(精品)数学讲义六年级春季班第1讲：有理数-教师版
有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．本讲会在讲解有理数的意义和数轴的知识之后，学习一些绝对值的基础知识，并会在下一讲中，着重讲解绝对值相关的化简及运算．
1、正数和负数
在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．
2、有理数的概念
整数和分数统称为有理数．
3、有理数的分类
按意义分：
??
??
?
?
??
??
?
?
?
?
??
?
正整数
整数零
负整数
有理数
正分数
分数
负分数
；按符号分：
??
??
?
?
?
?
??
??
??
?
正整数
正有理数
正分数
有理数零
负整数
负有理数
负分数
．
注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
有理数
内容分析
知识结构
模块一：有理数的意义
知识精讲
例题解析
【例1】下列说法错误的是（）
A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量
B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量
C．增加20人和减少10人是相反意义的量
D．支出600元和收入800元是相反意义的量
【难度】★
【答案】B
【解析】B答案错误，向西走5千米和向东走5千米是相反意义的量．
【总结】考察正数、负数表示的意义．
【例2】如果5
-米表示向南走5米，那么下列各数分别表示什么意义？
（1）8+米；（2）3-米；（3）0米；（4）6米．
【难度】★
【答案】（1）向北走8米；（2）向南走3米；（3）停留在原地；（4）向北走6米．【解析】向南为负数，则向北为正数．
【总结】考察正数、负数表示的意义．
【例3】下列说法错误的是（）
A．正整数、0、负整数统称整数B．0既不是正数，也不是负数
C．有理数包括正数和负数D．有理数包括整数和分数
【难度】★
【答案】C
【解析】C答案错误，有理数包括正数和负数和0．
【总结】考察有理数的分类．
2/ 16
【例4】判断题：（1）小数都是有理数；（）
（2）大于负数的数是正数；（）
（3）有理数中不是正数就是负数．（）
【难度】★
【答案】（1）×；（2）×；（3）×
【解析】（1）小数分为有限小数和无限小数，而无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为有理数，无限不循环小数为无理数；
（2）大于负数的数也可以是0；
（3）有理数分为正数、负数、0．
【总结】考察有理数的分类，注意0既不属于正数也不属于负数．
【例5】若人口增加2万人，记作+2万人，那么人口减少1万人，记作______．
【难度】★
【答案】-1万人．
【解析】增加为+，则减少为-．
【总结】考察正负数的意义．
【例6】若盈利100元记作+100元，则50
-元表示______．
【难度】★
【答案】亏损50元
【解析】盈利为+，则亏损为-．
【总结】考察正负数的意义．
【例7】把下列各数填入它所属的圈内：
11，
1
8
-，5-，
2
15
，
15
8
-，0.3， 5.67
-，π，0，5.5555，20
-，0.3，567．
【难度】★★
【答案】正整数：11，567；负数：
1
8
-，5-，
15
8
-， 5.67
-，20
-；
正分数：
2
15
，0.3，5.5555，0.3；
非负数：11，
2
15
，0.3，π，0，5.5555，0.3，567；
有理数：11，
1
8
-，5-，
2
15
，
15
8
-，0.3， 5.67
-，0，5.5555，20
-，0.3，567；
非负有理数：11，
2
15
，0.3，0，5.5555，0.3，567．
【解析】有理数分为整数和分数，注意无限不循环小数属于无理数．
【总结】考察实数的分类．
【例8】六（2）班在一次期中测验中，数学平均分为87分，若把高于平均分的部分记为正数，小智得93分，应记为多少？小方被记为9
-分，他实际得分是多少？
【难度】★★
【答案】+6；78．
【解析】小智得93分，记为93-87=6；小方记作-9分，则他实际得分为87-9=78分．
【总结】考察正负数的意义及简单运算．
【例9】a
-表示的数一定是（）
A．负数B．正数C．正数或负数D．正数或负数或0
【难度】★★★
【答案】D
【解析】因为a有可能为正数、负数、0，则a
-可能是正数或负数或0．
【总结】考察正负数的意义．
【例10】按照一定的规律填数：
（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；
（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）．【难度】★★★
【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017．
【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数个数字为负数．则可得答案．
（2）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正．
()672
3
2016
3
1
2017=
÷
=
÷
-则第2017个数正数，为2017．
【总结】考察数字找规律．
4/ 16
A
B
C
D
E
0 1 2
1、 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2、 相反数
只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．
互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．
在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．
【例11】 填空：
（1）数轴的三要素是______、______、______；
（2）在数轴上表示的两个数，______边的数总比______边的数小；
（3）正数都_____0，负数都______0，正数______负数．（填“>”、“ < ”或“=”） 【难度】★
【答案】（1）原点、正方向、单位长度；（2）左，右；（3）>；< ；>． 【解析】考察数轴的基本要素．
【例12】 在下图所示的数轴上，写出A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数． 【难度】★
【答案】10.50 1.5 1.25A B C D E ==-===-，，，，． 【解析】考察数轴上数字的表示方法．
例题解析
模块二：数轴
知识精讲
【例13】下列说法正确的是（）
A．任何有理数一定都有相反数，但不一定都有倒数
B．任何有理数一定都有倒数，但不一定都有相反数
C．任何有理数一定既有相反数，也有倒数
D．任何一个正有理数的倒数都比1小
【难度】★
【答案】A
【解析】任何有理数一定有相反数，但是除了0之外都有倒数．D答案错误，如0.5的倒数为2，比1大．
【总结】考察相反数和倒数的意义．
【例14】判断题：
（1）数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数．（）
（2）一个数的相反数的相反数是它本身．（）
（3）正数和负数互为相反数．（）
【难度】★
【答案】（1）√；（2）√；（3）×
【解析】0和正数统称为非负数；1（正数）和-2（负数）不是互为相反数．
【总结】考察相反数的意义．
【例15】7的相反数是______， 3.2
-是______的相反数．
【难度】★
【答案】-7；3.2
【解析】正数的相反数是在数字前面加负号，负数的相反数是去掉数字前面的负号．
【总结】考察相反数的表示方法．
【例16】先画出数轴，然后在数轴上画出表示3
-、
3
2
-、0、2及它们的相反数的点，并将
它们从小到大排列起来．【难度】★★
【答案】
A、B、C、D、E、F、G所代表的数字分别为3-、
3
2
-、0、2、3、
3
2
、-2
它们从小到大排列为3-<-2<
3
2
-<0<
3
2
<2<3．
【解析】考察数轴上有理数的表示方法．
6/ 16
a
b
O
【例17】 数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______； 数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______． 【难度】★★
【答案】2个；2和-2；3和-1 【解析】可利用画数轴得到答案．
【总结】考察对绝对值几何意义的理解及运用，注意两解的讨论．
【例18】 到原点距离不大于1的数有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．无数个
【难度】★★ 【答案】D
【解析】数轴上-1到1之间的实数有无数个． 【总结】考察实数比较大小．
【例19】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那
么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？
【难度】★★★ 【答案】12．
【解析】设A 点表示的有理数为x ，B 点表示的有理数为y ．
因为A 点与原点O 的距离为3，则3=x ，∴3=x 或-3 又因为A 、B 两点之间的距离为1，则1=-x y ，即1±=-x y ，
因为3=x 或-3，所以B 点表示的有理数有四种情况：4-=y 或-2或2或4. 所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和为124224=+-++- 【总结】考察数轴上有理数的表示和有理数的加法．
【例20】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--，
求它们的大小关系．（用“>”连接） 【难度】★★★
【答案】M N H G >>>． 【解析】由数轴可得：0< 则0>--=b a G ，0<+=b a M ，0<+-=b a N ，0>-=b a H 【总结】考察数轴上有理数的大小比较． 8 / 16 A B C D 【例21】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数 轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？ 【难度】★★★ 【答案】2018个或2017个 【解析】当A 、B 为整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2018个； 当A 、B 分别不是整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2017个． 【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论． 【例22】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的 数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？ 【难度】★★★ 【答案】B 【解析】若原点为A ，则07a d ==，，此时72=-a d ，和已知不符，排除； 若原点为B ，则34a d =-=，，此时102=-a d ，和已知相符，正确． 【总结】考察数轴上有理数的表示． 1、 绝对值的概念 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 2、 绝对值的数学表达 用符号a 表示数a 的绝对值． () ()() 0000a a a a a a >?? ==?? - 3、 有理数的比较大小 正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小． 模块三：绝对值基础 知识精讲 【例23】 5的绝对值是______，记作_______；3-的绝对值是______，记作______． 【难度】★ 【答案】5；5；3；3-． 【解析】考察绝对值的求法和记法． 【例24】 5.3=______，2 13 =______，0=______， 2.6-=_______． 【难度】★ 【答案】5.3；32 1；0；2.6． 【解析】考察绝对值的求法． 【例25】 3-的倒数的绝对值是______． 【难度】★ 【答案】3 1 ． 【解析】-3的倒数是31-，则其绝对值是31 ． 【总结】考察绝对值和倒数的求法． 【例26】 判断题： （1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．（ ） （2）如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．（ ） （3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．（ ） 【难度】★★ 【答案】（1）×；（2）√；（3）×． 【解析】（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或正数． （3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数或0． 【总结】考察绝对值的求法． 例题解析 10 / 16 【例27】 绝对值等于12的数是______，绝对值小于3的整数是______，绝对值不大于4 的非负整数有______个． 【难度】★★ 【答案】12±；210±±，，；5 【解析】绝对值不大于4的非负整数有0、1、2、3、4，共5个． 【总结】考察绝对值的求法，注意对非负整数的理解． 【例28】 当3x =时，7x -一定等于4-吗？ 【难度】★★ 【答案】不一定． 【解析】由题意可得：x 为3或-3．当x =3时，47-=-x ；当3-=x 时，107-=-x ． 【总结】考察绝对值的求法． 【例29】 若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等 B ．异号 C ．互为倒数 D ．0a b == 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】两个非负数相加等于0，则这两个数都需为0． 【总结】考察绝对值的非负性． 【例30】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对 值用“<”联结起来． 【难度】★★★ 【答案】a a a a 1 1-<-<<． 【解析】∵01<<-a ， ∴10<- - ，11>-a ∴ a a a a 11-<-<< 【总结】考察实数比较大小． 0 1 a 【习题1】 任意写出5个正数与5个负数，分别把它们填入相应的大括号里． 正数：{ } 负数：{ } 【难度】★ 【答案】正数：1、3.5、4.2、6、7.8等，负数：5 3.26110.8-----、、、、等． 【解析】考察有理数的分类． 【习题2】 关于数字0，下面说法中，错误的是（ ） A ．是整数，也是有理数 B ．既不是正整数，也不是负整数 C ．是整数，也是自然数 D ．既不是自然数，也不是有理数 【难度】★ 【答案】D 【解析】0属于有理数，也属于整数，也属于自然数． 【总结】考察有理数的分类． 【习题3】 写出小于5的所有非负整数______________________________； 写出大于1 62-的所有负数________________________________． 【难度】★ 【答案】0、1、2、3、4； -6、-5、-4、-3、-2、-1 【解析】考察有理数比较大小，注意准确理解题目中的要求． 【习题4】 填空：2 2 3 +=______， 4.3-=______，6--=______． 【难度】★ 【答案】32 2；4.3；-6． 【解析】考察绝对值的求法． 随堂检测 12 / 16 A B C D 0 【习题5】 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a b +=______． 【难度】★★ 【答案】1 【解析】由题意可得：1=a ，0=b ，则1=+b a 【总结】考察有理数比较大小． 【习题6】 比较大小： （1）37-和2 5-； （2）3 11 - 和0.273-． 【难度】★★ 【答案】（1）5273-<- ； （2）273.0113 ->-． 【解析】（1）因为 5273>，所以5 2 73-<-； （2）因为 273.0113<，所以273.011 3 ->-． 【总结】考察有理数比较大小． 【习题7】 如图，数轴上A 、B 、C 、D 四个点分别表示数a 、b 、c 、d ，用“<”连接： 1a 、1b 、1c 、1 d ：_____________________． 【难度】★★ 【答案】a b d c 1 111<<<． 【解析】因为b a c d <<<<0， 所以011< 1>>b a ， 所以 a b d c 1 111<<<． 【总结】考察有理数的比较大小． 【习题8】 计算：111111 201720162016201520172015 -+--- ． 【难度】★★★ 【答案】0． 【解析】111111 201720162016201520172015-+--- 020171 2015120161201512017120161201712015120161201512017120161=+--+-=??? ??---+-= 【总结】考察有理数的大小比较及有理数的绝对值的求法． 【习题9】 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，求a b c d m +++的值． 【难度】★★★ 【答案】3或-1． 【解析】由题意可得：0=+b a ，1=cd ，2±=m 所以()13210-=±++=+++或m cd b a 【总结】考察相反数、倒数、绝对值的定义，注意分类讨论． 【习题10】 已知4x =，5y =，且x > y ，则x + y =______． 【难度】★★★ 【答案】-1或-9． 【解析】由题意可得：45x y ==-，或45x y =-=-，， 所以91--=+或y x ． 【总结】考察绝对值的求法和有理数比较大小． 14 / 16 【作业1】 关于 2.2-，下面说法正确的是（ ） A ．是负数，不是有理数 B ．不是分数，是有理数 C ．是负数，也是分数 D ．是负数，不是分数 【难度】★ 【答案】C 【解析】有限小数属于分数，也属于有理数 【总结】考察有理数分类． 【作业2】 把下列各数分别填到相应的横线上： 1-，0.3505-，0，2，5 6 -，33.33%． 正数：____________________________； 负数：____________________________； 非负数：____________________________； 非正有理数数：____________________________． 【难度】★ 【答案】正数：2，33.33%； 负数：1-，0.3505-，5 6 -； 非负数：0，2，33.33%； 非正有理数数：1-，0.3505-，0，5 6-． 【解析】考察有理数的分类． 【作业3】 3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______． 【难度】★ 【答案】π -31 ；3-π；3-π． 【解析】考察倒数、相反数、绝对值的求法． 课后作业 【作业4】 若x < 0，则23x x x -=______． 【难度】★★ 【答案】-1． 【解析】因为0 223313333x x x x x x x x x x -----= = = =-． 【总结】考察绝对值的求法． 【作业5】 比较大小，用“<”连接：89-、1112-、14 15-． 【难度】★★ 【答案】14118 15129 -<-<-． 【解析】因为 ?=8.098，?=691.01211，?=39.01514 ， 所以1514121198<<， 所以14118 15129 -<-<-． 【总结】考察负数的比较大小，绝对值大的反而小． 【作业6】 绝对值大于10且不大于15的负整数的和是_______． 【难度】★★ 【答案】-65． 【解析】绝对值大于10且不大于15的负整数有-11、-12、-13、-14、-15，则其和为-65. 【总结】考察绝对值的运用． 【作业7】 填空（填“>”，“<”或“=”）： （1）若1a a =-，则a ______0； （2）若0a >，0b >，a b ->-，则a ______b ． 【难度】★★ 【答案】（1）<；（2）<． 【解析】（1）当0 a a ； （2）因为a b ->-，所以0a b <<，所以b a <． 【总结】考察有理数比较大小和绝对值运算． 16 / 16 B C 0 【作业8】 如图，数轴上A 、B 、C 四个点分别表示数a 、b 、c ， 化简：b a b c a b c -++---． 【难度】★★ 【答案】b 3-． 【解析】由题意可得：0>a ，0+b a ，0<-a c ，0>-c b 所以b a b c a b c -++---()()()b a b c a b c =--+---- 3b a b c a b c b =----+-+=-． 【总结】考察绝对值的化简． 【作业9】 解方程：931x --=． 【难度】★★★ 【答案】13=x 或5x =． 【解析】49=-x ，则49=-x 或4-， 所以13=x 或5x =． 【总结】考察含绝对值的方程的求法，综合性较强，注意分类． 【作业10】 比较大小：（提示：分类讨论）． （1）a 与a -； （2）a 与 1a ． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）当0=a 时，a a -=； 当0a 时，a a ->． （2）令a a 1 =，则1±=a ， 当1- ； 当1-=a 时，a a 1=； 当01<<-a 时，a a 1>； 当10< ； 当1=a 时，a a 1=； 当1>a 时，a a 1 >． 【总结】考察有理数比较大小，综合性较强，注意分类讨论．