定积分练习题精品文档10页
第九章 定 积 分
练 习 题 §1定积分概念
习 题
1.按定积分定义证明:?-=b
a a
b k kdx ).(
2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{}i ξ,把定积分看作
是对应的积分和的极限,来计算下列定积分: (1)?∑=+=
1
1
22
33
)1(4
1:;n
i n n i dx x 提示 (2)?10;dx e x
(3)?b
a
x dx e ; (4
)2(0).(:b
i a
dx
a b x
ξ<<=?
提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式
1.计算下列定积分:
(1)?+1
0)32(dx x ; (2)?+-1
022
11dx x x ; (3)?2ln e e x x dx ;
(4)?--1
02dx e e x x ; (5)?302tan π
xdx (6)?+94;)1(dx x
x (7)?+4
0;1x dx
(8)?e
e
dx x x 12
)(ln 1 2.利用定积分求极限:
(1));21(13
34lim n n
n +++∞→Λ (2);)(1)2(1)1(1222lim ??
????++++++∞→n n n n n n Λ (3));21
)2(111(
2
22lim n
n n n n +++++∞
→Λ
(4))1sin 2sin (sin 1lim n n n n n
n -+++∞→Λππ 3.证明:若f 在[a,b]上可积,F 在[a,b]上连续,且除有限个点
外有F '(x )=f (x),则有
()()().b
a f x dx F
b F a =-?
§3 可积条件
1.证明:若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割,则
∑∑?≤?'
.''
T T
i i i i
χωχω
2.证明:若f 在[a,b]上可积,[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?.
3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明:若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时,g 在[a,b]上也可积,且
()().χχχχd g a b
d f a b ??=
3.设f 在[a,b]上有界,{}[],
,b a a n ?.lim c a
n
n =∞
→证明:在[a,b]上只有
()Λ,2,1=n a n 为其间断点,则f 在[a,b]上可积。
4.证明:若f 在区间?上有界,则
()()()()"','".sup sup inf f f f f χ
χχχχχχχ∈?
∈?
∈?
-=-。
§4 定积分的性质
1.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,则
∑?=→=?n
i b
a
i i i T dx x g x f x g f 1
0,)()()()(lim ηξ
其中i i ηξ,是T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n.
2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小:
(1)??101
0;2
dx x xdx 与
(2)??20
20
.sin π
π
xdx xdx 与
3.证明下列不等式:
(1)
2
;2
2π
π
π
<
(2)1201x e dx e <;
(3)2
0sin 12;xdx dx x π
π
<
(4)4 6.e e <
4.设f 在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明()()2
0.b
a f x dx >? 5.设f 与g 都在[a,b]上可积,证明
[]
{}[]
{})(),()(,)(),()(min max ,,x g x f x m x g x f x M b a x b a x ∈∈==
在[a,b]上也都可积.
6.试求心形线πθθ20),cos 1(≤≤+=a r 上各点极径的平均值.
7.设f 在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足.0)(φm x f ≥证明f
1
在[a,b]上也可积.
8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b).
9.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M 、m 分别为 f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m ≤μ≤M),使得
??=b
a b
a dx x g dx x g x f .)()()(μ 10.证明:若f 在[a,b]上连续,且??==b
a
b
a dx x xf dx x f ,0)()(则在(a,b)内
至少存在两点x 1,x 2,使f(x 1)= f(x 2)=0.又若?=b
a dx x f x ,0)(2这时f 在(a,b)内是否至少有三个零点?
11.设f 在[a,b]上二阶可导,且"f (x)>0.证明:
(1)?-≤??? ??+b a
dx x f a
b b a f ;)(12 (2)又若[],,,0)(b a x x f ∈≤则又有
[].,,)(2)(b a x dx x f a b x f b
a
∈-≥?
12.证明:
(1)11ln(1)11ln ;2n n n
+<+++<+L (2).1ln 1211lim
=+++
∞
→n
n n Λ §5 微积分学基本定理·定积分计算(续)
习 题
1. 设f 为连续函数,u 、v 均为可导函数,且可实行复合f °u 与f °v 证明:
?-=)
()().('))(()('))(()(x v x u x u x u f x v x v f dt t f dx
d 2.设f 在[a,b]上连续,?-=x
a dt t x t f x F .))(()(证明F ”b].[a,),()(∈=x x f x 3.求下列极限:
(1)?→x
x dt t x
020;cos 1lim (2).)(0
22
2
2
lim
dt
e
dt e x t x
t x ?
?∞→
4.计算下列定积分:
(1)?20
5;2sin cos π
xdx x (2)?-1
02;4dx x (3)
?
-a
a dx x a x 0
222);0(φ
(4)?+-1
2/32;)1(x x dx (5)?-+10;x x e
e dx
(6)
?
+20
2
;sin 1cos π
dx x
x
(7)?1
0;arcsin xdx (8)?20
;sin π
xdx e x (9)
;ln 1dx x e
e
?
(10)?10;dx e x
(11)?+-a
a dx x
a x
a x 02
);0(φ (12)?
+20
.cos sin cos π
θθ
νθ
d
5.设f 在[-a,a]上可积。证明: (1)若f 为奇函数,则?-=a
a dx x f ;0)( (2)若f 为偶函数,则??-=a
a a
dx x f dx x f 0.)(2)(
6.设f 为(-∞,+∞)上以p 为周期的连续周期函数。证明对任何实数a ,恒有
?
?+=p a p
a
dx x f dx x f a .)()(
7.设f 为连续函数。证明:
(1)??=20
20
;)(cos )(sin π
π
dx x f dx x f (2)??
=
π
π
π
.)(sin 2)(sin dx x f dx x xf
8.设J (m,n )?=20
,(cos sin π
n m xdx x n m 为正整数)。证明:
),,2(1
)2,(1),(n m J n
m m n m J n m n n m J -+-=-+-= 并求J(2m,2n).
9.证明:若在(0,∞)上f 为连续函数,且对任何a >0有 ?==ax
x dt t f x g 常数)()(, ),,0(+∞∈x 则c x x
c
x f ),,0(,)(+∞∈=为常数。
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
高等数学不定积分习题
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
(完整版)定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?