2003年高考试题——数学文(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学（文史类）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=? l c c S )(2
1+'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(2
1sin cos βαβαβα--+=? 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长. )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=? 球体的体积公式：33
4R V π=球 ，其中R )]cos()[cos(2
1sin sin βαβαβα--+-=? 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ）
（A ）12
y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x = 2．已知,02x π??∈- ???，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）7
24 （D ）724- 3．抛物线2
y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ） （A ）
18 （B ）18
- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51
5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=?，则双曲线的离心率为（ ）
（A （B （C （D
6．设函数?????-=-2112)(x
x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）
（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）
（C ）（∞-，2-）?（0，∞+） （D ）（∞-，1-）?（1，∞+）
7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）
（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg 32
（D ）1lg 25 8．函数sin()(0)y x R ??π?=+≤≤=是上的偶函数，则（ ）
（A ）0 （B ）4π （C ）2
π （D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）
（A （B ）2 （C 1 （D 1
10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34
R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）24
9R π （C ）238R π （D ）252R π 11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P
（入射角等于反射角）若40P P 与重合，则tg θ= （ ）
（A ）31 （B ）52 （C ）2
1 （D ）1 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文史类）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上
13x <的解集是____________________.
14．92)21(x
x -的展开式中9x 系数是 ________ . 15．在平面几何里，有勾股定理：“设22,,ABC AB AC AB AC BC += 的两边互相垂直则
平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面A B C A C 、、两两互相垂直，则______________________________________________.”
16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域
不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_______________________（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱111111112ABCD A BC D AB AA E CC F BD -==，，，点为中点，点为点中点
（Ⅰ）证明11EF BD CC 为与的公垂线 （Ⅱ）求点1D BDE 到面的距离
18．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为?60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z .
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1
111,3(2).n n n a a a n --==+≥
（Ⅰ）求23,a a ；
（Ⅱ）证明2n
n a =
20．（本小题满分12分） 已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； ()y f x =在
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数
区间,22π
π??
-????上的图象
21．（本小题满分12分）
E
D B
A C
B
D C
A F
M
x
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O
（如图）的东偏南(cos θθ方向西偏北?45方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
22．（本小题满分14分）
已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA
DC CD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由
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数学试题（文）参考解答及评分标准
说明：
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
东O
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
13．]4,2( 14．2
21- 15．2222BCD AD B ACD ABC S S S S ????=++ 16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，
∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=
21D 1D 又EC=2
1CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1
又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1
∵BD 1?面DBD 1，
∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线
（II ）解：连结ED 1，有V
由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，
则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF.
∵AA 1=2·AB=1.
2
2,2====∴EF ED BE BD 2
3)2(2321,2222121=??==??=∴??DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为
332. 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为
则复数 +
2,r z z r z z ==+∴ 由题设|2||||1|2-?=-z z z
即||)1)(1(=--z z 42122+-=+-r r r r r
12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去） 即|z|=12-
19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a
（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a
112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=.2131333
21-=++++--n n n 所以2
13-=n n a 20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=
)42sin(21)4sin 2cos 4cos
2(sin 21πππ-+=-?+=x x x 所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.
故函数)(x f y =在区 间]2
,2[ππ-
上的图象是
21．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.
在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为 ???
?????+?-=?-?=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，
若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有
,)6010()0()0(222+≤-+-t y x
即
,)6010()2
2201027300()2220102300(222+≤?+?-+?-?t t t 即0288362≤+-t t ， 解得2412≤≤t .
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭
22．解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到定点距离
的和为定值.
按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ） 设)10(≤≤===k k DA
DC CD CF BC BE ， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）.
直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ①
直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②
从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ， 整理得1)(2
1222=-+a
a y x . 当2
12
=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当212 1(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2. 当212> a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之和为定值a 2.