2-练习册-第六章 静电场中的导体与电介质

第六章 静电场中的导体与电介质

§6-1 导体和电介质

【基本内容】

一、导体周围的电场

导体的电结构：导体内部存在可以自由移动的电荷，即自由电子。 静电平衡状态：导体表面和内部没有电荷定向移动的状态。 1、导体的静电平衡条件

（1）导体内部场强处处为零0E =内； （2）导体表面的场强和导体表面垂直。 2、静电平衡推论

（1） ' （2） 静电平衡时，导体内部（宏观体积元内）无净电荷存在；

（3） 静电平衡时，导体是一个等势体，其表面是一个等势面。 3、静电平衡时导体表面外侧附近的场强

E σε=

4、静电平衡时导体上的电荷分布

（1） 实心导体：电荷只分布在导体表面。 （2）空腔导体（腔内无电荷）：内表面不带电，电荷只分布在导体外表面。 （3）空腔导体（腔内电荷代数和为q ）：内表面带电q -，导体外表面的电荷由电荷的守恒定律决定。 5、静电屏蔽 封闭金属壳可屏蔽外电场对内部影响，接地的金属壳可屏蔽内电场对外部的影响。 、

二、电介质与电场 1、电介质的极化

（1）电介质的极化：在外电场作用下，电介质表面和内部出现束缚电荷的现象。 （2）极化的微观机制

电介质的分类：（1）无极分子电介质——分子的正、负电荷中心重合的电介质；（2）有极分子电介质——分子的正、负电荷中心不重合的电介质。

极化的微观机制：在外电场作用下，（1）无极分子正、负电荷中心发生相对位移，形成电偶极子，产生位移极化；（2）有极分子因有电偶矩沿外电场取向，形成取向极化。 2、电介质中的电场 （1）电位移矢量 D E ε=

其中ε——电介质的介电常数，0r εεε=，r ε——电介质的相对介电常数。

（2）有电介质时的高斯定理0S

D dS q ?=∑?，式中0q ∑指高斯面内自由电荷代数和。

@

【典型例题】

【例6-1】 三个平行金属板A 、B 和C ，面积都是200cm

２

，A 、B 相距4.0mm ，A 、C 相距2.0mm ，B 、C 两板都接地，

如图所示。如果使A 板带正电×１０－７

C ，略去边缘效应。 （1）求B 板和C 板上的感应电荷各为多少

（2）取地的电位为零，求A 板的电位。

【解】（1）由图可知，A 板上的电荷面密度

S Q /21=+σσ （1） 图

1d 2d Q 1Q Q C B 1

Q 2Q

A 板的电位为2211d E d E U A == （2）

即 20

2101d d εσεσ= 所以 221212

1σσσ==d d （3） #

将（3）式代入（1）式，得S Q /31=σ （4）

由（4）式可求得B 板上的感应电荷为C Q S Q 7110.13/-?-=-=-=σ 同理可得C 板上的感应电荷为C Q S Q 7220.23/2-?-=-=-=σ

（3）由（2）式可求得A 板上的电位为

V d S

Q

d d E U A 310101111025.23?====εεσ

【讨论】导体接地的含义主要有两点：（1）导体接地后与地球同电势，一般定义为电

势零点。

（2）带电导体接地，接地线提供了与地球交换电量的通道，至于电荷向哪流动，取决于导体接地前的电势是高于大地，还是低于大地。当导体的电势高于大地时，接地喉将有正电荷由导体流向大地，直到导体与大地电势相等为止。

【例6-2】 半径为R ，带电量为q 的金属球，浸于相对介电常为r ε的油中。求：

（1）球外电场分布。（2）极化强度矢量。（3）金属球表面油面上的束缚电荷和束缚电荷面密度。 。

【解】 （1）求电位移矢量

取半径为r 的球面为高斯面，则

2

4S

D dS D r π?=?? 0q q =∑

2

2

44q D r q D r r

ππ∧

?=?= （2）求电场强度

由介质性质方程 E E D r

εεε==0 2

04r q E r r πεε∧

?=

（3）求极化强度矢量 ∧-=-=r r q E P r r r

2

04)1()1(πεεεε

（4）求束缚电荷及束缚面电荷密度

2/4)1(cos r

q P P n P r r πεεθσ--=-==?=

'222(1)(1)1

(1)44r r S S r

r r q q

dS q P dS r dS q r r r εεπεπεε∧--=-?=-?=

=-???

—

【讨论】电介质问题求解方法：所涉及的物理量：q P E D '',,,.,σ

求解方法：（1）求电位移矢量∑?=?0q S d D S

，（2）求电场强度E E D r εεε==0，（3）

求极化强度矢量0(1)r P E εε=-，（4）求束缚电荷面密度θσcos /

P n P =?= ，（5）求束缚电

荷q P dS '=-??。

r

o

R

图

dS

【分类习题】

一、选择题

1．A 、B 是两块不带电的导体，放在一带正电导体的电场中，如图所示.设无限远处为电势零点，A 的电势为U A ，B 的电势为U B ，则:

（A ）U B > U A 0 . （B ）U B < U A = 0 . ）

（C ）U B = U A . （D ）U B < U A .

2．如图所示，一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C 。A 、C 不带电，B 带正电，则A 、B 、C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关系是：

(A) U B = U A = U C ； (B) U B > U A = U C ； (C) U B > U C > U A ； (D) U B > U A > U C 。

3．两个同心薄金属球壳，半径分别为)2121R R R R <（和，

若分别带上电量为21q q 和的电荷，则两者的电势分别为21U U 和（无穷远处为电势零点）。现用导线将两者相连接，则它们的电势为：

(A) 1U ； (B) 2U ；

(C) 21U U ＋； (D) 12U U （＋）/2。

4．一带电量为q 半径为r 的金属球A ，放在内外半径分别为21R R 和的不带电金属球B 内的任意位置，如图所示，A 与B 之间及B 外均为真空，若用导线把A,B 连接，则A 球的电势为（设无穷远处电势为零）

~

(A) 0 (B)

r

q

04πε

(C) 104R q πε (D) 2

04R q πε

(E)

)(412

10R q R q -πε 5．半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远. 用一根长导线将两球连接，并使它们

带电.在忽略导线影响的情况下，两球表面的电荷面密度之比R /r 为:

（A ） R /r . （B ） R 2/r 2. （C ） r 2/R 2. （D ） r /R .

6．欲测带正电荷大导体附近P 点处的电场强度，将一带电量为q 0 （q 0 >0）的点电荷放在P 点，如图所示. 测得它所受的电场力为F . 若电量不是足够小.则

（A ） F /q 0比P 点处场强的数值小. （B ） F /q 0比

P 点处场强的数值大.

（C ） F /q 0与P 点处场强的数值相等.

（D ） F /q 0与P 点处场强的数值关系无法确定.

7．一导体球外充满相对电容率为r 的均匀电介质，若测得

+

+

+

（

+ +

+

+ + +

+ " +

+ B A 图

+Q \ q 0

图

A B C +

+

+++++++

-+--

----

-

-

图

图

1R 2

R A

B

r

q O O '

导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度为：

（A ） 0E . （B ） 0r E . （C ） r E . （D ）（0r 0）E .

8闭合面，则对此球形闭合面：

（A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。

(B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。

(C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立。

(D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。

二、填空题

1．地球表面附近的电场强度为-1

C N 100?。如果把地球看作

半径为m 104.66

?的导体球，则地球表面的带电量Q

＝ 。

*2. 一半径r 1 = 5cm 的金属球A ，带电量为q 1 = ×10-8C ; 另一内半径为 r 2 = 10cm 、外半径为 r 3 = 15cm 的金属球壳B ，带电量为 q 2 = ×10-8

C ，两球同心放置，如图所示。若以无穷远处为电势零点，则A 球电势U A ＝ ，B 球电势U B ＝ 。

3．处于静电平衡下的导体 （填是或不是）等势体，导体表面 （填是或不是）等势面， 导体

表面附近的电场线与导体表面相互 ，导体体内的电势 （填大于，等于或小于） 导体表面的电势.

4．分子中正负电荷的中心重合的分子称 分子，正负电荷的中心不重合的分子称 分子.

5．分子的正负电荷中心重合的电介质叫做 电介质，在外电场的作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移，形成 。 三、计算题

1．在靠近地面处场强垂直于地面向下，大小为100C N /；在离地面km 高处，场强垂直于地面向下，大小为25C N /。求从地面到此高度大气中电荷平均体密度；假设地面处场强完全由均匀分布在地表面的电荷产生，求地表面上电荷面密度。提示：将地球表面视为大导体平面。

*2．两平行放置的大导体平板（面积均为S ）分别带电1Q 和2Q ，如图。（1）求A 、B 、C 、D 四表面的电荷面密度。（2）如将右板接

地，求A 、B 、C 、D 四表面的电荷面密度。

3．如图，有两块面积均为S 的相同金属板，两板间距离为d ，S d <<2，其中一块金属板带电量为q ，另一块金属板带电量为q 2，求两板间的电势差。

】

?q 、 图

A B

1

r

2r 3

r O

1q 2

q 图

》 图

B A ！ D Q 2

Q 1

。

图

A q

2q

*4．在半径为R 的金属球之外包有一层均匀介质层，介质层的外半径为/R 。设电介质的相对介电常数为r ε，金属球带电为Q ，求：（1）介质层内外的场强分布；（2）介质层内外的电势分布。（3）介质球壳内外表面的极化电荷.

5．如图所示，面积均为S =0.1m 2的两金属平板A ，B 平行对称放置，

间距为d =1mm ，今给A ， B 两板分别带电 Q 1=×10－9C ， Q 2=×10－

9C.忽略边缘效应，求 （1）两板共四个表面的面电荷密度 1， 2， 3，

4；（2）两板间的电势差U A －U B .

"

§6-2 电容 电容器

【基本内容】

一、孤立导体的电容：表征导体容电能力的物理量。

q C U

=

二、电容器及其电容

实际孤立导体是不存在的，导体周围有其它物体时，其电势将发生变化，从而其电容随周围物体的性质而变化。

电容器的电容：A B

q

C U U =

-

电容器中一般充满电解质，电解质的作用有两个： ：

（1）增大电容；（2）增强电容器的耐电压能力。 三、电容器的串联与并联

串联：

12

1111n

C C C C =++ 并联：12n C C C C =++

四、常见电容器的电容 1、平行板电容器的电容

0r S

C d εε=

2、球形电容器的电容 012

21

4r R R C R R πεε=-

3、柱形电容器的电容 0212ln(/)

r L

C R R πεε=

五、电场的能量 1、电容器的储能

221122

Q W CU C ==

A

Q

图

Q 2

1

2

3

4

2、电场的能量、能量密度

$

电场的能量密度：211

22

e E D E ωε=

=? 电场的能量：e V W dV ω=?

【典型例题】

【例6-3】平行板电容器（极板面积为S ，间距为d ）中间有两层厚度各为1d 和2d 的均匀介质，介电常数分别为1ε和2ε，如图。试求其电容。

【解】本题可用两种方法求解 法一；按定义

设极板带自由电荷Q ，由介质中的高斯定理，介质内

的电位移大小S

Q

D =

，方向垂直于极板，则介质1ε和2ε中的场强分别为S Q E 11ε=和S

Q

E 22ε=，方向垂直

于极板，极板间的电势差为

2

1122122

112211)()(εεεεεεS d d Q d d S Q d E d E U +=+=

+= 按定义 1

22121εεεεd d S U Q C +==

法二：按电容器的连接 ·

将整个电容器看成两个充满介质1ε和2ε的电容器的串联，两个电容器的电容分别为

1

11d S

C ε=

，2

22d S

C ε=

由串联公式 2

1111C C C += 可求得上面答案。 按定义求电容的方法：（1）设两极板分别带电+q 、-q ，（2）求两极间的电场，（3）求两极间的电势差，（4）求电容。

【例6-4】 求半径为R 。、体电荷密度为ρ的均匀带电球体的静电能。 【解】 以半径为r 的球面为高斯面，则：

24S

E dS E r π?=???

当r>R 时： 343q R πρ=∑内 32

03R E r r

ρε∧

=

当r

43

q r πρ=∑内 03r E r ρε∧= |

电场能量密度: 2

2

1E e εω=

当r

2218ερωr = 当r>R 时：26

4018R r ρωε=

1-Q

图

电场能量

222622

2540

000

444181815R R

e R

R r R W dV dV dV r dr r dr R

r ρρπωωωππρεεε∞∞==+=?+?=????

? 【例6-5】 如图所示平行板电容器，已知极板面积为S ，极板间距为d ，其间充满介

电常数为r ε的电解质。（1）若保持极板间电量Q 不变；（2）若保持极板电压U 不变，把电介质从电容器中全部抽出，外力作功各为多少

【解】：（1）保持极板电量不变时 C

Q W 2

21=

抽出电介质前: S

d

Q W d S C r r εεεε0210121,=

= 抽出电介质后: S

d

Q W d S

C 0210221,εε=

= 外力作功:

0)1

1(210212>-=-=r

S d Q W W A εε外

（2）保持极间电压不变时 2

2

1CU W =

;

抽出电介质前: 2

02112121U d S U C W r εε== 抽出电介质后: 202

222121U d

S U C W ε==

电容器储能的改变量: 0)1(22

012<-=

-=?r d

SU W W W εε 电介质抽出后，极板电量改变:

0)1(012<-=

-=?r d

SU

U C U C Q εε

电源作功:0)1(2

0<-=?=r d

SU QU A εε电源

由能量守恒定律:

)1(2

0>-=

-?=??=+r d

SU A W A W A A εε电源外电源外

【分类习题】

一、选择题 "

1．一孤立金属球，带有电量108C ，当电场强度的大小为3106V/m 时，空气将被击穿. 若要空气不被击穿，则金属球的半径至少大于

（A ）102m . （B ）106m . （C ）105m . （D ）103m .

2．两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则：

r

εd

S 图

（A ）空心球电容值大. （B ）实心球电容值大. （C ）两球电容值相等. （D ）大小关系无法确定. 3．C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200pF （电容量）、500V （耐压值）和300pF 、900V . 把它们串联起来在两端加上1000V 电压，则

（A ）两者都被击穿. （B ）两者都不被击穿.

（C ）C 2被击穿，C 1不被击穿 . （D ）C 1被击穿，C 2不被击穿.

4．如图，将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源。再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：

(A) 储能减少，但与金属板位置无关； (B) 储能减少，但与金属板位置有关；

(C) 储能增加，但与金属板位置无关；

(D) 储能增加，但与金属板位置有关。

二、填空题 1．假设地球是一个半径为km 6400的球形导体，则地球的电容为=C 。 2．一平行板电容器，极板面积为S ，相距为d . 若B 板接

地，且保持A 板的电势U A = U 0不变，如图所示. 把一块面积相同的带电量为Q 的导体薄板C 平行地插入两板之间，则导体薄板C 的电势U C = .

3．在相对电容率为r = 4的各向同性均匀电介质中，与电能密度w e = 2106J/cm 3相应的电场强度的大小E = .

4．一平行板电容器两极板间电压为U ，其间充满相对电容率为r 的各向同性均匀电介质，电介质厚度为d . 则电介质中的电场能量密度w = .

5．电容器1和2串联后充电。（1）保持连接电源，在电容器1中充满电介质，则电容器2上的电势差将 ；电容器2上电量将 。（2）断开电源后，仍在电容器1中充满电介质，电容器1极板间的电势差将 ；电容器2极板上的电量将 （填增加、减少、不变）。

6．如图所示，两空气平行板电容器1和2，并联后充电。（1）如保持极板与电源连接，在电容器1中充满电介

质，则两电容器的总电量将 ，电容器2的电量

将 ；（2）如断开电源，在电容器1中充满电介质，则两电容器的总电量将 ，电容器2的电量将 （填增大、减少、不变）。

7．用力将电介质从电容器中拉出，图（a ）（与电源连

接）与（b ）（充电后电源断开）两种情形，电容器

的静电能分别将 和 （填增加、减少、不变）。

'

8．两电容器电容之比2:1:21=C C 。（1）将它们串联后接到稳恒电源充电，其电场能之比为 ；（2）如果并联充电，其电场能之比为 ；（3）上述两种情形的总电场能之

比为 。

U C U 0

第二章

第三章d /3 2d /3

图 A C

】

B 金 属 板

( 图

(b) (a)

图

1C 2C ε图

三、计算题

1．平行板电容器极板间充满相对介电常数为r ε的电介质，若极板上自由电荷面密度为σ，求电介质的电位移和场强。 ： *2．空气平行板电容器，极板面积S ，极板间距d 。在两板间平行插入一相等面积的、厚度为t ()d t <的导体板。求其电容，并讨论导体板在极板间的相对位置对电容值有无影响。 3．真空中半径为R 、带电为Q 的导体球，求其静电能。

*4．一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1＝2cm 、R 2= 5cm, 其间充满相对介质常数为r ε的各向同性、

均匀电介质，电容器接在电压U ＝32V 的电源上，(如图所示).试求距

离轴线 R ＝3.5cm 处的A 点的电场强度和A 点与外筒间的电势差。

*5．一球形电容器，内球壳半径为R 1，外球壳半径为R 2，两球

壳间充满了相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质，设两球壳间电势差为U 12，求：(1) 电容器的电容；(2) 电容器储存的能量。

6．相距甚远的、半径均为cm 10的两导体球，分别充电至V 200和V 400，然后用一细导线连接使其电势相等。求等势过程静电力的功。

7．电容为C 的空气平行板电容器，极板间距为d ，充电后极板间作用力为F ，求： （1）极板间电势差；（2）极板上电荷量。

图