2016年上海市长宁区高三一模卷

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长宁区2015学年第一学期高三质量检测数学试卷2015/12/21

一、填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分

1、不等式35x -<的解集是___________.

2、方程9320x x +-=的解是___________.

3、若复数z 满足210z z -+=，则z =___________.

4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61420a a +=，则19S =___________. 5、若1

sin cos 5

θθ+=，则sin 2θ的值是___________.

6、若函数()f x 是定义域在R 上对偶函数，在(],0-∞上是单调递减的，且()10f =，则使()0f x <的x 的取值范围是____.

7、设函数()y f x =的反函数是()1y f x -=，且函数()y f x =过点()2,1P -，则()11f --=___________.

8、设常数0a >，4

2ax

?+ ?

展开式中3x 的系数为32，则()

2lim n x a a a →∞+++=L ___________. 9、某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有___________种（以数字作答）

10、已知数列{}n a 和{}

n b 的通项公式分别是22322n an a bn n +=-+，1

13n n b b a -??

=- ?

??

，其中a b 、是实常数，若

1

lim 3,lim 4

n n x x a b →∞→∞==-，且a b c 、、成等差数列，则c 的值是___________. 11、已知函数()221f x x x =++，如果使()f x kx ≤对任意实数(]1,x m ∈都成立的m 的最大值是5，则实数k =___________.

12、在ABC V 中，点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r ，若0AB AC mAM ++=u u u r u u u r u u u u r r

，则实数m 的值为___________.

13、设命题:p 函数()21lg 16f x ax x a ?

?=-+ ??

?的值域为R ；命题:q 不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立，若命题p 和

q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是___________.

14、定义：关于x 的两个不等式()()0,0f x g x <<的解集分别为(),a b 和11,a b ??

???

，则称这两个不等式为对偶不等式，如

果不等式

2cos 20x θ-+<与不等式224sin 10x x θ++<为对偶不等式，且()0,θπ∈，则θ=___________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答

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案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15、已知集合{}{}0,,1,2P a Q ==，若P Q =?I ，则a 等于 （ ）

.

1A .

2B .

12C or .

3D

16、已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，第k 项满足47k a <<，则k 等于（ ）

.

6A .

7B .

8C .

9D

17、设点()2,102t P t t ??

+< ???是角α终边上一点，当OP u u u r 最小时，cos α的值是（ ）

.

A .

B .

C .

D 18、关于函数()()0a

f x x a x

=->，有下列四个命题：①()f x 的值域是()(),00,-∞+∞U ；

②()f x 是奇函数；③()f x 在()(),00,-∞+∞U 上单调递增；④方程()f x a =总有四个不同的解.其中正确的是 （ ）

.

A ①② .

B ②③ .

C ②④ .

D ③④

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 关于x 的不等式

2

01x a x

+<的解集为()1,b -.

（1）求实数,a b 的值；

（2）若12,cos sin z a bi z i αα=+=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值.

20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

直三棱柱111ABC A B C -

中，190,2,BAC AB AC AA ∠=?===,,E F 分别是1,CC BC 的中点，求： （1）异面直线EF 和1A B 所成的角； （2）直三棱柱111ABC A B C -的体积.

21、（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.

在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()().,cos ,cos m a b n A B ==u r r

，,2sin 2B C p A +??

= ???

u r ，若

,3m n p =u r r u r

P .

（1）求角A B C 、、的值；

（2）若0,2x π??

∈????

，求函数()sin sin cos cos f x A x B x =+的最大值与最小值.

22、（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分8分.

已知函数(),y f x x D =∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T

，恒

1

B

有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .

（1）已知函数()2f x x ax =-+是[)3+∞，

上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围； （2）已知()1,T y f x ==是[)0,+∞上的m 级类周期函数，且()y f x =是[)0,+∞上的单调递增函数，当[)0,1x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围.

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知点()()()111222,,,,,,,n n n P a b P a b P a b L （n 为正整数）都在函数12x

y ??

= ???

的图像上.

（1）若数列{}n a 是等差数列，证明：数列{}n b 是等比数列；

（2）设()

,n a n n N *=∈，过点1,n n P P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n c ，试求最小的实数t ，使n c t ≤对一切正整数n 恒成立；

（3）对（2）中的数列{}n a ，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入13k -个3，得到一个新的数列{}n d ，设n S 是数列{}n d 的前n 项和，试探究2016是否是数列{}n S 中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明. 参考答案

一、1、()2,8- 2、0x = 3、1 4、190 5、24

25

-

6、()1,1-

7、2

8、1 9、36 10、14 11、365 12、3- 13(],2-∞ 14、536

or ππ 二、选择题 15-18 D B

D

B

三、解答题

19、（1）1,2a b =-=；（2）1

2-. 20、（1）6

π

；（2）21、（1）3

A B C π

===

；（2）()max 1f x =，()min 1

2

f x =

22、（1）1a <；（2）2m ≥. 23、（1）略；（2）min 9

8

t =；（3）不是.