.

如集合 A={1,2,3} ，集合 B={2,3,4},则 A∪ B={1,2,3,4}.

例：已知集合，，则 .(12 年高考第 1 题，简单 )

答案： {1,2,4,6}

3、全集与补集

(1)补集：设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，

叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集 )

记作： CSA即 CSA={xxS 且 xA}

(2)全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一

个全集。通常用 U 来表示。

【二】

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能(1)A 是 B 的一部分， ;(2)A 与 B 是同一集合。

反之 :集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2.

“相等”关系： A=B(5≥5，且 5≤5 ，则 5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0}B={- 1,1} “元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。 AA

②真子集 :如果 AB, 且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或BA)

③如果 AB,BC,那么 AC

④如果 AB 同时 BA 那么 A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

 有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集

【三】

知识点 1.集合与元素

一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学

组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素; 而整个学校又是由许许多多个

班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相

对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的知识点 2.解集合问题的关键

解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象

化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等