直角三角形的性质教案

直角三角形的性质（一）

【教学目标】：

1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。

2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

【教学过程】：

一、引入

复习提问：（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?

二、新授

（一）直角三角形性质定理1 请学生看图形：

1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？

2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。

3、巩固练习：

练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。

练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B 相等的角有。

（二）直角三角形性质定理2

1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片

（l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？

三、巩固训练：

练习3 ：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

练习4：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中

点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB

（3）图中有哪些等腰三角形？

练习5：已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M 是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与

DE有什么样的关系存在?

四、小结：

这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？

1、直角三角形的两个锐角互余？

五、布置作业

直角三角形的性质（二）

一、【教学目标】：

1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。

4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。

二、【教学重点与难点】：

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

三、【教学过程】：

（一）引入：

F E

D C

B A

如果你是设计师：（提出问题）2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？

（通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引发学生的学习兴趣。）

动一动想一想猜一猜（实验操作）

请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有

什么关系？

（通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。）

（二）新授：

提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）

应用定理：

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC 的中点。

求证：DE=DF

分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。

（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）

练习变式：

1、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，

F是BC的中点。求证：FD=FE

练习引申：（1）若连接DE，能得出什么结论？

（2）若O是DE的中点，则MO与DE存在什么结论吗？

上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜

F C B

E

D

C

B

A

边的两侧我们又会有哪些结论？

2、已知：∠ABC=∠ADC=90o，E 是AC 中点。你能得到什么结论？

直角三角形的性质（三）

重点：直角三角形的性质定理 难点：

1.性质定理的证明方法.

2.性质定理及其推论在解题中的应用. 讲一讲

例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ， ∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长

分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC 可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.

在Rt △ADE 中，有∠A=30°，则DE 可求. 解：在Rt △ABC 中

∵∠ACB=90 ∠A=30°∴AB BC 2

1

= ∵AB=8 ∴BC=4

∵D 为AB 中点，CD 为中线 ∴42

1

==

AB CD ∵DE ⊥AC ，∴∠AED=90° 在Rt △ADE 中，AD DE 21=， AB AD 2

1

= ∴24

1

==

AB DE 例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中

点，DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 4

1

=

. 分析：CE 在Rt △DEC 中，可知是CD 的一半，又D 为中点，故CD 为BC 上的一半，因此可证.

证明：∵DE ⊥AC 于E ，∴∠DEC=90°(垂直定义) ∵△ABC 为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60°

∵在Rt △EDC 中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30° ∴CD EC 2

1

=

∵D 为BC 中点， ∴BC DC 21= ∴AC DC 21

= ∴AC CE 4

1

=

. 例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.

分析：证AB=BD 只需证明∠BAO=∠BOA

由已知中等腰直角三角形的性质，可知BC DF 2

1

=

。由此，建立起AE 与AC 之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.

证明：作DF ⊥BC 于F ，AE ⊥BC 于E ∵△BDC 中，∠BDC=90°，BD=CD ∴BC DF 2

1

=

∵BC=AC ∴AC DF 21

= ∵DF=AE ∴AC AE 2

1

= ∴∠ACB=30°

∵∠CAB=∠ABC ，∴∠CAB=∠ABC=75° ∴∠OBA=30°

∴∠AOB=75°

∴∠BAO=∠BOA ∴AB=BO

练一练

1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求证：AE=2CE。

2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。

求证：DE=DC。

3.如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。

4.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。

求证：AE=DF。